D und W bei Umkehrfunktionen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Fr 04.11.2022 | | Autor: | appo13 |
| Aufgabe | Bestimme Definitions- und Wertebereich von f(x) und seiner Umkehrfunktion. Bestimme auch die Umkehrfunktion.
[mm] f(x)=\wurzel{25-4x^{2}} [/mm] |
Guten Abend zusammen,
ich habe neulich die Umkehrfunktion von o.g. Funktion f(x) besprochen.
Ich kam zunächst zur Umkehrfunktion [mm] f^-1(x)=0,5\wurzel{-x^{2}+25}
[/mm]
Nun wollte ich den Satz benutzen, dass der Definitionsbereich einer Funktion, dem Wertebereich seiner Umkehrfunktion entspricht. (Analog Werte- entspricht Definitionsbereich)
f^-1(x) hatte nun den Definitionsbereich D={-5;5}, welches nach dem Satz oben der Wertebereich von f(x) sein müsste. Stimmt aber nicht, da f(x) nur positive Y-Werte hat, wie mir eine Zeichnung beider Funktionen offenbarte.
Nun ist f(x) aber auch in seinem Definitionsbereich eingeshränkt, dieser ist nämlich D={-2,5;2,5} Ich vermute es hat damit zu tun, dass die Umdrehung des Definitions- und Wertebereichs hier nicht funktioniert. Außerdem ist f(x) ja entweder im Interval [-2,5;0] oder [0,2,5] umkehrbar.
Was übersehe ich?
Herzlichen Dank im Voraus!
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Du hast schon alles selbst erkannt.
Da f(x) nicht monoton steigt oder fällt, kommt es vor, dass zu zwei verschiedenen x-Werten der selbe y-Wert herauskommt, z.B. f(2,5)=f(-2,5)=0.
In der Umkehrung müsste nun [mm] f^{-1}(0) [/mm] sowohl 2,5 als auch -2,5 sein, aber nach dem, was eine Funktion ist, ist nur ein Wert erlaubt. Deshalb musst du den Definitionsbereich von f so einschränken, dass kein Element aus dem Wertebereich von f für 2 verschiedene x-Werte genommen werden kann. Am einfachsten geht das hier, weil f(x)=f(-x) ist, indem du für [mm] D_f [/mm] das Intervall [ -2,5 | 0 ] nimmst oder [ 0 | 2,5 ].
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