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| Aufgabe | | Es sei [mm] f:\IR^3\to\IR^3 [/mm] die lineare Abbildung, deren Matrix bezüglich der Standardbasis B={e1,e2,e3} die Gestalt [mm] A=\pmat{1&2&3\\2&-1&1\\-2&0&1} [/mm] hat. Berechne die Matrix der induzierten Abbildung [mm] \wedge^2f:\wedge^2\IR^3\to\wedge^2\IR^3 [/mm] bezüglich der durch B induzierten Basis von [mm] \wedge^2\IR^3 [/mm] |
Hallo,
bin leider schon wieder am verzweifeln:-( Irgendwie kann ich mit diesem Dachprodukt noch so gar nichts anfangen...
Die Basis B von [mm] \wedge^2\IR^3 [/mm] müsste : [mm] \{e1\wedge e2, e1\wedge e3, e2\wedge e3\} [/mm] sein...aber nun weiß ich leider nicht weiter - keine Ahnung wie man mit diesem Produkt richtig rechnet :-(
Vielen Dank schon mal...
Viele Grüße
Noki
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mi 01.10.2008 | | Autor: | statler |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es sei [mm]f:\IR^3\to\IR^3[/mm] die lineare Abbildung, deren Matrix
> bezüglich der Standardbasis B={e1,e2,e3} die Gestalt
> [mm]A=\pmat{1&2&3\\2&-1&1\\-2&0&1}[/mm] hat. Berechne die Matrix der
> induzierten Abbildung
> [mm]\wedge^2f:\wedge^2\IR^3\to\wedge^2\IR^3[/mm] bezüglich der durch
> B induzierten Basis von [mm]\wedge^2\IR^3[/mm]
> bin leider schon wieder am verzweifeln:-( Irgendwie kann
> ich mit diesem Dachprodukt noch so gar nichts anfangen...
> Die Basis B von [mm]\wedge^2\IR^3[/mm] müsste : [mm]\{e1\wedge e2, e1\wedge e3, e2\wedge e3\}[/mm]
> sein...aber nun weiß ich leider nicht weiter - keine Ahnung
> wie man mit diesem Produkt richtig rechnet :-(
Was ist denn [mm]\wedge^{2}[/mm]f(e1[mm]\wedge[/mm]e2)? Das ist f(e1)[mm]\wedge[/mm]f(e2), und weil du f kennst (durch die Matrix), kannst du das mit Hilfe der Rechenregeln für das Dachprodukt ausrechnen und als Linearkombination der Basiselemente hinschreiben. Damit hast du schon die erste Spalte der Matrix von [mm]\wedge^{2}[/mm]f. Und dann so weiter...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hi!
Danke für die Antwort...glaub' ich bin auch schon ein Stückchen weiter gekommen Habe meine Abbildung f aus der Matrix A bestimmt und f(e1) [mm] \wedge [/mm] f(e2) ausgerechnet. Da kommt dann entsprechend der Matrix A
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ -2} \wedge \vektor{2 \\ -1 \\ 0} [/mm] raus...aber wie schreib ich das jetzt als Linearkombination meiner Basis B? Glaub' das Dachprodukt verwirrt mich da - muss ich die 2Vektoren jetzt erstmal multiplizieren oder bleiben die so stehen oder wie funktioniert das mit dem Dachprodukt?
Viele Grüße
Noki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mi 01.10.2008 | | Autor: | statler |
> Hi!
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> Danke für die Antwort...glaub' ich bin auch schon ein
> Stückchen weiter gekommen Habe meine Abbildung f aus der
> Matrix A bestimmt und f(e1) [mm]\wedge[/mm] f(e2) ausgerechnet. Da
> kommt dann entsprechend der Matrix A
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -2} \wedge \vektor{2 \\ -1 \\ 0}[/mm]
> raus...aber wie schreib ich das jetzt als Linearkombination
> meiner Basis B? Glaub' das Dachprodukt verwirrt mich da -
> muss ich die 2Vektoren jetzt erstmal multiplizieren oder
> bleiben die so stehen oder wie funktioniert das mit dem
> Dachprodukt?
[mm]\vektor{1 \\ 2 \\ -2} \wedge \vektor{2 \\ -1 \\ 0}[/mm] =
(e1 + 2e2 - 2e3)[mm]\wedge[/mm](2e1 - e2) = ...
...und jetzt kannst du Distributivität und Antikommutativität verwenden und dann alles durchsortieren.
Gruß
Dieter
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