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Daniell-Stone-Funktional: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 Sa 11.05.2019
Autor: TS85

Aufgabe
Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b.

a) Zeigen Sie, dass die Menge E der beschränkten Funktionen f: [a,b] [mm] \to \IR [/mm]
eine Elementarfamilie auf [a,b] ist.

b) Für eine Zerlegung a = [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_n [/mm] = b mit Zwischenstellen [mm] t_k \in [x_{k-1}, x_k] [/mm] betrachten wir die Riemann-Summe

S: E [mm] \to \IR, [/mm]  f [mm] \mapsto \summe_{k=1}^{n}(x_k [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] * [mm] f(t_k) [/mm]

Z.z. ist, dass ([a,b],E,S) ein Daniell-Stone-Funktional ist.

Hallo,

zu a):
Bekannt ist mir nur, dass von Elementarfamilie die Rede ist,
falls E ein Vektorraum ist und mit f und g auch min(f,g), max(f,g) in E sind.

b)
d.h. die beliebige Menge X=[a,b]
E die Elementarfamilie der Funktionen
S = positive stetige Funktional

z.z. ist
1.) [mm] S(\emptyset)=0 [/mm]
2.) A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] S(A) [mm] \le [/mm] S(B) (Monotonie)
[mm] 3.)\sigma [/mm] - Subadditivität

Das ist nach aktuellem Kenntnisstand auch das einzige, was mir zur Aufgabe bekannt ist. Wie geht es hier weiter?

        
Bezug
Daniell-Stone-Funktional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:34 Sa 11.05.2019
Autor: fred97


> Seien a,b [mm]\in \IR[/mm] mit a < b.
>  
> a) Zeigen Sie, dass die Menge E der beschränkten
> Funktionen f: [a,b] [mm]\to \IR[/mm]
>  eine Elementarfamilie auf
> [a,b] ist.
>  
> b) Für eine Zerlegung a = [mm]x_0[/mm] < [mm]x_1[/mm] < ... < [mm]x_n[/mm] = b mit
> Zwischenstellen [mm]t_k \in [x_{k-1}, x_k][/mm] betrachten wir die
> Riemann-Summe
>  
> S: E [mm]\to \IR,[/mm]  f [mm]\mapsto \summe_{k=1}^{n}(x_k[/mm] - [mm]x_{k-1})[/mm] *
> [mm]f(t_k)[/mm]
>  
> Z.z. ist, dass ([a,b],E,S) ein Daniell-Stone-Funktional
> ist.
>  Hallo,
>  
> zu a):
>  Bekannt ist mir nur, dass von Elementarfamilie die Rede
> ist,
>  falls E ein Vektorraum ist und mit f und g auch min(f,g),
> max(f,g) in E sind.

Ja, genau das sollst Du zeigen. Es genügt  zu zeigen : mit f und g in E und [mm] \alpha \in \IR [/mm] gehören  auch f+g, [mm] \alpha [/mm] f, max (f,g) und min (f,g) wieder zu E.



>  
> b)
>  d.h. die beliebige Menge X=[a,b]
>  E die Elementarfamilie der Funktionen
>  S = positive stetige Funktional
>  

Ja, zu zeigen ist, dass S linear ist, dass S positiv  ist (was  das genau bedeutet schaust Du nach ) und dass S in einem gewissen Sinne stetig  ist ( in welchem Sinne, das siehe ebenfalls in Deinen Unterlagen nach ).



> z.z. ist
>  1.) [mm]S(\emptyset)=0[/mm]
>  2.) A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] S(A) [mm]\le[/mm] S(B) (Monotonie)
>  [mm]3.)\sigma[/mm] - Subadditivität

Hä, was  ist das denn?  S ist keine Mengenfunktion !!

>  
> Das ist nach aktuellem Kenntnisstand auch das einzige, was
> mir zur Aufgabe bekannt ist. Wie geht es hier weiter?

Ich habe Dir  oben gesagt,  was zu tun  ist.

Dann leg  mal los.

Bezug
                
Bezug
Daniell-Stone-Funktional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Sa 11.05.2019
Autor: TS85

Wie genau fange ich denn bei a) an?
Hört sich für mich alles nach Analysis I,II-Wissen an, welches ich nicht mehr weiß.
Bekannt ist mir gerade nur der Beweis der Messbarkeit über die Urbilder eines Intervalles.

Bezug
                        
Bezug
Daniell-Stone-Funktional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 Sa 11.05.2019
Autor: fred97


> Wie genau fange ich denn bei a) an?


Das habe  ich  Dir oben  doch gesagt.

>  Hört sich für mich alles nach Analysis I,II-Wissen an,

a) gehört eher zur  Linearen Algebra

> welches ich nicht mehr weiß.

Tja, Pech für  die junge sympathische Mannschaft.  Wie  wäre es mit Auffrischung  der Kenntnisse?

Ist es wirklich so schwer nachzuweisen,  dass Summem,  Max und Min  , skalare  Vielfache  beschränkter Funktionen wieder beschränkt sind ?


>  Bekannt ist mir gerade nur der Beweis der Messbarkeit
> über die Urbilder eines Intervalles.

Was  soll das ?



Bezug
                                
Bezug
Daniell-Stone-Funktional: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Sa 11.05.2019
Autor: TS85

Wie wird denn gezeigt, dass die Riemann-Summe eine lineare Abbildung ist?

[mm] \mu(f+g)=\mu(f)+\mu(g), [/mm]

mehr sagt die Vorlesung dazu leider nicht.

Bezug
                                        
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Daniell-Stone-Funktional: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Sa 11.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wie wird denn gezeigt, dass die Riemann-Summe eine lineare
> Abbildung ist?
>  
> [mm]\mu(f+g)=\mu(f)+\mu(g),[/mm]
>  
> mehr sagt die Vorlesung dazu leider nicht.

Exakt das ist für die Abbildung zu zeigen, in deiner Aufgabe also, dass gilt:
$S(f+g) = S(f) + S(g)$

mit $ S(f) =  [mm] \summe_{k=1}^{n}(x_k [/mm] -  [mm] x_{k-1}) [/mm] * [mm] f(t_k) [/mm] $

Jetzt schreib mal $S(f+g)$ hin und $S(f) + S(g)$ und überleg dir, ob/warum die gleich sind.... manchmal kann es so einfach sein.

Gruß,
Gono


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Daniell-Stone-Funktional: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:15 So 12.05.2019
Autor: fred97


> Wie genau fange ich denn bei a) an?
>  Hört sich für mich alles nach Analysis I,II-Wissen an,
> welches ich nicht mehr weiß.

Ich kann es mir nicht verkneifen,  aber  glaubst Du  im Ernst,  dass  Du als Mathematikstudent einer  Vorlesung über Mass und Integrationstheorie folgen kannst,  ohne das Wissen aus den Grundlagenvorlesungen?

Du kommst mir vor, wie ein Kfz - Azubi im   dritten Lehrjahr,  der ssgt: " Meister,  ich hab vergessen,  was ein Lenkrad ist."





>  Bekannt ist mir gerade nur der Beweis der Messbarkeit
> über die Urbilder eines Intervalles.


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