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Hallo Leute,
ich bin da auf eine Sache gestoßen, die ich nicht so ganz nachvollziehen kann. Wir haben gelernt, dass eine Primzahl genau dann als Summe von zwei Quadraten dargestellt werden kann, wenn sie bestimmte Kongruenzen erfüllt:
als 1) [mm] a^{2}+ b^{2} [/mm] wenn p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 4
als 2) [mm] a^{2}+ 2b^{2} [/mm] wenn p [mm] \equiv [/mm] 1,3 mod 8
als 3) [mm] a^{2}+ 3b^{2} [/mm] wenn p [mm] \equiv [/mm] 1 mod 6
4) Allgemein gilt, dass eine natürliche Zahl n dann nicht als Summe zweier Quadrate darstellbar ist, wenn die Primfaktorzerlegung von n mindestens eine Primzahl p in ungerader Vielfachheit enthält, für die gilt p [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4.
5) Eine bel. nat. Zahl n ist genau dann als Summe zweier Quadrate darstellbar, wenn in der PFZ von n alle p [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4 in gerader Vielfachheit vorkommen.
Die letzten beiden Sätze hab ich im Internet gefunden, sie standen nicht im Script.
Diese Aussagen 1)-3) beziehen sich ja nur auf Primzahlen. Wenn man jetzt aber wissen will, ob eine beliebige Zahl n sich als eine(oder auch gleichzeitig durch mehrere) der obigen Darstellungen 1)-3) darstellen lässt, dann muss ich die Zahl ja erstmal in ihre Primfaktoren zerlegen. Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht verstehe, wann eine Zahl denn jetzt eindeutig und warum durch eben diese Formen dargestellt wird. Ich nenn am besten mal ein Paar Beispiele(aus dem Script):
i) 21=3*7 lässt sich NUR als [mm] 3^{2}+ 3*2^{2} [/mm] darstellen.
Ich nehme das an, weil 7 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 6 ist und Fall 3) eingetreten ist. Aber 3 \ equiv 3 mod 8 und es müsste auch Fall 2) eingetreten sein. Warum habe ich da nur diese eine Darstellungsmöglichkeit? Nach 4) müsste das doch garnicht gehen, da sowol 3 als auch 7 [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4 sind (und ungerade Vielfachheit)???
ii) 23 ist nicht darstellbar. Ich nehme das an, weil keiner der obigen Fälle zutrifft und weil 23 [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4 (oder ist nur Satz 4) als Erklärung richtig)?
iii) 22=2*11 lässt sich nur als [mm] 2^{2}+ 2*3^{2} [/mm] darstellen.
11 [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4, also geht das ja eigentlich net... Un welche Rolle spielt die zwei?
iv) 55=5*11 ist auch nicht darstellbar. gleicher Grund wie bei ii)
v) 75=3 * [mm] 5^{2} [/mm] lässt sich als [mm] 5^{2}+ 2*5^{2} [/mm] und als [mm] 0^{2}+ 3*5^{2}
[/mm]
darstellen. Warum gehen hier zwei Darstellungen? Hier ja auch wieder: 3 [mm] \equiv [/mm] 3 mod 4...
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen, ich verzweifle langsam an dem Aufgabentyp.
viele Grüße
Moe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Moe_Hammed |
Hallo,
da es kein Feedback gab, frage ich mich natürlich, woran das liegt...
ist die Frage zu blöd formuliert oder weiß das wirklich keiner, was ich nicht glaube? Kann mir jemand vielleicht sagen, was ich für diese Aufgabenstellung beachten muss?? wäre echt nett...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Do 31.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Sätze zu den Primzahlen sind scheints nicht das Problem.
Bei den natürlichen Zahlen hast du was überlesen, es geht NUR um die Darstellung als Summe zweier Quadrate, also [mm] n=a^2+b^2 [/mm] nicht um [mm] n=a^2+k*b^2. [/mm] Ich glaub dafür gibts auch keine einfachen oder auch nur interessante Sätze.
Alle deine Beispiele sind nicht in die Summe 2er Quadrate zerlegbar.
Von ner Aufgabenstellung hast du nicht gesprochen? was ist die denn?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 Do 31.01.2008 | | Autor: | Moe_Hammed |
Hallo Leduart,
vielen Dank für die Antwort. Die Aufgabe war mal Klausuraufgabe, und es gibt nur eine ganz knappe Musterlösung ohne Erklärungen. Ich formuliere die Aufgabe mal:
a) Welche der Zahlen 10(m+2)+1, 10(m+2)+2, ..., 10(m+2)+5, lassen sich als
[mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2}, [/mm] welche als [mm] a^{2} [/mm] + [mm] 2*b^{2} [/mm] und welche als [mm] a^{2} [/mm] + [mm] 3*b^{2} [/mm] darstellen? (m ist abhängig von der Matrikelnummer)
b) Berechnen sie alle möglichen Darstellungen
In der Musterlösung stehen nur die Kongruenzen 1)-3) aus meiner ersten Frage(bezüglich von Primzahlen) und die Zerlegungen der Zahlen ohne weitere Erklärung.
Mich würde echt dringend interessieren, wann ich eine natürliche Zahl als [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2}, [/mm] oder/und als [mm] a^{2} [/mm] + [mm] 2*b^{2} [/mm] oder/und als [mm] a^{2} [/mm] + [mm] 3*b^{2} [/mm] darstellen kann.
viele Grüße
Moe
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