Darstellende Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Di 10.06.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Aufgabe.
Gegeben seien die Basen
B={5x, x+1} und C={x, 1}
von [mm] \IR_{\le 1}[x]. [/mm] Desweiteren sei die lineare Abbildung L : [mm] \IR_{\le 1}[x] \to \IR_{\le 1}[x] [/mm] gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis B,
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Abbildungsvorschriften von [mm] K_{B}^{-1} [/mm] und [mm] K_{B}. [/mm] |
[mm] L_{B} [/mm] ist die zu L darstellende Matrix.
[mm] L_{B} [/mm] wird errechnet, indem ich
[mm] L_{B}=K_{B}°L°K_{B}^{-1}
[/mm]
berechne.
Für mich ist dann die Abbildungsvorschrift von [mm] K_{B}= [/mm]
[mm] K_{B}: \IR_{\le 1}[x] \to \IR^{2,2} [/mm] | .... ?
[mm] K_{B}^{-1}: \IR^{2,2} \to \IR_{\le 1}[x] [/mm] | .... ?
Hier fehlen mir dann die entsprechenden Bedingungen. Ich schicke ja B quasi in die Matrix [mm] L_{B} [/mm] und von dort aus weiter über [mm] K_{B}^{-1} [/mm] ins Zielgebiet. Hab ich das soweit verstanden?
Muss ich nun um die Abbildungsvorschriften zu definieren [mm] K_{B}^{-1} [/mm] und [mm] K_{B} [/mm] berechnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Di 10.06.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Aufgabe.
Gegeben seien die Basen
B={5x, x+1} und C={x, 1}
von [mm] \IR_{\le 1}[x]. [/mm] Desweiteren sei die lineare Abbildung L : [mm] \IR_{\le 1}[x] \to \IR_{\le 1}[x] [/mm] gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis B,
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
b) Bestimmen Sie L(p) für ein allgemeines Polynom p [mm] \in \IR_{\le 1}[x] [/mm] mit p(x)=ax+b. |
Hier schicke ich nun das allgemeine Polynom los und jage es folgendermaßen durch die Räume:
[mm] L(p)=K_{p}°L°K_{p}^{-1}
[/mm]
Wäre das so richtig? Also vom Ansatz her? Oder bin ich da auf dem Holzweg?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Di 10.06.2014 | | Autor: | fuoor |
Was ich mich hier frage ist, ob ich das allgemeine Polynom bezüglich der Basis "reinschicke". Für mich resultiert daraus dann, dass ich ax+b erst umwandle in [mm] \pmat{\bruch{a-b}{5} \\ b } [/mm] und das dann mit der Matrix multipliziere. Mir ist nur leider schleierhaft wie ich eine 2x1 Matrix mit einer 2x2 Matrix multipliziere. Hier scheint schon irgendwo der Fehler zu sein. Der Ansatz ist also nicht stimmig. Wo liegt da der Denkfehler?
Nachdem das ganze mit der Matrix multipliziert wurde, erhalte ich wieder einen Vektor den ich mit [mm] K_{B}^{-1} [/mm] zurückforme. Damit habe ich dann quasi L ausgeführt, ohne L auszuführen. Wahrscheinlich kann ich dadurch dann den Rückschluss auf L machen. Nur hilft das alles nicht, wenn der Ansatz von mir dumpfsinn ist... :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fuoor |
Neuer Tag neues Glück....
Ich habe nun berechnet:
[mm] L(p)=L(ax+b)=K_{B}^{-1} \circ [/mm] L [mm] \circ K_{B}
[/mm]
[mm] L(ax+b)=K_{B}^{-1}(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}*\pmat{\bruch{a-b}{5} \\ b})=K_{B}^{-1}(\pmat{\bruch{a+9b}{5} \\ b})=(a+11b)x+5b
[/mm]
Stimmt das so?!?!
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> Neuer Tag neues Glück....
>
> Ich habe nun berechnet:
>
> [mm]L(p)=L(ax+b)=K_{B}^{-1} \circ[/mm] [mm] L_{\green{B}}[/mm] [mm]\circ K_{B}[/mm]
>
> [mm]L(ax+b)=K_{B}^{-1}(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}*\pmat{\bruch{a-b}{5} \\ b})=K_{B}^{-1}(\pmat{\bruch{a+9b}{5} \\ b})= \red{(a+11b)x+5b} [/mm]
>
> Stimmt das so?!?!
Das Rote ist nicht ganz richtig.
LG Angela
LG Angela
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> Aufgabe.
> Gegeben seien die Basen
> B={5x, x+1} und C={x, 1}
> von [mm]\IR_{\le 1}[x].[/mm] Desweiteren sei die lineare Abbildung
> L : [mm]\IR_{\le 1}[x] \to \IR_{\le 1}[x][/mm] gegeben durch ihre
> darstellende Matrix bezüglich der Basis B,
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }.[/mm]
>
> b) Bestimmen Sie L(p) für ein allgemeines Polynom p [mm]\in \IR_{\le 1}[x][/mm]
> mit p(x)=ax+b.
> Hier schicke ich nun das allgemeine Polynom los und jage
> es folgendermaßen durch die Räume:
Hallo,
es fällt mir schwer, das zu verstehen.
>
> [mm]L(p)=K_{p}°L°K_{p}^{-1}[/mm]
Was ist [mm] K_p???
[/mm]
Es geht so:
L(p)= [mm] K_B^{-1}(L_B*K_B(p))
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Di 10.06.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Aufgabe.
Gegeben seien die Basen
B={5x, x+1} und C={x, 1}
von [mm] \IR_{\le 1}[x]. [/mm] Desweiteren sei die lineare Abbildung L : [mm] \IR_{\le 1}[x] \to \IR_{\le 1}[x] [/mm] gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis B,
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
c) Berechnen Sie L(-2x+5) |
Hier stehe ich irgendwie auf dem Schlauch, da mir die komplette Abbildungsvorschrift von L fehlt...so finde ich überhaupt keinen Ansatz...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Di 10.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreibe allgemein p=ax+b aus de
n 2 Basisvektoren v1=5x, v2=x+1
dann hast du p=(a-b)/5*v1+b*v2 oder in Vektorschreibweise [mm] p=\vektor{(a-b)/5\\b}
[/mm]
kannst du den mit L abbilden? für dein spezielles a,b (bitte nachrechnen, da es so heiß ist!, dass ich nichts garantiere)
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 10.06.2014 | | Autor: | fuoor |
In einer meiner Mitteilungen zu Teilaufgabe a) habe ich [mm] K_{B} [/mm] und [mm] K_{B}^{-1} [/mm] berechnet. Dabei kam bei der Abbildungsvorschrift für [mm] K_{B} [/mm] das von dir berechnete [mm] \vektor{\bruch{a-b}{5} \\ b }. [/mm] Mir fehlt hier irgendwie die Abbildungsvorschrift für L damit ich L(p) berechnen kann. Ich bin da gerade irgendwie verwirrt. Vielleicht weil es wirklich einfach zu warm ist....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Di 10.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du wendest einfach L auf deinen Vektor p in Komponentenschreiberise an, indem du die Matrix L damit multiplizierst-
Gruß leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:18 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fuoor |
Für das allgemeine Polynom habe ich nun:
[mm] L(p)=L(ax+b)=K_{B}^{-1} \circ [/mm] L [mm] \circ K_{B}
[/mm]
[mm] L(ax+b)=K_{B}^{-1}(\pmat{1 & 2 \\ 0 & 1}*\pmat{\bruch{a-b}{5} \\ b})=K_{B}^{-1}(\pmat{\bruch{a+9b}{5} \\ b})=(a+11b)x+5b
[/mm]
Stimmt das so?!?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Di 10.06.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | Aufgabe.
Gegeben seien die Basen
B={5x, x+1} und C={x, 1}
von [mm] \IR_{\le 1}[x]. [/mm] Desweiteren sei die lineare Abbildung L : [mm] \IR_{\le 1}[x] \to \IR_{\le 1}[x] [/mm] gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis B,
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
d) Bestimmen Sie die Matrix [mm] L_{C}. [/mm] |
[mm] L_{c} [/mm] erhalte ich, indem ich
L(x) und L(1) berechne und diese mit der Koordinatentransformation dann berechne. Dafür fehlt mir aber nach wie vor die Abbildungsvorschrift. Ich habe zwar Beispielaufgaben dazu, jedoch waren bei diesen mehr Parameter gegeben. Wahrscheinlich muss ich Stück für Stück zusammenpuzzeln ...
Beim Puzzeln fang ich normalerweise mit dem Rand an ... nur fehlt der mir hier irgendwie ...
Danke schon,al für den Support!
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> Aufgabe.
> Gegeben seien die Basen
> B={5x, x+1} und C={x, 1}
> von [mm]\IR_{\le 1}[x].[/mm] Desweiteren sei die lineare Abbildung
> L : [mm]\IR_{\le 1}[x] \to \IR_{\le 1}[x][/mm] gegeben durch ihre
> darstellende Matrix bezüglich der Basis B,
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }.[/mm]
>
> d) Bestimmen Sie die Matrix [mm]L_{C}.[/mm]
> [mm]L_{c}[/mm] erhalte ich, indem ich
>
> L(x) und L(1) berechne
Ja, genau.
Wenn Du Deinen kleinen Fehler noch berichtigst, hast Du doch die Abbildungsvorschrift
L(ax+b)=...x+...*1.
Damit kannst Du L(x) und L(1) berechnen.
Schreibst Du sie als Koordinatenvektor bzgl C, hast Du die erste und zweite Spalte Deiner Matrix [mm] L_C.
[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 Mi 11.06.2014 | | Autor: | fuoor |
Ich habe es nun endlich verstanden. Da muss man erstmal durchblicken. Was man wo wie und wann ausrechnet. Danke dir für den Support. Daas ist mir eine große Hilfe!
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Hallo,
erstmal eine Rückfrage:
B ist doch nie und nimmer eine Basis des [mm] $\IR_{\le 1}[x]$ [/mm] ...
Wie lautet die Basis richtig?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Di 10.06.2014 | | Autor: | fuoor |
So steht es in der Aufgabenstellung. Die Aufgabenstellung ist 1:1 kopiert. Oder meinst du was anderes?
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Hallo nochmal,
habe nicht genau hingesehen und vorschnell geschrieben.
B ist sehr wohl eine Basis, also alles ok 
Ich ziehe meinen Einwand zurück ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Di 10.06.2014 | | Autor: | fuoor |
zu a) hab ich jetzt:
[mm] K_{B}: \IR_{\le 1}[x] \to \IR^{2} [/mm] | ax+b [mm] \to \pmat{ \alpha_{1} \\ \alpha_{2} }
[/mm]
So berechne ich dann
[mm] \alpha_{1}(5x)+\alpha_{2}(x+1)=ax+b.
[/mm]
Das ergibt
[mm] (5\alpha_{1}+\alpha_{2})x+\alpha_{2}=ax+b
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm] 5\alpha_{1}+\alpha_{2}=a
[/mm]
[mm] \alpha_{2}=b
[/mm]
ergibt
[mm] \alpha_{1}=\bruch{a-b}{5}
[/mm]
[mm] \alpha_{2}=b.
[/mm]
Abbildungsvorschrift für
[mm] K_{B}:
[/mm]
[mm] \IR_{\le 1}[x] \to \IR^{2} [/mm] | ax+b [mm] \to \pmat{ \bruch{a-b}{5} \\ b }.
[/mm]
[mm] K_{B}^{-1}: \IR^{2} \to \IR_{\le 1}[x] [/mm] | [mm] \pmat{ c \\ d } \to [/mm] fx+g.
fx+g=c(5x)+d(x+1)=5cx+2dx+5d=x(5c+2d)+5d
[mm] K_{B}^{-1}: \IR^{2} \to \IR_{\le 1}[x] [/mm] | [mm] \pmat{ c \\ d } \to [/mm] (5c+2d)x+5d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Di 10.06.2014 | | Autor: | fuoor |
Weiß niemand sonst etwas, oder sind gerade alle einfach nur draußen unterwegs? :)
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> Aufgabe.
> Gegeben seien die Basen
> B={5x, x+1} und C={x, 1}
> von [mm]\IR_{\le 1}[x].[/mm] Desweiteren sei die lineare Abbildung
> L : [mm]\IR_{\le 1}[x] \to \IR_{\le 1}[x][/mm] gegeben durch ihre
> darstellende Matrix bezüglich der Basis B,
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }.[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die Abbildungsvorschriften von [mm]K_{B}^{-1}[/mm]
> und [mm]K_{B}.[/mm]
>
Hallo,
[mm] K_B [/mm] ist die Koordinatenabbildung
[mm] K_B [/mm] bildet aus dem [mm] \IR_{\le 1}[x] [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] ab.
Was tut [mm] K_B? K_B [/mm] odnet jedem Polynom seinen Koordinatenvektor bzgl. B zu.
Es ist also
[mm] K_B:\IR_{\le 1}[x] \to \IR^2
[/mm]
[mm] K_B(ax+b):=\vektor{c\\ d} [/mm] mit ax+b=c*5x+d(x+1).
c und d mußt Du bestimmen.
[mm] (K_B)^{1} [/mm] tut genau das Umgekehrte: für jeden Koordinatenvektor bzgl B liefert diese Abbildung das Polynom:
[mm] (K_B)^{1}: \IR^2 \to \IR_{\le 1}[x],
[/mm]
[mm] (K_B)^{1}(\vektor{a\\b}):= [/mm] cx+d*1 mit a*5x+b(x+1)=cx+d.
c und d mußt Du bestimmen.
LG Angela
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