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| Aufgabe | Gegeben sind die komplexen Zahlen [mm] z_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{10} [/mm] * [mm] e^{\bruch{\pi}{10}*i} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{5} [/mm] + [mm] \bruch{4}{5}i [/mm] .
a) Berechnen Sie die kartesische Darstellung von [mm] z_{1} [/mm] sowie die trigonometrische und Euler'sche von [mm] z_{2} [/mm] und geben Sie diese an!
b) Geben Sie zu [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] jeweils die konjugiert komplexe Zahl an und zeichnen Sie [mm] z_{1}, z_{1}\*, z_{2} [/mm] und [mm] z_{2}\* [/mm] gemeinsam in die Gauß'sche Zahlenebene. |
Hey
Ich habe diese Aufgabe auf einem neuen Übungsblatt erhalten und weiß irgendwie gar nicht, was ich mir darunter vorstellen soll.
1) Was ist die kartesische Darstellung?
Ich hielt das irgendwie für das Einzeichnen der Zahl in die Zahlenebene, da es ja ein kartesisches Koordinatensystem ist? Hier hätte ich aber auch das Problem, was ich mit dem e machen soll. Was ist denn dieses e überhaupt und wie soll ich das in ein System einzeichnen? Außerdem kann ich irgendwie nur schwer den irrealen und den realen Teil auseinander halten. Vorher wurden diese immer durch ein + oder - auseinander gehalten. Funktioniert das auch durch ein Malzeichen?
2) Trigonometrische und Eulersche Darstellung?
Was ist das? Wie kann man diese berechnen?
3) Ich bin mir bei den konjugierten Zahlen ziemlich unsicher. Bei der Division zweier komplexer Zahlen habe ich gelernt, dass man dies durch Multiplikation mit dem konjugierten Nenner macht. Dabei wurde immer nur das Vorzeichen des irrealen Teils geändert. Stimmt das denn so?
Dann käme, wenn ich bei [mm] z_{1} [/mm] die beiden Teile wirklich auch durch ein Mal zeichen unterscheiden kann [mm] z_{1}\* [/mm] = [mm] \wurzel{10} [/mm] * [mm] (-e^{\bruch{\pi}{10}i}) [/mm] und [mm] z_{2}\* [/mm] = [mm] -\bruch{2}{5} [/mm] - [mm] \bruch{4}{5}i [/mm] .
Ist das richtig?
Schonmal ein Dankeschön im Vorraus für eine hoffentlich kommende Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Di 02.11.2010 | | Autor: | m51va |
hui das sind ziemlich viele fragen auf einmal.... ich empfehle dir sehr dir mal http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl durchzulesen.fangen wir an:
Kartesische Darstellung
Der Körper der Komplexen Zahlen [mm] $\IC$ [/mm] wird manchmal auch als [mm] $\IR \times \IR$ [/mm] oder abgekürzt [mm] $\IR^2$ [/mm] bezeichnet. das hat auch einen geometrischen Sinn. komplexe Zahlen in kartesicher Darstellung lassen sich schreiben als [mm] $z=a+b\cdot [/mm] i$ mit [mm] $a,b\in \IR$, [/mm] wobei [mm] $i^2=-1$ [/mm] die imaginäre Einheit bezeichnet. $a$ bezeichnet den Realteil von $z$ geschrieben [mm] $\Re(z)=a$ [/mm] und $b$ bezeichnet den Imaginärteil von $z$ geschrieben [mm] $\Im(z)=b$. [/mm]
eher weniger verwendet wird die Koordinaten - Schreibweise $z=(a,b)$. geometrisch gesehen ist diese Schreibweise allerdings besser zu deuten, denn so können komplexe Zahlen leichter als Punkte mit einem gewissen Abstand zum Koordinatenurpsrung angesehen werden. $(a,b)$ gibt gerade die Koordinaten von [mm] $z=a+b\cdot [/mm] i$ an.
komplexen Zahlen kann man Länge (verallgemeinerung Norm) zuordnen (In [mm] $\IR$ [/mm] ist das der Betrag). diese berechnen sich mittels pythagoras zu [mm] $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
[/mm]
trigonometrische und eulersche Darstellung
es gibt verschiedene Wege Koordinaten zu beschreiben. Den den man immer in der Schule kennen gelernt hat ist der Weg über die kartesische Koordinaten. die liest man einfach an den achsen ab. Ein andere Weg funktioniert durch die so genannten Polarkoordinaten. Das heißt der Punkt $(a,b)$ kann auch eindeutig!!! wirklich eindeutig durch seinen Abstand zum Koordinatenursprung und durch den mit der x-achse eingeschlossenen winkel charakterisiert werden. Der Abstand ist - siehe oben - nicht anderes als [mm] $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}. [/mm] Wie sich der Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] durch die kartesichen Koordinaten darstellen lässt kannst du dir ja mal selber an einer Skizze überlegen oder du liest einffach wiki.
woher kommt jetzt das e? erstmal das e ist die eulersche Zahl und allgemein wird [mm] $e^x=exp(x)$ [/mm] auch als exponentialfunktion bezeichnet. das müsstest du allerdings wissen. Nun kann man die komplexen Zahlen auch darstellen als [mm] $z=r\cdot e^{i \varphi}$ [/mm] (warum das so ist, ist eine andere Sache, die schnell gezeigt werden kann. wenn du das wissen möchtest sag nochmal bescheid.)
diese Darstellung nennt man eulersche Darstellung - wegen der eulerschen Zahl. um zur trigonometrische Darstellung zu gelange nutzt man die sogenannte eulersche Identität aus - die von euler irgendwann mal bewiesen wurde. diese lautet [mm] $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) [/mm] + [mm] i\cdot \sin(\varphi)$. [/mm] Auch das kann man beweisen lasse ich hier aber mal lieber weg. die trigonometrische Darstellung lautet dann [mm] $r\cdot (\cos(\varphi) [/mm] + [mm] i\cdot \sin(\varphi))$.
[/mm]
komplexe Konjugation
die konjugiert komplexen Zahlen erhält man indem man die komplexe Zahl an der x -achse spiegel. das bedeutet für die
kartesiche Darstellung: aus [mm] $z=a+b\cdot [/mm] i$ wird [mm] $\overline{z}=z$*$=a-b\cdot [/mm] i$
eulersche Darstellung: aus [mm] $z=r\cdot e^{i\varphi}$ [/mm] wird [mm] $\overline{z}=z$*$=r\cdot e^{-i\varphi}$
[/mm]
trigonome.Darstellung: aus [mm] $z=r\cdot (\cos(\varphi) [/mm] + [mm] i\cdot \sin(\varphi))$ [/mm] wird [mm] $\overline{z}=z$*$=r\cdot [/mm] ( [mm] \cos(\varphi) [/mm] - [mm] i\cdot\sin(\varphi) [/mm] )$
Ich zeig dir jetzt mal wie man a) machen sollte
[mm] $z=-\bruch{2}{5}+\bruch{4}{5}i$ [/mm] dann folgt [mm] $r=|z|=\sqrt{a^2 + b^2}$. [/mm] den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] erhält man leicht durch [mm] $\varphi=\arctan \left( \bruch{\Im(z)}{\Re(z)} \right)$.
[/mm]
die andere Zahl versuche doch mal bitte selber in kartesischen Koordinaten auszudrücken. Zeichne dir dazu einen Punkt in ein Koordinatensystem trage winkel [mm] $\varphi$ [/mm] und radius $r$ an den Punkt ab. versuche nun die x und y koordinate durch $r$ und [mm] $\varphi$ [/mm] auszudrücken.
so ich hoffe du kannst mit all den sachen hier was anfangen.
gruß m51va
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Hey, danke für deine Hilfe =)
Wiki ist bei den komplexen Zahlen doch verständlicher als sonst, wenn ich da mal was mathematisches versuche rauszufinden. Da ich das sonst bei Wiki nie verstehe, hab ich das diesmal erst gar nicht probiert.
Durch deine Hilfe und Wiki bin ich für z1 auf die kartesische Darstellung 3,2 + 0,02i gekommen. Ist dies richtig?
Bei z2 hapere ich aber irgendwie. Ich habe zuerst r ausgerechnet mit $ [mm] $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}. [/mm] $ Da kommt dann bei mir [mm] \bruch{4}{5} [/mm] bei heraus.
Da es gilt, dass a = r * cos [mm] \varphi [/mm] , habe ich nach cos [mm] \varphi [/mm] umgeformt. Also cos [mm] \varphi [/mm] = [mm] \bruch{a}{r}. [/mm] Ich erhalte -0,447. Benutze ich den Arccos erhalte ich 116. Löse ich nach sin [mm] \varphi [/mm] auf, durch die Gleichung von b, dann bekomme ich für [mm] \varphi [/mm] allerdings einen anderen Wert.
Genauso bekomme ich auch einen anderen Wert heraus, wenn ich nach deinem Vorschlag den Arctan benutzen möchte. Den berechne ich also wie folgt: [mm] \bruch{\bruch{4}{5}}{\bruch{-2}{5}} [/mm] = -2. Arctan davon: -63,4.
Was davon ist denn nun richtig und warum kommen da so unterschiedliche Werte bei heraus??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 04.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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