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| Aufgabe | Wir betrachten die Diedergruppe [mm] D:= Di_4[/mm] (Also von der Ordnung 8). Wir wollen die einfachen Darstellungen über den komplexen Zahlen [mm] \IC [/mm] bestimmen.
a) Man bestimme alle Konjugiertenklassen von D.
b) Man bestimme die Kommutatorgruppe und damit die Kommutatotfaktorgruppe.
c) Man bestimme alle eindimensionalen Darstellungen von D.
d) Man bestimme alle (weiteren) einfachen Darstellungen von D.
"Bestimmen" heißt angeben, auf welche Zahlen/Matrizen die beiden Erzeuger von D abgebildet werden. |
Die Teile a und b hab ich soweit erledigt. Die Konjugiertenklassen gebe ich mal mit an,die könnten vlt noch interessant werden
[1] id; [2] (1234), (1432) ; [3] (13)(24); [4] (13), (24); [5] (14)(23), (12)(34)
Mein Problem ist, dass ich keine Ahnung hab wie ich an die irreduziblen Darstellungen komme. Meine erste Idee war die invarianten Unterräume von [mm] \IC^2 [/mm] zu bestimmen. Das führte aber eher zu nichts.
Ich hoffe ihr könnt mir da helfen, ähnliche Aufgabenstellungen werden wahrscheinlich in nächster zeit noch häufiger kommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Di 04.12.2012 | | Autor: | hippias |
Wenn Du a) und b) erledigt hast, muesstest Du wissen, wieviele $1$-dimensionale, $2$-dimensionale etc. irreduzible Darstellungen die Gruppe besitzt. Bei den $1$-dimensionalen hat man z.B. die triviale Darstellung, zu der der Homomorphismus [mm] $\phi:D \to GL_{\IC}(\IC)$ [/mm] mit [mm] $g^{\phi}= [/mm] 1$ [mm] $\forall g\in [/mm] D$, gehoert. Man koennte aber auch auf die Idee kommen, eine der Involutionen, die $D$ erzeugt auf die $-1$ und die andere auf $1$ abzubilden...
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