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Forum "Uni-Stochastik" - Darstellung Erwartungswert
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Darstellung Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:50 Sa 03.12.2005
Autor: djmatey

Hallo,
ich habe in einem Buch eine Gleichung für einen Erwartungswert gefunden, und zwar
[mm] E(\sigma) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}P(\sigma>n) [/mm]
für eine Zufallsgröße [mm] \sigma. [/mm]
Gilt diese Gleichung immer? Falls nicht, wann gilt sie (z.B. nur für diskrete Zufallsgrößen oder so...)?
Vielen Dank und schöne Grüße,
djmatey
        
Bezug
Darstellung Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:40 Sa 03.12.2005
Autor: felixf

Sali,

>  ich habe in einem Buch eine Gleichung für einen
> Erwartungswert gefunden, und zwar
>  [mm]E(\sigma)[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}P(\sigma>n)[/mm]
>  für eine Zufallsgröße [mm]\sigma.[/mm]
>  Gilt diese Gleichung immer? Falls nicht, wann gilt sie
> (z.B. nur für diskrete Zufallsgrößen oder so...)?

Sie gilt genau dann, wenn [mm] $P(\sigma \in \IN) [/mm] = 1$ ist. (Dabei soll [mm] $\IN$ [/mm] die $0$ enthalten!)

Wie man auf die Gleichung kommt: fuer solche ZVen gilt ja [mm] $E(\sigma) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^\infty [/mm] n [mm] P(\sigma [/mm] = n) = [mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] n [mm] P(\sigma [/mm] = n) = [mm] \sum_{n=1}^\infty \sum_{i=1}^n P(\sigma [/mm] = n) = [mm] \sum_{1 \le i \le n < \infty} P(\sigma [/mm] = n) = [mm] \sum_{i=1}^\infty \sum_{n=i}^\infty P(\sigma [/mm] = n) = [mm] \sum_{i=1}^\infty P(\sigma \in \{ i, i+1, i+2, \dots \}) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^\infty P(\sigma \ge [/mm] i) = [mm] \sum_{i=1}^\infty P(\sigma [/mm] > i - 1) = [mm] \sum_{i=0}^\infty P(\sigma [/mm] > i)$. Sorry fuer die lange Formel :-) Wenn du dazu Fragen hast gib bitte das entsprechende Gleichheitszeichen oder den Gleichungsteil mit an :-)
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