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| Aufgabe | Man gebe die Zahl [mm] z=\wurzel[2]{-i} [/mm] in Form von z= a + bi
an und bestimme a und b. |
Ich hab absolut keine Ahnung wie ich das machen soll...
Also für mich kommt da nur ne reele Zahl, nämlich 1, raus.
Wär super nett, wenn mir da jmd. helfen könnte.
Vielen Dank schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Man gebe die Zahl [mm]z=\wurzel[2]{-i}[/mm] in Form von z= a + bi
> an und bestimme a und b.
> Ich hab absolut keine Ahnung wie ich das machen soll...
> Also für mich kommt da nur ne reele Zahl, nämlich 1,
> raus.
> Wär super nett, wenn mir da jmd. helfen könnte.
Die erste Frage, die sich stellt, ist halt leider, was man hier für eine Erklärung voraussetzen darf. Ich erklär's einfach mal so, wie ich es für mich selbst machen würde. Die Grundidee ist, die komplexe Zahl [mm] $-\mathrm{i}$ [/mm] in die Polardarstellung zu bringen: [mm] $-\mathrm{i}=1\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}+\mathrm{i}2k\pi}$ [/mm] wobei [mm] $k\in \IZ$.
[/mm]
Nun benutzen wir einfache Potenzgesetze, um die gewünschte Wurzel zu bestimmen:
[mm]\begin{array}{clcll}
\text{(1)} & \sqrt[2]{-\mathrm{i}} &=& \left(1\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{2}+\mathrm{i}2k\pi}\right)^{\frac{1}{2}}\\
\text{(2)} & &=& 1^{\frac{1}{2}}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}+\mathrm{i}k\pi}\\
\text{(3)} & &=& \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{3\pi}{4}} \text{ oder } \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{7\pi}{4}}
\end{array}[/mm]
Wir erhalten hier nur zwei Lösungen (obschon ja [mm] $k\in\IZ$ [/mm] beliebig war), weil gilt: [mm] $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi+2\pi)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$.
[/mm]
Um diese beiden Lösungen in "kartesische Form" [mm] $a+b\mathrm{i}$ [/mm] zu bringen, musst Du einfach daran denken, dass gilt [mm] $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}=\cos(\varphi)+\mathrm{i}\sin(\varphi)$.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Mi 25.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Verzweifelthoch23!
Der einfachste und schnellste Weg ist schon über die o.g. MOIVRE-Formel. Du kommst hier aber auch folgendermaßen zum Ziel:
$z \ = \ a+b*i \ = \ [mm] \wurzel{-i}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $(a+b*i)^2 [/mm] \ = \ -i$
[mm] $\gdw$ $a^2+2ab*i-b^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\red{a^2-b^2}\right) [/mm] + [mm] \blue{2ab}*i [/mm] \ = \ [mm] \red{0}+(\blue{-1})*i$
[/mm]
Daraus ergibt sich nun folgendes Gleichungssystem:
1. [mm] $a^2-b^2 [/mm] \ = \ 0$
2. $2ab \ = \ -1$
Gruß
Loddar
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Ahh...
jetzt hab ichs verstanden!
Hatte da ein Monster Brett vorm Kopf. Hab an die Moivre Formel gar nich gedacht.
Aber auch danke an Loddar. Dein Lösungsweg is schön simpel und gut nachvollziehbar!
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