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| Aufgabe | Zeigen Sie, das jeder [mm] \IR-Endomorphismus [/mm] A [mm] \in [/mm] L ( [mm] \IC [/mm] , [mm] \IC [/mm] ) von [mm] \IC \cong \IR^{2} [/mm] sich eindeutig schreiben lässt in der Form
A = [mm] \alpha *id_{\IC} [/mm] + [mm] \beta [/mm] * k mit [mm] \alpha ,\beta \in \IC
[/mm]
schreiben lässt, weobei k die durch k(z) = [mm] \overline{z} [/mm] definierte komplexe Konjugation bezeichnet.
Hinweis:
Nutzen Sie zum Beweis die [mm] \IR-Linearität [/mm] der Abbildung [mm] id_{\IC}, [/mm] k und der Drehstreckungen z [mm] \mapsto \gamma [/mm] * z [mm] (\gamma \in \IC) [/mm] sowie die Dimension von
L [mm] (\IC,\IC) [/mm] |
Hallo Matheraum !
Ich brauche eure Hilfe bei der Lösung dieser Aufgabe :)
Wenn ich das richtig verstanden habe soll man zeigen das, das Bild von
[mm] \vektor{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}} [/mm] + [mm] \vektor{\beta_{1} \\ -\beta_{2}} [/mm]
gleich dem [mm] \IR^{2} [/mm] ist und das dies auch noch eindeutig ist also [mm] A\vektor{\alpha \\ -\beta} [/mm] bijektiv ist.
Ist das soweit richtig und wenn wie muss ich in etwa vorgehen um dies zu zeigen ?
Ich danke schon im vorraus :)
mfg Iwan
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Ich brauche eure Hilfe bei der Lösung dieser Aufgabe :)
stimmt.
> Wenn ich das richtig verstanden habe soll man zeigen das,
> das Bild von
>
> [mm]\vektor{\alpha_{1} \\ \alpha_{2}}[/mm] + [mm]\vektor{\beta_{1} \\ -\beta_{2}}[/mm]
>
> gleich dem [mm]\IR^{2}[/mm] ist und das dies auch noch eindeutig ist
> also [mm]A\vektor{\alpha \\ -\beta}[/mm] bijektiv ist.
> Ist das soweit richtig und wenn wie muss ich in etwa
> vorgehen um dies zu zeigen ?
Das ist so falsch verstanden, daß sich wohl keiner zutraut, dies richtig zu stellen.
Mach Dir folgendes klar:
[mm] $\IC$ [/mm] ist ein zweidimensionaler Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen, wobei Addition und Skalarmultiplikation aus [mm] $\IC$ [/mm] übernommen wird.
Die Zahlen $1$ und $i$ bilden eine Basis.
Die Funktionen [mm] $T_1, T_2, T_3, T_4$ [/mm] von [mm] $\IC$ [/mm] nach [mm] $\IC$ [/mm] mit
[mm] $T_1(z) [/mm] = z$
[mm] $T_2(z) [/mm] = i*z$
[mm] $T_3(z) [/mm] = [mm] \overline [/mm] z$
[mm] $T_4(z) [/mm] = [mm] i*\overline [/mm] z$
sind lineare Abbildungen. Sind [mm] $\alpha=\alpha_1+i*\alpha_2$ [/mm] und [mm] $\beta=\beta_1+i*\beta_2$ [/mm] komplexe Zahlen mit [mm] $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 \in\IR$, [/mm] so sind auch
[mm] $z\mapsto\alpha*z=\alpha_1*T_1(z)+\alpha_2*T_2(z)$
[/mm]
und
[mm] $z\mapsto\beta*\overline z=\beta_1*T_3(z)+\beta_2*T_4(z)$
[/mm]
lineare Abbildungen von [mm] $\IC$ [/mm] nach [mm] $\IC$.
[/mm]
Nun sollst Du zeigen, daß alle linearen Abbildungen $A$ von [mm] $\IC$ [/mm] nach [mm] $\IC$ [/mm] von der Form [mm] $A(z)=\alpha*z [/mm] + [mm] \beta*\overline [/mm] z$ sind, und daß [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] dabei eindeutig bestimmt sind. Das heißt, daß die
vier Endomorphismen [mm] $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$ [/mm] den Raum aller Endomorphismen aufspannen und linear unabhängig sind. Da der Vektorraums aller Endomorphismen eines zweidimensionalen Vektorraums vierdimensional ist, genügt es die lineare Unabhängigkeit der T's zu zeigen.
OK?
Gruß Wolfgang
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