Darstellung natürlicher Zahlen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige: Jede natürliche Zahl n besitzt eine eindeutig bestimmte Darstellung der Form
n = a1*1!+a2*2!+a3*3!+.....+ak*k!, mit 0<=ai<=i.
Ist k die größte Zahl mit ak ungleich 0, so schreibt man n=(a1,a2,...,ak).
Finde eine möglichst einfache Methode zur Berechnung der Ziffern ai und berechne die Darstellung von 1,000.000. Wie erkennt man an den Ziffern, dass (a1,a2,...,ak) < (b1,...,bl) gilt ? |
Ich würde mich sehr über einen Tipp freuen, wie ich am besten dieses Beispiel angehe,
lg,
Tsetsefliege
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Di 16.11.2010 | | Autor: | moudi |
Hallo Tsetsefliege
Schreibe [mm] $a_1\cdot1!+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!+\dots+a_k\cdot [/mm] k!$ in einder anderen Form
und zwar als
[mm] $a_1\cdot1!+a_2\cdot2!+a_3\cdot3!+\dots+a_k\cdot k!=1(a_1+2(a_2+3(a_3+4(a_4+\dots +(k-1)(a_{k-1}+k a_k)\dots))))$.
[/mm]
Vielleicht sieht du jetzt, wie du die [mm] $a_k$ [/mm] bestimmen kannst (in der Reihenfolge [mm] $a_1$, $a_2$, [/mm] ... [mm] $a_k$).
[/mm]
mfG Moudi
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Mit dieser Formel bestimmte ich doch die einzelnen Ziffern einer natürlichen Zahl. Also habe ich für die erste Ziffer [mm] a_{1}*1! [/mm] Mögl. für die 2 Ziffer [mm] a_{2}*2! [/mm] Mögl. und immer so weiter. Damit ist die Formel doch schon gezeigt od.?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Di 16.11.2010 | | Autor: | moudi |
> Mit dieser Formel bestimmte ich doch die einzelnen Ziffern
> einer natürlichen Zahl. Also habe ich für die erste
Die Zahlen [mm] $a_1, a_2,\dots$ [/mm] haben mit den Ziffern einer Zahl eher wenig zu tun.
> Ziffer [mm]a_{1}*1![/mm] Mögl. für die 2 Ziffer [mm]a_{2}*2![/mm] Mögl.
> und immer so weiter. Damit ist die Formel doch schon
> gezeigt od.?
Eher nicht.
Ich zeige dir einmal, wie man [mm] $a_1$ [/mm] bestimmt, dann kannst du selber weiterfahren. Gesucht sind also Zahlen [mm] $a_1, a_2, \dots$ [/mm] so, dass [mm] $n=a_1+2(a_2+3(a_3+4(a_4+\dots +(k-1)(a_{k-1}+k a_k)\dots))))$. [/mm] Es ist klar, dass der Summand [mm] $2(a_2+3(a_3+4(a_4+\dots +(k-1)(a_{k-1}+k a_k)\dots))))$ [/mm] gerade ist. Deshalb schliesse ich, wenn n gerade ist, dann muss [mm] $a_1=0$ [/mm] sein, wenn $n$ ungerade ist, dann muss [mm] $a_1=1$ [/mm] sein.
Dann subtrahiere ich [mm] $a_1$ [/mm] von n und teile durch 2, um die weiteren [mm] $a_i$ [/mm] zu bestimmen. Dann muss also [mm] $\frac{n-a_1}2=a_2+3(a_3+4(a_4+\dots +(k-1)(a_{k-1}+k a_k)\dots)))$ [/mm] gelten.
Ich sehe, dass der Summand [mm] $3(a_3+4(a_4+\dots +(k-1)(a_{k-1}+k a_k)\dots)))$ [/mm] durch 3 teilbar ist, deshalb ist [mm] $a_2= \dots$ [/mm] etc.
Zur Kontrolle, ich habe fuer 1'000'000=(0,2,2,1,5,2,6,6,2).
mfG Moudi
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1'000'000=(0,2,2,1,5,2,6,6,2), wenn ich das in die Formel eingebe, kommt bei mir 20800 heraus und nicht 1'000'000. Anscheinend stehe ich gerade voll auf der Leitung.
Für den unteren Summanden gilt für a2 folgendes: Falls er durch 3 teilbar ist, ist a2=0, und falls nicht ist a2=2, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Di 16.11.2010 | | Autor: | moudi |
> 1'000'000=(0,2,2,1,5,2,6,6,2), wenn ich das in die Formel
> eingebe, kommt bei mir 20800 heraus und nicht 1'000'000.
> Anscheinend stehe ich gerade voll auf der Leitung.
>
> Für den unteren Summanden gilt für a2 folgendes: Falls er
> durch 3 teilbar ist, ist a2=0, und falls nicht ist a2=2,
> oder?
Nein, da der restliche Summand durch 3 teilbar ist, muss a2 der Rest sein von [mm] $\frac{n-a_1}2$ [/mm] bei der Division durch 2. Dann subtrahiert man diesen Rest teilt durch 3 und erhaelt so eine neue Zahl. Dann ist [mm] a_3 [/mm] der Rest dieser neuen Zahl bei der Division durch 4 etc.
Ich habe [mm] $0\cdot1!+2\cdot2!+2\cdot3!+1\cdot4!+5\cdot5!+2\cdot6!+6\cdot7!+6\cdot8!+2\cdot9!=1'000'000$.
[/mm]
mfG Moudi
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Ok, Vielen Dank. Ich habe es jetzt selbst noch mit einer anderen beliebigen Zahl ausprobiert. 52397 = (1,2,0,3,4,2,2,1), Probe bestätigt es. Die letzte Frage lautet, wie man an den Ziffern erkennen kann, dass (a1,...,ak) < (b1,...,bk). Durch Einsetzen in die Formel würde man natürlich sofort zum Ergenis gelangen, ich denke jedoch das das nicht die Antwort auf die Frage ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mi 17.11.2010 | | Autor: | moudi |
Berechne mal die Koeffizienten fuer einfache Zahlen, z.B. 0 bis 6, dann ist es offensichtlich.
mfG Moudi
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