Darstellungsmatrix+Resultante < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 So 09.04.2006 | | Autor: | neli |
| Aufgabe | f= f(P,Q) von [mm] k[x]_m \times k[x]_n [/mm] nach [mm] k[x]_{m+n} [/mm] mit (S,T) [mm] \mapsto [/mm] SQ + TP
Koordinatensystem von [mm] k[x]_m \times k[x]_n [/mm] = [mm] ((1,0),(X,0),...(X^{m-1},0)(0,1),(0,X),...(0,X^{n-1}))
[/mm]
Koordinatensystem von [mm] k[x]_{m+n} [/mm] = [mm] (1,X,X^2,.....,X^{m+n-1})
[/mm]
Schreibe die Darstellungsmatrix M = M(P,Q) von f(P,Q) bzgl. der beiden Koordinatensysteme
Schreibe für m=n=2 det M(P,Q) als polynomiale Funktion der Koeffizienten [mm] p_o,p_1,p_2,q_0.q_1,q_2 [/mm] auf. (det M(P,Q) heißt Resultante von P und Q) |
Mein erstes Problem ist, dass meine Darstellungsmatrix nicht so aussieht wie sie aussehen sollte.
für n=m=2 sieht sie so aus
[mm] \pmat{ q_o & 0 & p_0 & 0 \\ q_1 & q_0 & p_1 & p_0 \\ q_2 & q_1 & p_2 & p_1 \\ q_3 & q_2 & p_3 & p_2 }
[/mm]
Mein zweites Problem ist, dass ich nicht verstehe, wie die Determinante davon eine polynomiale Funktion sein kann.
Auf die Matrix bin ich gekommen indem ich f von der Basis berechnet habe
[mm] f(1,0)=Q=q_0 [/mm] + [mm] q_{1}X [/mm] + ... [mm] q_nX^n
[/mm]
[mm] f(X^{m-1},0)= X^{m-1}Q= q_0X^{m-1} [/mm] + .... [mm] q_nX^{m+n-1}
[/mm]
f(0,1) = P = [mm] p_0 [/mm] + [mm] p_{1}X +......+p_mX^m
[/mm]
[mm] f(0,X^{n-1})= X^{n-1}P= p_oX^{n-1}+.....+p_mX^{m+n-1}
[/mm]
und das dann als linerarkombination von Elementen aus der Basis vom [mm] k[x]_{m+n} [/mm] aufgefasst habe und die Koefizienten dann als Spalten in die Matrix eingetragen habe
Würde mich freuen wenn mir jemand meinen Fehler aufzeigen könnte
Habe diese "Frage" in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 So 09.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo neli!
> f= f(P,Q) von [mm]k[x]_m \times k[x]_n[/mm] nach [mm]k[x]_{m+n}[/mm] mit
> (S,T) [mm]\mapsto[/mm] SQ + TP
> Koordinatensystem von [mm]k[x]_m \times k[x]_n[/mm] =
> [mm]((1,0),(X,0),...(X^{m-1},0)(0,1),(0,X),...(0,X^{n-1}))[/mm]
> Koordinatensystem von [mm]k[x]_{m+n}[/mm] =
> [mm](1,X,X^2,.....,X^{m+n-1})[/mm]
Also ist [mm] $k[x]_n$ [/mm] der Vektorraum der Polynome mit Grad $< n$?
> Schreibe die Darstellungsmatrix M = M(P,Q) von f(P,Q) bzgl.
> der beiden Koordinatensysteme
> Schreibe für m=n=2 det M(P,Q) als polynomiale Funktion der
> Koeffizienten [mm]p_o,p_1,p_2,q_0.q_1,q_2[/mm] auf. (det M(P,Q)
> heißt Resultante von P und Q)
Sind $P [mm] \in k[x]_{m+1}$ [/mm] und $Q [mm] \in k[x]_{n+1}$?
[/mm]
> Mein erstes Problem ist, dass meine Darstellungsmatrix
> nicht so aussieht wie sie aussehen sollte.
Wie sollte sie denn aussehen?
> für n=m=2 sieht sie so aus
> [mm]\pmat{ q_o & 0 & p_0 & 0 \\ q_1 & q_0 & p_1 & p_0 \\ q_2 & q_1 & p_2 & p_1 \\ q_3 & q_2 & p_3 & p_2 }[/mm]
Was sind [mm] $p_3$ [/mm] und [mm] $q_3$? [/mm] Solltest du sie nicht einfach durch $0$ ersetzen? Wenn du sie ersetzt sieht die Matrix fuer mich richtig aus.
> Mein zweites Problem ist, dass ich nicht verstehe, wie die
> Determinante davon eine polynomiale Funktion sein kann.
Schreib die Determinante von dieser Matrix doch mal hin (etwa ueber die Leibniz-Formel). Dann hast du einen polynomiellen Ausdruck in den Unbestimmten [mm] $p_0, \dots, p_m$ [/mm] und [mm] $q_0, \dots, q_m$.
[/mm]
> Auf die Matrix bin ich gekommen indem ich f von der Basis
> berechnet habe
> [mm]f(1,0)=Q=q_0[/mm] + [mm]q_{1}X[/mm] + ... [mm]q_nX^n[/mm]
> [mm]f(X^{m-1},0)= X^{m-1}Q= q_0X^{m-1}[/mm] + .... [mm]q_nX^{m+n-1}[/mm]
> f(0,1) = P = [mm]p_0[/mm] + [mm]p_{1}X +......+p_mX^m[/mm]
> [mm]f(0,X^{n-1})= X^{n-1}P= p_oX^{n-1}+.....+p_mX^{m+n-1}[/mm]
Hier tauchen fuer $m = n = 2$ die Koeffizienten [mm] $q_3$ [/mm] und [mm] $p_3$ [/mm] nicht auf.
> und das dann als linerarkombination von Elementen aus der
> Basis vom [mm]k[x]_{m+n}[/mm] aufgefasst habe und die Koefizienten
> dann als Spalten in die Matrix eingetragen habe
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mo 10.04.2006 | | Autor: | neli |
Also [mm] k[x]_n [/mm] sind die Polynome mit grad < n
Q ist [mm] \in k[x]_{n+1} [/mm] und P [mm] \in k[x]_{m+1} [/mm]
Bei der Matrix müssen [mm] p_3 [/mm] und [mm] q_3 [/mm] Null sein
Hatte irgendwie im Internet ein Bild von so einer Matrix deren Determinante die Resultante sein sollte gefundne und die sa irgendiwe anders aus wüsste nur nicht wieso
Als determinante habe ich [mm] q_0^2p_2^2 [/mm] + [mm] p_0^2q_2^2 [/mm] - [mm] q_2p_2q_0p_0 [/mm] - [mm] p_2q_2q_0p_0 [/mm] aber das ist ja keine polynomiale Funktion das wäre ja dann nur irgendeine Zahl aus k
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mo 10.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo neli!
> Also [mm]k[x]_n[/mm] sind die Polynome mit grad < n
> Q ist [mm]\in k[x]_{n+1}[/mm] und P [mm]\in k[x]_{m+1}[/mm]
> Bei der Matrix müssen [mm]p_3[/mm] und [mm]q_3[/mm] Null sein
> Hatte irgendwie im Internet ein Bild von so einer Matrix
> deren Determinante die Resultante sein sollte gefundne und
> die sa irgendiwe anders aus wüsste nur nicht wieso
Vielleicht war die Matrix da transponiert. Liefert ja die gleiche Determinante. Oder es waren ein paar Vorzeichen eingestreut, so dass die Determinante davon ein Vielfaches der Determinante von deiner Matrix ist (der Faktor ist meist sowas wie [mm] $(-1)^k$ [/mm] fuer irgendein $k$, was evtl. von $n$ abhaengt).
> Als determinante habe ich [mm]q_0^2p_2^2[/mm] + [mm]p_0^2q_2^2[/mm] -
> [mm]q_2p_2q_0p_0[/mm] - [mm]p_2q_2q_0p_0[/mm] aber das ist ja keine
> polynomiale Funktion das wäre ja dann nur irgendeine Zahl
> aus k
Natuerlich ist das eine polynomielle Funktion: und zwar in den Unbestimmten [mm] $p_0, p_1, p_2, q_0, q_1, q_2$! [/mm] (Und selbst wenn du die als Konstanten sehen willst: Elemente aus $k$ sind auch Polynome -- halt konstante Polynome  )
In dieses 'Polynom' packst du dann die Koeffizienten deiner Polynome rein, deren Resultante du ausrechen willst. Dann sparst du dir, die Koeffizienten in eine Matrix reinzupacken und die Determinante dieser auszurechnen.
Ok, das mag jetzt auf den ersten Blick etwas bloed toenen, aber fuer manche Zwecke ist es sehr praktisch, ein Polynom zu haben, in das man Koeffizienten einsetzen kann und welches einem dann sagt, ob irgendeine algebraische Beziehung gilt; die Resultante sagt z.B., ob die zwei Polynome teilerfremd sind (Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$) oder nicht (Determinante $= 0$).
(Ein Spezialfall der Resultante ist uebrigens die Diskriminante, dann setzt du $f$ und $f'$ (Ableitung) ein; die Diskriminante ist genau dann [mm] $\neq [/mm] 0$, wenn das Polynom $f$ ueber dem algebraischen Abschluss von $k$ keine mehrfachen Nullstellen hat. Und das man sowas (auf den ersten Blick recht kompliziertes) einfach durch Ausrechnen eines polynomiellen Ausdrucks in den Koeffizienten von $f$ bestimmen kann ist doch gar nicht so schlecht, oder? )
LG Felix
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