Darstellungsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eigenschaften der Darstellungsmatrix [mm] \\
[/mm]
Es seien $U, V, W$ Vektorräume mit den Basen [mm] $\mathcal{B, C, D}$. [/mm] Weiter seien [mm] $\varphi_1, \varphi_2, \phi$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] lineare Abbildungen mit
[mm] \varphi_1, \varphi_2, \phi [/mm] : U [mm] \rightarrow [/mm] V [mm] \\
[/mm]
[mm] \psi [/mm] : V [mm] &\rightarrow [/mm] W.
Dann gilt:
(i) [mm] $A^{\mathcal{B,C}}_{\varphi_1 + \varphi_2} [/mm] = [mm] A^{\mathcal{B,C}}_{\varphi_1} [/mm] + [mm] A^{\mathcal{B,C}}_{\varphi_2}$,
[/mm]
(ii) [mm] $A^{\mathcal{B,C}}_{\lambda \cdot \phi} [/mm] = [mm] \lambda \cdot A^{\mathcal{B,C}}_{\phi}$,
[/mm]
(iii) [mm] $A^{\mathcal{B,D}}_{\psi \circ \phi} [/mm] = [mm] A^{\mathcal{C,D}}_{\psi} \cdot A^{\mathcal{B,C}}_{\phi}$.
[/mm]
Zeige die letzte Aussage für den Spezialfall mit $U = V = W = [mm] \mathbb{R}^2$ [/mm] und [mm] $\mathcal{B} [/mm] = [mm] \mathcal{C} [/mm] = [mm] \mathcal{D} [/mm] = [mm] \mathcal{E}$, [/mm] wobei [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] die kanonische Basis [mm] $((1,0)^t,(0,1)^t)$ [/mm] bezeichnet. |
Hallo ihr Lieben,
ich sitze gerade an obiger Aufgabenstellung. Krankheitsbedingt war ich leider die letzten 3 Wochen außer Gefecht und mühe mich nun mit dem Einstieg in die lineare Algebra ab. Besonders die letzte Aufgabe des aktuelle Übungsblattes fällt mir schwer. Leider gibt es kein öffentliches Skript zur Vorlesung (ich arbeite nur sehr ungern mit kopierten Abschriften anderer). Für die Aufgabe habe ich mir zunächst einmal unter folgendem Link: https://matheraum.de/wissen/Darstellungsmatrix die Definition der Darstellungsmatrix angesehen.
Nun zu der Aufgabe und Teil a):
Ich verstehe, dass wir drei Vektorräume haben. Idealerweise haben, alle Vektoren sogar die gleiche Basis: [mm] ((0,1)^t, (1,0)^t) [/mm] (richtig?). Wenn ich die Definition von einer Basis richtig verstanden habe, dann spannt diese den Vektorraum auf. Folglich sind deswegen dann laut Aufgabenstellung auch alle meine Vektorräume gleich, oder hat das einen anderen Grund (Verständnisfrage!)?
Weiter habe ich vier Abbildungen definiert, davon bilden drei einen Vektor aus $U$ in einen Vektor aus $V$ ab und die vierte Abbildung bildet aus $V$ nach $W$ ab.
Was soll ich zeigen?
[mm] $A^{\mathcal{B,D}}_{\psi \circ \phi} [/mm] = [mm] A^{\mathcal{C,D}}_{\psi} \cdot A^{\mathcal{B,C}}_{\phi}$
[/mm]
Es soll gezeigt werden, dass unter obigen Bedingungen das Ergebnis, wenn ich [mm] $\phi$ [/mm] in [mm] $\psi$ [/mm] einsetzte ("also [mm] $\psi$ [/mm] nach [mm] $\phi$") [/mm] und dann die Darstellungsmatrix berechne, ich das gleiche Ergebnis erhalte, wie wenn ich die Darstellungsmatrix von [mm] $\psi$ [/mm] mit der Darstellungsmatrix von [mm] $\phi$ [/mm] multipliziere.
Soweit mein Verständnis, ich weiß leider aber überhaupt nicht wie ich da jetzt praktisch rangehe. So habe ich ja keine Ahnung wie diese Funktionen aussehen, wie soll ich also die eine Funktion in die Andere einsetzten? Geschweige denn eine Darstellungsmatrix berechnen?
Über einen guten Tipp würde ich mich wirklich sehr freuen, vielen Dank!
Liebe Grüße,
Chris
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Di 16.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Hallo ihr Lieben,
>
> ich sitze gerade an obiger Aufgabenstellung.
> Krankheitsbedingt war ich leider die letzten 3 Wochen
> außer Gefecht und mühe mich nun mit dem Einstieg in die
> lineare Algebra ab. Besonders die letzte Aufgabe des
> aktuelle Übungsblattes fällt mir schwer. Leider gibt es
> kein öffentliches Skript zur Vorlesung (ich arbeite nur
> sehr ungern mit kopierten Abschriften anderer). Für die
> Aufgabe habe ich mir zunächst einmal unter folgendem Link:
> https://matheraum.de/wissen/Darstellungsmatrix die
> Definition der Darstellungsmatrix angesehen.
>
> Nun zu der Aufgabe und Teil a):
> Ich verstehe, dass wir drei Vektorräume haben.
> Idealerweise haben, alle Vektoren sogar die gleiche Basis:
> [mm]((0,1)^t, (1,0)^t)[/mm] (richtig?). Wenn ich die Definition von
> einer Basis richtig verstanden habe, dann spannt diese den
> Vektorraum auf. Folglich sind deswegen dann laut
> Aufgabenstellung auch alle meine Vektorräume gleich, oder
> hat das einen anderen Grund (Verständnisfrage!)?
Grund für was? Es sind weder die Basen noch die Vektorräume im Allgemeinen gleich.
> Weiter habe ich vier Abbildungen definiert, davon bilden
> drei einen Vektor aus [mm]U[/mm] in einen Vektor aus [mm]V[/mm] ab und die
> vierte Abbildung bildet aus [mm]V[/mm] nach [mm]W[/mm] ab.
>
> Was soll ich zeigen?
> [mm]A^{\mathcal{B,D}}_{\psi \circ \phi} = A^{\mathcal{C,D}}_{\psi} \cdot A^{\mathcal{B,C}}_{\phi}[/mm]
>
> Es soll gezeigt werden, dass unter obigen Bedingungen das
> Ergebnis, wenn ich [mm]\phi[/mm] in [mm]\psi[/mm] einsetzte ("also [mm]\psi[/mm] nach
> [mm]\phi[/mm]") und dann die Darstellungsmatrix berechne, ich das
> gleiche Ergebnis erhalte, wie wenn ich die
> Darstellungsmatrix von [mm]\psi[/mm] mit der Darstellungsmatrix von
> [mm]\phi[/mm] multipliziere.
>
> Soweit mein Verständnis, ich weiß leider aber überhaupt
> nicht wie ich da jetzt praktisch rangehe. So habe ich ja
> keine Ahnung wie diese Funktionen aussehen, wie soll ich
> also die eine Funktion in die Andere einsetzten? Geschweige
> denn eine Darstellungsmatrix berechnen?
Fange bei der Definition der Darstellungsmatrizen an.
Wie ist die Addition bzw. Multiplikation von Matrizen definiert?
Wie ist die Addition bzw. Komposition von Abbildungen definiert.
Beachte auch, dass die Abbildungen linear sind.
Viel mehr musst du für den Beweis nicht wissen.
> Über einen guten Tipp würde ich mich wirklich sehr
> freuen, vielen Dank!
>
> Liebe Grüße,
> Chris
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo andyv,
danke für deine schnelle Antwort. Leider komme ich noch nicht drauf. Mir fallen solche Beweise immer schwer. Ich versuche dir mal zu schreiben was ich ausprobiert habe (die Matrix Multiplikation wie Addition ist kein Problem, die Komposition für Abbildungen auch nicht).
Mir ist nicht klar wie ich das korrekt handhabe z.B:
[mm] $A^{\mathcal{B,C}}_{\phi} [/mm] = [mm] \pmat{\phi (v_1) \phi (v_2)} [/mm] $ (soll eine Darstellungsmatrix sein wobei die Bilder der Basisvektoren von V als Spalten einer Matrix auffasst sind). Aber ich weiß ja leider nicht wie meine [mm] $\phi$ [/mm] Funktion definiert ist, ausser, dass diese linear ist und eben irgendwie von [mm] $\phi [/mm] : [mm] \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R^2}$ [/mm] mit [mm] $\phi \vektor{x \\ y}$ [/mm] vom einen Vektorraum in den anderen Vektorraum abbildet. Aber wie soll ich hier denn mit den Basen in meine Funktion einsetzten? Könnte ich das sinnvoll darstellen, wäre mir vielleicht geholfen.
Hast du mir hier noch einen Tipp? Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Mi 17.12.2014 | | Autor: | andyv |
Beispielhaft die i):
$ [mm] \sum_j (A^{\mathcal{B,C}}_{\varphi_1 + \varphi_2})_{ji}c_i =(\varphi_1+\varphi_2)(b_i)=\varphi_1(b_i)+\varphi_2(b_i)=\sum_j (A^{\mathcal{B,C}}_{\varphi_1})_{ji}c_i [/mm] + [mm] \sum_j(A^{\mathcal{B,C}}_{\varphi_2})_{ji}c_i=\sum_j (A^{\mathcal{B,C}}_{\varphi_1}+A^{\mathcal{B,C}}_{\varphi_2})_{ji}c_i$. [/mm] Da [mm] $\mathcal{C}=\{c_i\}$ [/mm] eine Basis ist folgt die Behauptung. (Die [mm] $b_i$ [/mm] sollen die Basisvektoren von [mm] $\mathcal [/mm] B$ sein.)
Liebe Grüße
|
|
|
|
