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Darstellungsmatrix: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Mo 03.02.2020
Autor: Olli1968

Aufgabe
Sei [mm]A=\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\}[/mm] die Standardbasis von [mm]V=\IC^{3}[/mm] und sei [mm]B=\{y_{1}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1},y_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ -1}, y_{3}=\vektor{0 \\ 5 \\ -4} \}[/mm] eine weitere Basis von [mm]V[/mm]. Sei[mm] \phi:V \to V[/mm] eine lineare Abbildung mit Darstellungsmatrix [mm]M_{B}^{B}(\phi)=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & -1}[/mm].
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen [mm]M_{A}^{A}(\phi)[/mm] und [mm]M_{A}^{A}(\phi^{2020})[/mm]

(ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet)

Hallo liebe Mathefreunde,
ich brauche mal wieder eure Hilfe. Zu dieser Aufgabe liegt mir eine Musterlösung vor. Soweit kam ich mit der Aufgabe gut zurecht, nur ist mir aufgefallen, dass es Unterschiede beim Verständnis der Basiswechselmatrizen gibt.
In der Musterlösung haben die, die Transformationsmatrizen wie folgt notiert:
[mm]M_{A}^{B}(id)=\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & -4}[/mm] und [mm]M_{B}^{A}(id)=\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ -5 & -4 & -5 \\ 1 & 1 & 1}[/mm].
Ich hatte aber
[mm]M_{B}^{A}(id)=\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & -4}[/mm] und [mm]M_{A}^{B}(id)=\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ -5 & -4 & -5 \\ 1 & 1 & 1}[/mm] erhalten.

Nach meinem Verständnis müsste doch [mm]M_{B}^{A}e_{1}=\vektor{ -1 \\ 0 \\ 1}[/mm] sein ?!

Nach der Musterlösung erhalte ich dann aber [mm]M_{B}^{A}e_{1}=\vektor{ -1 \\ -5 \\ 1}[/mm]

Oder verstehe ich da was nicht?

Vielen Dank für eure Unterstützung.



        
Bezug
Darstellungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 Mo 03.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Nach der Musterlösung erhalte ich dann aber
> [mm]M_{B}^{A}e_{1}=\vektor{ -1 \\ -5 \\ 1}[/mm]

das ist auch korrekt und muss so sein.
Warum? [mm] $M_B^A$ [/mm] ist der Basiswechsel von A nach B, d.h. nach Anwendung von [mm] M_B^A [/mm] wird jeder Vektor nicht mehr gemäß der Basis A, sondern gemäß der Basis B dargestellt.

D.h. [mm] $M_B^Ae_1$ [/mm] ist die Darstellung von [mm] e_1 [/mm] gemäß der Basis B.
[mm] $\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3}$ [/mm] ist aber dann die Darstellung von [mm] e_1 [/mm] gemäß der Basis B, wenn gilt:

[mm] $e_1 [/mm] = [mm] a_1y_1 [/mm] + [mm] a_2y_2 [/mm] + [mm] a_3y_3$ [/mm]

Lösen des Gleichungssystems liefert: [mm] $\vektor{a_1 \\ a_2 \\ a_3} [/mm] =  [mm] \vektor{ -1 \\ -5 \\ 1}$ [/mm]

D.h. [mm]M_{B}^{A}e_{1}=\vektor{ -1 \\ -5 \\ 1}[/mm]

Man kann nun zeigen: Ist A die Standardbasis, so ist [mm] $M_{B}^{A} [/mm] = [mm] (y_1,y_2,y_3)^{-1}$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Darstellungsmatrix: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:34 Mo 03.02.2020
Autor: Olli1968

Hallo Gono,

danke für deine schnelle Hilfe.
Jetzt ist es klar ...
Ich hatte irgendwie [mm]M_{B}^{A}e_{i}[/mm] mit [mm]\phi(e_{i})=y_{i}[/mm] zusammen gebracht, aber [mm]M_{B}^{A}[/mm] liefert ja den Koordinatenvektor von [mm]e_{i}[/mm] zur Basis B.

Somit erhalte ich [mm]M_{B}^{A}[/mm] durch die Koordinatenvektoren der Standardbasis bezüglich der Basis B und [mm]M_{A}^{B}[/mm] durch die Koordinatenvektoren bezüglich der Standradbasis also durch die [mm]y_{i} \in B[/mm] als Spalten der Matrix.

Nochmals Danke für deine schnelle Hilfe.


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