Darstellungsmatrix < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 So 14.12.2003 | | Autor: | Tina |
Hey Leutz,
ich hab ne wirklich kniffelige Aufgabe und komme find da keinen anständigen Lösungsweg. Es wäre super super nett, wenn ihr mir ein oder zwei Tipps dazu geben würdet.
Die Aufgabe lautet:
Es sei K ein Körper und V ein Vektorraum über K mit dimV=n < unendlich. Weiter sei psi: V ---> V linear mit spi verkettet mit phi = phi. Man zeige:
(a) Es gilt Kern phi geschnitten Bild phi= {0}
(b) Es gibt eine Basisfolge B=(v1,...,vn) mit
MBB(phi)=Matrix mit einsen in der Diagonalen bis zu einer Stelle und dann Nullen eiter in der Diagonalen und sonst überall Nullen. (Ich hoffe das ist verständlich. Weiß noch nicht wie man das so richtig aufscheibt  )
Gilt die Umkehrung auch?( Das soll heißen: Folgt phi verkettet mit phi = phiaus der Existenz einer Basisfolge B wie oben?)
Danke schon im vorraus Tina.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 So 14.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Tina,
die Beziehung
[mm]\{0\} \subset \mbox{Kern}(\psi) \cap \mbox{Bild}(\psi)[/mm]
ist trivial.
Ist nun [mm]x \in \mbox{Kern}(\psi) \cap \mbox{Bild}(\psi)[/mm],
so gilt: [mm]\psi(x)=0[/mm] und es gibt ein [mm]a \in V[/mm] mit [mm]\psi(a)=x[/mm].
Daraus folgt:
[mm]x = \psi(a) = \psi(\psi(a)) = \psi(x) = 0[/mm].
Wir haben also
[mm]\mbox{Kern}(\psi)\cap \mbox{Bild}(\psi) = \{0\}[/mm]
gezeigt. Daraus folgt:
[mm] V = \mbox{Kern}(\psi)\oplus \mbox{Bild}(\psi) [/mm].
Es gibt also eine Basis [mm](v_1,\ldots,v_i,v_{i+1},\ldots,v_n)[/mm] von[mm]V[/mm] mit
[mm]v_1,\ldots,v_i \in \mbox{Bild}(\psi)[/mm] und
[mm]v_{i+1},\ldots,v_n \in \mbox{Kern}(\psi)[/mm].
Wie sieht nun die Matrixdarstellung bezüglich der Basis [mm]{\cal B} := (v_1,\ldots,v_n)[/mm] aus?
Es gibt [mm]a_1,\ldots,a_i \in V[/mm] mit
[mm]v_j = \psi(a_j) \qquad \mbox{für} \quad j=1,\ldots,i[/mm].
Daraus folgt für [mm]j=1,\ldots,i[/mm]:
[mm]\psi(v_j) = \psi(\psi(a_j)) = \psi(a_j) = v_j = 0 \cdot v_1 + \ldots + 0 \cdot v_{j-1} + 1 \cdot v_j + 0 \cdot v_{j+1} + \ldots + 0 \cdot v_n[/mm]
und für [mm]j=i+1,\ldots,n[/mm]:
[mm]\psi(v_j) = 0 = 0[/mm].
Daraus folgt unmittelbar:
[mm]M_{{\cal B}}^{{\cal B}}(\psi) = \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 0 & \ddots & 0 & \ldots& 0 & 0\\ 0 & \ldots & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0& \ldots & 0 \end{array} \right),[/mm]
wobei die Anzahl der Einsen gleich [mm]i[/mm] ist.
Gibt es nun umgekehrt eine Basis [mm]{\cal B} := (v_1,\ldots,v_n)[/mm] mit
[mm]M_{{\cal B}}^{{\cal B}}(\psi) = \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\ 0 & \ddots & 0 & \ldots& 0 & 0\\ 0 & \ldots & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0& \ldots & 0 \end{array} \right),[/mm]
wobei die Anzahl der Einsen gleich [mm]i[/mm] ist, so folgt:
Ist [mm]x = \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_i v_i + \lambda_{i+1} v_{i+1} + \ldots + \lambda_n v_n[/mm] beliebig aus [mm]V[/mm] gegeben, so folgt aus der Darstellung der Abbildung [mm]\psi[/mm] bezüglich der Basis [mm]{\cal B}[/mm]:
[mm]\psi(\psi(x))[/mm]
[mm]= \psi(\psi (\lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_i v_i + \lambda_{i+1} v_{i+1} + \ldots + \lambda_n v_n))[/mm]
[mm]= \psi( \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_i v_i)[/mm]
[mm]= \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_i v_i[/mm]
[mm]= \psi( \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_i v_i + \lambda_{i+1}v_{i+1} + \ldots \lambda_n v_n)[/mm]
[mm] = \psi(x)[/mm],
also auch die Umkehrung.
Alles klar?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 So 14.12.2003 | | Autor: | Jessica |
Danke das hat mir echt das Leben gerettet! Nur noch eine Frage, was ist das für ein ZEichen, das in Klammern hinter dem Kern beispielsweise steht...Entweder ich bin ne bisschen dumm oder ich weiß nicht...
Naja, jedenfalls DANKE!
Tina!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 So 14.12.2003 | | Autor: | Tina |
Hey Leute, bitte nicht wundern, dass der Beitrag unter Jessica steht. Jessica und ich (Tina) machen gerade zusammen die Aufgaben. Sorry, haben nicht drangedacht umzuschalten und sich neu als Jessica und Tina einzuloggen hatten wir jetzt nicht so große Lust. Ihr versteht.... Also sorry nochmal. Aber was bedeutet nun das ZEichen?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 So 14.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Tina und Jessica,
ich nehme an, ihr meint dieses Zeichen hier [mm] \psi [/mm].
Das ist das "psi", von dem in Eurer Aufgabenstellung die Rede ist, also der Name für die Abbildung.
Meintet Ihr das?
Alles Gute,
Marc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 So 14.12.2003 | | Autor: | Tina |
Ne da habe ich mich wohl falsch ausgedrückt. Ich bzw. wir meinten den Kreis mit dem Plus darinnen. Meintest du damit das du Kern phi mit Bild phi addierst oder eine andere Verknüpfung.
Danke Tina.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 So 14.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Ihr zwei,
ah, sorry, Ihr meintet das:
[mm] V = \mbox{Kern}(\psi)\oplus \mbox{Bild}(\psi) [/mm]
bzw. genauer: Dieses Zeichen [mm] \oplus [/mm]
Das bedeutet direktes Produkt bzw. die direkte Summe (da wir im endlichdimensionalen Fall sind) der beiden Vektorräume.
Diese direkte Summe ist einfach der Vektorraum, der aus dem kartesischen Produkt der beiden Mengen [mm] \mbox{Kern}(\psi) [/mm] und [mm]\mbox{Bild}(\psi)[/mm] gebildet worden ist.
Dieses kartesische Produkt zweier Elemente [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] würde ich mir -- falls die beiden Mengen Vektorräume sind -- einfach vorstellen als einen "langen Vektor", der alle Komponenten der beiden Vektoren [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] enthält.
Beispiel:
[mm] u = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} [/mm] und
[mm] v = \begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix} [/mm]
Dann könnte man [mm] (u,v) [/mm], also ein Element aus dem kartesischen Produkt [mm]\times[/mm], auffassen als [mm] (u,v)=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\\5\end{pmatrix} [/mm]
Weil die Menge [mm]\times[/mm] wieder ein Vektorraum ist, verdeutlicht man dies durch die Schreibweise [mm]\oplus[/mm]
Weitere Beispiele kennst du bereits, zum Beispiel ist die direkte Summe zweier Ursprungsgeraden eine Ursprungsebene:
[mm]\IR \oplus \IR = \IR^2[/mm]
Alles klar?
Viele Grüße,
Marc.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Mo 15.12.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Tina, hallo Jessica,
ergänzend zu Marc darf ich noch sagen:
Für zwei Untervektorräume [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm] eines (endlichdimensionalen) Vektorraumes [mm]V[/mm] schreibt man für die Summe [mm]U+W[/mm] (die ihr ja kennt, wie ich weiß) das Symbol [mm]U \oplus W[/mm] und nennt [mm]U \oplus W[/mm] die direkte Summe von [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm], wenn [mm]U \cap W=\{0\}[/mm] gilt. Dann kann man [mm]U \oplus W[/mm] so interpretieren wie von Marc dargestellt.
Alles Gute
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Fr 04.06.2010 | | Autor: | sionzris |
| Aufgabe | Wir haben also
$ [mm] \mbox{Kern}(\psi)\cap \mbox{Bild}(\psi) [/mm] = [mm] \{0\} [/mm] $
gezeigt. Daraus folgt:
$ V = [mm] \mbox{Kern}(\psi)\oplus \mbox{Bild}(\psi) [/mm] $. |
Ich verstehe nicht ganz wie man das mal so eben folgert. Der rest ist (relativ) klar.
Hoffe es reagiert noch jemand^^ ist ja schon was älter aber habe das gleiche Problem.
P.s.: Hallo alle, erster Post.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Sa 05.06.2010 | | Autor: | sionzris |
Vielen Dank! Ich glaub da hätte ich wieder ewig drüber gebrütet^^
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
