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| Aufgabe | Sei V der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] V := [mm] \IR^{2x2}. [/mm] Ferner seien A := [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] sowie E := { [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] }. Es sei f : V [mm] \mapsto [/mm] V definiert durch X [mm] \mapsto [/mm] A * X - X * A.
Bestimmen sie die Darstellungsmatrix D(f). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wenn ich versuch die Darstellungsmatrix auszurechnen (also die Bilder der Basisvektoren als Spalten in eine Matrix schreiben) komme ich auf eine 2x8 Matrix, das kann ja wohl nicht stimmen.
Bin irgendwie ziemlich planlos wie so eine 2x2 Darstellungsmatrix aussehen soll die die lineare Abbildung A * X - X * A definiert. :S
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> Sei V der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] V := [mm]\IR^{2x2}.[/mm] Ferner seien A :=
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] sowie E := [mm] \{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } , \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } , \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } ,\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } \}. [/mm]
> Es sei f : V [mm]\mapsto[/mm] V definiert
> durch X [mm]\mapsto[/mm] A * X - X * A.
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> Bestimmen sie die Darstellungsmatrix D(f).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Wenn ich versuch die Darstellungsmatrix auszurechnen (also
> die Bilder der Basisvektoren als Spalten in eine Matrix
> schreiben) komme ich auf eine 2x8 Matrix, das kann ja wohl
> nicht stimmen.
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> Bin irgendwie ziemlich planlos wie so eine 2x2
> Darstellungsmatrix aussehen soll die die lineare Abbildung
> A * X - X * A definiert. :S
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Eine 2x2-Matrix ist die gesuchte Darstellungsmatrix auch nicht.
Die Abbildung f, welche hier zu betrachten ist, geht ja aus dem V in den V.
V ist der VR der 2x2-Matrizen über [mm] \IR, [/mm] er hat die Dimension 4, eine Basis, nämlich E, ist ja bereits angegeben.
Es muß also eine 4x4-Matrix herauskommen, denn wir bilden aus einem Raum de Dimension 4 in einen Raum der Dimension 4 ab.
Dem, was Du schreibst, entnehme ich, daß Du prinzipiell Darstellungsmatrizen ausrechnen kannst: in die Spalten der Darstellungsmatrix kommen die Bilder der Basisvektoren (in Koordinaten bzgl der betrachteten Matrix).
Also brauchen wir für die erste Spalte der Darstellungsmatrix das Bild des 1. Basisvektors, also von [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }.
[/mm]
Das rechne ich jetzt aus:
es ist
[mm] f(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 })=A [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] - [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] * A [mm] =\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] - [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 3 & 0}-\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 } =\pmat{ 0 & -2 \\ 3 & 0 } =0*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+(-2)*\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+3*\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }+0*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } =\vektor{0\\-2\\3\\0}_{(E)},
[/mm]
und dies ist der Vektor, der in die erste Spalte der Darstellungsmatrix gehört.
Die anderen dann entsprechend.
Gruß v. Angela
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> Es muß also eine 4x4-Matrix herauskommen, denn wir bilden
> aus einem Raum de Dimension 4 in einen Raum der Dimension 4
> ab.
>
super, danke! wenn meine darstellungsmatrix dann allerdings 4x4 ist, wie multipliziere ich dann die 2x2 vektoren damit?
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> > Es muß also eine 4x4-Matrix herauskommen, denn wir bilden
> > aus einem Raum de Dimension 4 in einen Raum der Dimension 4
> > ab.
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>
> super, danke! wenn meine darstellungsmatrix dann allerdings
> 4x4 ist, wie multipliziere ich dann die 2x2 vektoren
> damit?
Hallo,
die 4x4-Darstellungsmatrix mußt Du mit Koordinatenvektoren bzgl der Basis E füttern - und solche bekomst Du auch als Ergebnis geliefert.
Es ist z.B. [mm] \pmat{ 5 & 6 \\ 7 & 8 }=\vektor{5\\6\\7\\8}_{(E)}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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