Darstellungsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Mo 29.12.2008 | | Autor: | farnold |
| Aufgabe | [mm] \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, [/mm] f [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}, [/mm] f [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
Bestimme eine Darstellungsmatrix bezüglich der kann. Basis des [mm] \IR^3 [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
aber die Frage auf folgender Seite gefunden:
http://www.matheboard.de/archive/330536/thread.html
jedoch bin ich mir nicht sicher ob das ergbnis richtig ist oder ich etwas falsch verstanden habe
nun aber zur aufgabe:
so nun kann ich einfach die Bilder der 3 gegebenen Urbilder in eine Matrix schreiben also:
[mm] B:=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}
[/mm]
nun habe ich eine Darstellungsmatrix bzgl. der Basis A:= < (1,-1,0),(1,1,-2),(1,1,1)>, d.h. ich "füttere" sie mit Vektoren bzgl. der Basis A und bekomme auch Vektoren bzgl. der Basis A raus, wenn ich das richtig verstanden habe?
da wir das ganze ja bzgl. der kann. Basis haben wollen, müssen wir uns eine Transformationsmatrix [mm] T_A_E [/mm] basteln
also:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1& 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
lösen und wir haben die erste Spalte. Das ganze noch mit den anderen beiden Vektoren der kann. Basis. ergibt eine Trafomatrix von A nach E
wenn ich nun B * [mm] T_A_E [/mm] miteinander multipliziere, kann ich die daraus resultierende Matrix mit Vektoren bzgl. der Basis A fütter aber ich bekomme sie als Koordinaten bzgl. der Basis E raus?
[mm] B*T_A_E [/mm] =
[mm] A:=\begin{pmatrix} 1/6 & 1/6 & -1/3 \\ 5/6 & -1/6 & 0 \\ -1/3 & 1/3 & 0 \end{pmatrix} [/mm] laut der Internetseite
wenn ich nun aber den Vektor (1,-1,0) also 1*(1,-1,0) + 0 * (1,1,-2) + 0 * (1,1,1) => (1,0,0) abbilden möchte müsste ich ja eigentlich (0,1,-2) rausbekommen aber es sind (1/6) * (1,0,0) + 5/6 * (0,1,0) + -1/3 * (0,0,1) = (1/6,5/6,-1/3) != (0,1,-2) . habe ich da etwas falsch verstanden oder hat sich da irgendwo ein rechenfehler eingeschlichen?
angenommen ich möchte nun noch die Darstellungsmatrix mit Vektoren bzgl. der Einheitsmatrix fütter können, müsste ich dann nur [mm] T_A_E [/mm] invertieren => ergibt [mm] T_E_A [/mm] und dann [mm] T_E_A [/mm] * B [mm] *T_A_E
[/mm]
und bei
[mm] T_E_A [/mm] * B würde ich die Darstellungsmatrix mit vektoren bzgl. der kann Basis füttern aber bzgl. der Basis A herausbekommen?
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> [mm]\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix},[/mm] f
> [mm]\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix},[/mm]
> f [mm]\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Bestimme eine Darstellungsmatrix bezüglich der kann. Basis
> des [mm]IR^3[/mm]
> Hallo,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> aber die Frage auf folgender Seite gefunden:
> http://www.matheboard.de/archive/330536/thread.html
> jedoch bin ich mir nicht sicher ob das ergbnis richtig ist
> oder ich etwas falsch verstanden habe
>
> nun aber zur aufgabe:
> so nun kann ich einfach die Bilder der 3 gegebenen
> Urbilder in eine Matrix schreiben also:
> [mm]B:=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> nun habe ich eine Darstellungsmatrix bzgl. der Basis A:= <
> (1,-1,0),(1,1,-2),(1,1,1)>, d.h. ich "füttere" sie mit
> Vektoren bzgl. der Basis A und bekomme auch Vektoren bzgl.
> der Basis A raus, wenn ich das richtig verstanden habe?
Hallo,
halbrichtig:
diese Matrix ist die darstellende Matrix der Abbildung f bzgl der Basen A und E (Standardbasis). Du fütterst sie mit Vektoren in Koordinaten bzgl A, und hinten kommen deren Bilder in Standardkoordinaten heraus.
Probieren wir doch mal kurz aus, ob das stimmt, indem wir der Matrix den ersten Basisvektor von A zu fressen geben, also mit [mm] \vektor{1\\0\\0}_A [/mm] füttern:
[mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}*\vektor{1\\0\\0}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}. [/mm] Prima, stimmt!.
Ich meine, ich habe Dir "meine" Schreibweise an anderer Stelle schonmal erklärt: diese Matrix ist die Matrix, die ich mit [mm] _EM(f)_A [/mm] bezeichne. Wenn man von rechts nach links schaut, erklärt sich die Bezeichnung fast von selbst.
> da wir das ganze ja bzgl. der kann. Basis haben wollen,
also [mm] _EM(f)_E [/mm] haben wollen, müssen wir eine Matrix [mm] _AT_E [/mm] vorschalten (alos rechts dranmultiplizieren), die eine gewisse "Vorverdauungsfunktion" übernimmt:
sie soll Vektoren, die in Koordinaten bzgl E sind, umwandeln in denselben Vektor in Koordinaten bzgl A, damit die Matrix von oben sie dann fressen kann.
Also [mm] _EM(f)_E=_EM(f)_A*_AT_E
[/mm]
> müssen wir uns eine Transformationsmatrix [mm]T_A_E[/mm] basteln
Nun muß man sich fragen, wie man zu dieser transformationsmatrix [mm] _AT_E [/mm] kommt.
In ihren Spalten müssen die Standardbasisvektoren in Koordinaten bzgl. A stehen.
Man bekommt die Spalten also, indem man
[mm] e_1=\vektor{1\\0\\0}_E=a_1\vektor{1\\-1\\0}_E+a_2\vektor{1\\1\\-2}_E+a_3\vektor{1\\1\\1}_E=\vektor{a_1\\a_2\\a_3}_A
[/mm]
[mm] e_2=\vektor{0\\1\\0}_E=b_1\vektor{1\\-1\\0}_E+b_2\vektor{1\\1\\-2}_E+b_3\vektor{1\\1\\1}_E=\vektor{b_1\\b_2\\b_3}_A
[/mm]
[mm] e_3=\vektor{0\\0\\1}_E=c_1\vektor{1\\-1\\0}_E+c_2\vektor{1\\1\\-2}_E+c_3\vektor{1\\1\\1}_E=\vektor{c_1\\c_2\\ac_3}_A
[/mm]
berechnet.
Schnell und bequem erreicht man das durch Invertieren von [mm] _ET_A, [/mm] welches die Matrix ist, die in den Spalten die Basisvektoren von A in Koordinaten bzgl E enthält.
> also:
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1& 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> lösen und wir haben die erste Spalte. Das ganze noch mit
> den anderen beiden Vektoren der kann. Basis. ergibt eine
> Trafomatrix von A nach E
Ja, dies entspricht meiner Rede von zuvor.
>
>
> wenn ich nun B * [mm]T_A_E[/mm] miteinander multipliziere,
dann hast Du die Matrix [mm] _EM(f)_E (=_EM(f)_A*_AT_E).
[/mm]
> kann ich
> die daraus resultierende Matrix mit Vektoren bzgl. der
> Basis A fütter aber ich bekomme sie als Koordinaten bzgl.
> der Basis E raus?
Nein. Diese neue Matrix kannst Du direkt mit Vektoren bzgl der Standardbasis füttern, und sie liefert Dir das Bild unter f ebenfalls in Standardkoordinaten.
Meine Lust zum Invertieren und Multiplizieren ist nun eher mäßig, aber ich denke, das kannst Du ja auch allein.
Ob das Ergebnis stimmt, siehst Du so:
wenn Du der Matrix [mm] _EM(f)_E [/mm] den Vektor [mm] \vektor{1\\-1\\0} [/mm] zum Fraße vorwirfst, mußt Du
> f [mm]\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] = [mm][mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}
[/mm]
herausbekommen, für die anderen entsprechend.
Damit kannst Du ja prüfen, ob die an anderer Stelle errechnete Matrix die richtige ist:
was ist [mm] \begin{pmatrix} 1/6 & 1/6 & -1/3 \\ 5/6 & -1/6 & 0 \\ -1/3 & 1/3 & 0 \end{pmatrix}*\vektor{1\\-1\\0} [/mm] ?
Hmm. Sieht aus, als wäre da ein Fehler drin.
Berechne also die Transformationsmatrix [mm] _AT_E [/mm] und rechne [mm] _EM(f)_A *_AT_E [/mm] nach.
> angenommen ich möchte nun noch die Darstellungsmatrix mit
> Vektoren bzgl. der Einheitsmatrix fütter können, müsste ich
> dann nur [mm]T_A_E[/mm] invertieren => ergibt [mm]T_E_A[/mm] und dann [mm]T_E_A[/mm] *
> B [mm]*T_A_E[/mm]
> und bei
> [mm]T_E_A[/mm] * B würde ich die Darstellungsmatrix mit vektoren
> bzgl. der kann Basis füttern aber bzgl. der Basis A
> herausbekommen?
Ganz oben hast Du wie gesagt [mm] _EM(f)_A [/mm] aufgestellt. Was kannst Du damit und mit den Transformationsmatrizen machen?
Mithilfe von [mm] _AT_E [/mm] = [mm] ((_ET_A)^{-1}) [/mm] erreichst Du [mm] _EM(f)_A *_AT_E=_EM(f)_E, [/mm] (Standardvektoren rein, Standardvektoren raus)
mithilfe von [mm] _AT_E [/mm] erreichst Du [mm] _AT_E *_EM(f)_A= _AM(f)_A [/mm] (Koordinatenvektoren bzgl. A rein, Koordinatenvektoren bzgl A raus),
und falls Dir nach [mm] _AM(f)_E [/mm] (Standardvektoren bzgl. A rein, Koordinatenvektoren bzgl A raus) gelüstet, rechnest Du [mm] _AM(f)_E=_AT_E* _EM(f)_A [/mm] * [mm] _AT_E.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 29.12.2008 | | Autor: | farnold |
ich glaub mein Fehler lag einfach darin zu sagen, dass wenn ich die Matrix $ [mm] B:=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix} [/mm] $ aufstelle ich Vektoren bzgl A füttern kann und bzgl A rausbekomme, ich aber in wirklichkeit die Vektoren bzgl E rausbekomme, daher waren die folgenden Überlegungen von mir falsch :(
was mir einfach nicht in den Kopf will ist, das die Vektoren bzgl. E rauskommen. ich meine ich sehe das sie es tun aber warum E und nicht eine andere Basis z.b. A?
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> ich glaub mein Fehler lag einfach darin zu sagen, dass wenn
> ich die Matrix [mm]B:=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}[/mm]
> aufstelle ich Vektoren bzgl A füttern kann und bzgl A
> rausbekomme, ich aber in wirklichkeit die Vektoren bzgl E
> rausbekomme, daher waren die folgenden Überlegungen von mir
> falsch :(
> was mir einfach nicht in den Kopf will ist, das die
> Vektoren bzgl. E rauskommen. ich meine ich sehe das sie es
> tun aber warum E und nicht eine andere Basis z.b. A?
Hallo,
das liegt an der Definition der Funktion.
Da stand ja
f$ [mm] \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, [/mm] $ f $ [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}, [/mm] $ f $ [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] $
Die Vektoren, die nicht indiziert sind, sind bzgl der Standardbasis zu verstehen.
Die Aufgabe hätte aber auch anders lauten können:
,
Sei A:=( [mm] \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) [/mm] eine basis des [mm] \IR^3, [/mm] und sei die Abbildung f definiert durch
f$ [mm] \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}_A, [/mm] $ f $ [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}_A, [/mm] $ f $ [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}_A [/mm] $ .lautet die darstellende Matrix bzgl
Wie lautet die darstellende Matrix bzgl der Basis A?
Hier wäre
[mm] _AM(f)_A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \end{pmatrix}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Mo 29.12.2008 | | Autor: | farnold |
>Sei A:=( $ [mm] \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) [/mm] $ eine basis des $ [mm] \IR^3, [/mm] $ und sei die Abbildung f definiert durch
>f$ [mm] \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}_A, [/mm] $ f $ [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}_A, [/mm] $ f $ [mm] \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}_A [/mm] $ >.lautet die darstellende Matrix bzgl
das heißt also, wenn hier das "indizierte" A fehlen würde wäre es trotzdem wieder bzgl .der Standardbasis, also Vektor bzgl A rein und bzgl. E raus? Also nicht indiziert = bzgl. Standardbasis
ok, glaub dann hab ichs, danke :)
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> >Sei A:=( [mm]\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix})[/mm]
> eine basis des [mm]\IR^3,[/mm] und sei die Abbildung f definiert
> durch
>
> >f[mm] \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}_A,[/mm] f
> [mm]\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}_A,[/mm]
> f [mm]\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}_A[/mm] >.lautet die
> darstellende Matrix bzgl
>
> das heißt also, wenn hier das "indizierte" A fehlen würde
> wäre es trotzdem wieder bzgl .der Standardbasis, also
> Vektor bzgl A rein und bzgl. E raus? Also nicht indiziert =
> bzgl. Standardbasis
Hallo,
ja, üblicherweise ist das so.
Statt f[mm] \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] = [mm][mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}_A
[/mm]
könnte da oben auch stehen
f[mm] \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] [mm] =1*\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.
[/mm]
Wenn man die darstellende Matrix bzgl der Basis A (rein und raus) haben will, wäre es unschlau, an dieser Stelle [mm] 1*\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] auszurechnen, denn man hat ja praktischerweise das Bild schon als Linearkombination der Basisvektoren von A, so daß man auf einen Blick sieht [mm] ...=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}_A.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mo 29.12.2008 | | Autor: | farnold |
>Statt f$ [mm] \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $ = [mm]$ [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}_A [/mm] $
dann wäre also f(1,-1,0) = (-1,-1,0) <- dieser Vektor bzgl. der kann. Basis^^
dann gibts noch ein anderen Typ von Aufgabe der mir kleinere schwirigkeiten bereitet :((
Darstellungsmatrix von G o F soll bzgl. der kann. Basis berechnet werden
F: [mm] IR^2 [/mm] -> [mm] IR^3 [/mm] F(x,y) = (2x + y , x , x-3y)
und
G: [mm] IR^3 [/mm] -> [mm] IR^2 [/mm] F(x,y,z) = (2x+y-6z,x+z)
und zwar auf 2 Arten einmal indem man zuerst die Matrixdarstellung von F und G berechnet und dann die Komposition und dann indem man zuerst die Komposition berechnet.
F= [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 0 } [/mm] daselbe spiel mit G und dann Multiplizieren.
wie berechne ich hier aber G o F nach der 2. Variante
z.b f(x) = x² und g(x) = x + 1 dann ist g o f = x² + 1 , wie geht das aber mit 3 unbekannten? :(
mit dankenden Grüßen farnold
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> dann wäre also f(1,-1,0) = (-1,-1,0) <- dieser Vektor bzgl. der kann. Basis^^
Hallo,
ich bekomme als 3.Komponente -4.
> F= [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -3 & 0 }[/mm] daselbe spiel mit G und dann Multiplizieren.
Ja, genau.
> wie berechne ich hier aber G o F nach der 2. Variante
> z.b f(x) = x² und g(x) = x + 1 dann ist g o f = x² + 1 , wie geht das aber mit 3 unbekannten? :(
Ich weiß jetzt nicht so recht, was Du willst. --- Doch! Jetzt!
Du hast also
F: $ [mm] IR^2 [/mm] $ -> $ [mm] IR^3 [/mm] $ F(x,y) = (2x + y , x , x-3y)
und
G: $ [mm] IR^3 [/mm] $ -> $ [mm] IR^2 [/mm] $ F(x,y,z) = (2x+y-6z,x+z).
Es ist
[mm] (G\circ F)(\vektor{x\\y})=G(F(\vektor{x\\y}))=G(\vektor{\red{2x + y}\\ \green{x}\\ \blue{x-3y}}=\vektor{2*\red{(2x + y)}+\green{x}-6*\blue{(x-3y)}\\...\\...}.
[/mm]
Die restlichen Komponenten bekommst Du jetzt selber hin, und anschließend kannst Du mit dem Produkt der Matrizen vergleichen
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 29.12.2008 | | Autor: | farnold |
die 2. Zeile wäre dann (2x+y) + (x-3y) und
die 3. Zeile : 0
vielen vielen dank! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Di 30.12.2008 | | Autor: | farnold |
Guten Abend, ich glaub ich seh vor lauter Basiswechselmatrizen den Vektor nicht mehr :(
Ich wollte nochmals kurz nachhaken ob ich das ganze acuh richtig auf abstrkte Vektorräume anwenden kann und dieses Kapitel entgültig schließen kann^^
Ist B ={ [mm] 1,t,e^t,te^t, [/mm] } wie wir in einem anderen Beitrag schon bewiesen haben ist die Menge l.u.
V=<B> und D:V->V mit D(f) = df/dt
auch haben wir schon die Darstellungsmatrix berechnet nämlich so :
f(t) = 1 => D(f)(t) = 0
f(t) = t => D(f)(t) = 1
f(t) = [mm] e^t [/mm] => Df)t= [mm] e^t
[/mm]
f(t)= [mm] te^t [/mm] => Df(t)= [mm] e^t [/mm] + [mm] te^t
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 01\\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
bei dieser Darstestellungsmatrix füttere ich die Matrix nun aber mit Vektoren bezüglich der Basis B und sie bringt sie mir verdaut bzgl. B zurück, weil ich Df(t) bzgl. B angegeben habe.
2.
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -3 }
[/mm]
diese Darstellungsmatrix fristt und gibt bzgl. der kann. Basis
sei nun eine weitere Basis gegeben C:=<(1,1),(1,0)>
f(1,1) = (3,-2) und f(1,0) = (2,1)
=>
[mm] \pmat{ 3 & 2 \\ -2 & 1 }
[/mm]
mit dieser Basis geben ich Vektoren in C und bekomme sie aber in E (kann. Basis)
*hoffentlich nun endlich richtig verstanden hab*
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo farnold,
> Guten Abend, ich glaub ich seh vor lauter
> Basiswechselmatrizen den Vektor nicht mehr :(
>
> Ich wollte nochmals kurz nachhaken ob ich das ganze acuh
> richtig auf abstrkte Vektorräume anwenden kann und dieses
> Kapitel entgültig schließen kann^^
>
> Ist B ={ [mm]1,t,e^t,te^t,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} wie wir in einem anderen Beitrag
> schon bewiesen haben ist die Menge l.u.
> V=<B> und D:V->V mit D(f) = df/dt
> auch haben wir schon die Darstellungsmatrix berechnet
> nämlich so :
>
> f(t) = 1 => D(f)(t) = 0
> f(t) = t => D(f)(t) = 1
> f(t) = [mm]e^t[/mm] => Df)t= [mm]e^t[/mm]
> f(t)= [mm]te^t[/mm] => Df(t)= [mm]e^t[/mm] + [mm]te^t[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 01\\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
Muß diese Darstellungsmatrix nicht so lauten:
[mm]\pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1}[/mm]
>
> bei dieser Darstestellungsmatrix füttere ich die Matrix nun
> aber mit Vektoren bezüglich der Basis B und sie bringt sie
> mir verdaut bzgl. B zurück, weil ich Df(t) bzgl. B
> angegeben habe.
>
> 2.
> [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -3 }[/mm]
> diese Darstellungsmatrix fristt
> und gibt bzgl. der kann. Basis
>
> sei nun eine weitere Basis gegeben C:=<(1,1),(1,0)>
>
> f(1,1) = (3,-2) und f(1,0) = (2,1)
> =>
> [mm]\pmat{ 3 & 2 \\ -2 & 1 }[/mm]
> mit dieser Basis geben ich
> Vektoren in C und bekomme sie aber in E (kann. Basis)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> *hoffentlich nun endlich richtig verstanden hab*
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:10 Di 30.12.2008 | | Autor: | farnold |
>Muß diese Darstellungsmatrix nicht so lauten:
>$ [mm] \pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1} [/mm] $
Hallom
oh ja natürlich heißt es $ [mm] \pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1} [/mm] $ , da hab ich mich wohl verschreiben :(
wäre folgende Schreibweise "ok" im Umgang mit solchen Vektorräumen?
[mm] te^t [/mm] = 0 * 1 + 0 * t + 0 * [mm] e^t [/mm] + 1 [mm] te^t [/mm] => als Koordinaten (0,0,0,1)
ergibt in die Matrix eingesetzt (0,0,1,1) => 0 * 1 + 0 * t + 1 * [mm] e^t [/mm] + 1 [mm] te^t [/mm] = [mm] e^t [/mm] + [mm] te^t [/mm]
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Hallo farnold,
> >Muß diese Darstellungsmatrix nicht so lauten:
>
> >[mm] \pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1}[/mm]
>
> Hallom
>
> oh ja natürlich heißt es [mm]\pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1}[/mm]
> , da hab ich mich wohl verschreiben :(
>
> wäre folgende Schreibweise "ok" im Umgang mit solchen
> Vektorräumen?
>
> [mm]te^t[/mm] = 0 * 1 + 0 * t + 0 * [mm]e^t[/mm] + 1 [mm]te^t[/mm] => als Koordinaten
> (0,0,0,1)
> ergibt in die Matrix eingesetzt (0,0,1,1) => 0 * 1 + 0 * t
> + 1 * [mm]e^t[/mm] + 1 [mm]te^t[/mm] = [mm]e^t[/mm] + [mm]te^t[/mm]
>
>
Ja.
Gruß
MathePower
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> > Ist B [mm] =(1,t,e^t,te^t)
[/mm]
> > f(t) = 1 => D(f)(t) = 0
> > f(t) = t => D(f)(t) = 1
> > f(t) = [mm]e^t[/mm] => Df)t= [mm]e^t[/mm]
> > f(t)= [mm]te^t[/mm] => Df(t)= [mm]e^t[/mm] + [mm]te^t[/mm]
> >
> > [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 01\\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
>
> Muß diese Darstellungsmatrix nicht so lauten:
>
> [mm]\pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1}[/mm]
Hallo,
ist B [mm] =(1,t,e^t,te^t) [/mm] die Basis, so lautet die Darstellungsmatrix der Abbildung D
[mm] \pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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