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| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung [mm] \phi: P_3 \to \IR^3 [/mm] mit f [mm] \mapsto \vektor{f'(0) \\ f'(1) \\f'(2)+f(2)}.
[/mm]
Eine Basis von [mm] P_3 [/mm] sei A = [mm] \{1,x,x^2,x^3\}. [/mm] Eine Basis von [mm] \IR^3 [/mm] sei B = [mm] \{\vektor{1 \\ 0 \\0}, \vektor{0 \\ 1 \\0}, \vektor{0 \\ 0 \\1}\}.
[/mm]
Bestimme die Darstellungsmatrix [mm] M^A_B (\phi) [/mm] |
Hallo Leute,
bisher hatte ich eigentlich keine Problem was Dastellungsmatrizen angeht, aber hier steh ich völlig aufm Schlauch. Im Grunde muss ich ja "nur" A in f einsetzen, aber wie...?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Mo 21.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die lineare Abbildung [mm]\phi: P_3 \to \IR^3[/mm] mit f
> [mm]\mapsto \vektor{f'(0) \\ f'(1) \\f'(2)+f(2)}.[/mm]
> Eine Basis
> von [mm]P_3[/mm] sei A = [mm]\{1,x,x^2,x^3\}.[/mm] Eine Basis von [mm]\IR^3[/mm] sei B
> = [mm]\{\vektor{1 \\ 0 \\0}, \vektor{0 \\ 1 \\0}, \vektor{0 \\ 0 \\1}\}.[/mm]
>
> Bestimme die Darstellungsmatrix [mm]M^A_B (\phi)[/mm]
> Hallo Leute,
> bisher hatte ich eigentlich keine Problem was
> Dastellungsmatrizen angeht, aber hier steh ich völlig aufm
> Schlauch. Im Grunde muss ich ja "nur" A in f einsetzen,
Unsinn !!!
Für j=0,1,2,3 sei [mm] p_j(x):=x^j
[/mm]
Dann ist [mm] A=\{p_0,p_1,p_2,p_3\} [/mm] . Weiter bezeichne ich die Elemente von B mit [mm] b_1,b_2,b_3.
[/mm]
Zu [mm] p_j [/mm] gibt es eindeutig bestimmte Zahlen [mm] a_{1j}, a_{2j}, a_{3j} [/mm] mit:
[mm] \phi(p_j) =a_{1j}b_1+a_{2j}b_2+a_{3j}b_3
[/mm]
Die j_te Spalte von $ [mm] M^A_B (\phi) [/mm] $ ist dann
[mm] a_{1j}
[/mm]
[mm] a_{2j}
[/mm]
[mm] a_{3j}
[/mm]
FRED
> aber wie...?
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Ich hab mich glaub ich nicht richtig ausgedrückt.
Mein Problem ist: " f [mm] \mapsto \vektor{f'(0) \\ f'(1) \\f'(2)+f(2)} [/mm] "
Bisher waren immer Funktionen wie z.B. f: [mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} \mapsto \vektor{x_2 \\ x_1 \\5*x_3} [/mm] gegeben, wo immer nur entsprechend einsetzten musste, was hier aber nicht geht, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mo 21.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab mich glaub ich nicht richtig ausgedrückt.
> Mein Problem ist: " f [mm]\mapsto \vektor{f'(0) \\ f'(1) \\f'(2)+f(2)}[/mm]
> "
> Bisher waren immer Funktionen wie z.B. f: [mm]\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} \mapsto \vektor{x_2 \\ x_1 \\5*x_3}[/mm]
> gegeben, wo immer nur entsprechend einsetzten musste, was
> hier aber nicht geht, oder?
Die Abbildung ist [mm] \phi [/mm] ! Was macht [mm] \phi [/mm] ? Das:
[mm] \phi [/mm] ordnet einem Polynom $f [mm] \in P_3$ [/mm] den Vektor $ [mm] \vektor{f'(0) \\ f'(1) \\f'(2)+f(2)} [/mm] $ zu, also
$ [mm] \phi(f):= \vektor{f'(0) \\ f'(1) \\f'(2)+f(2)} [/mm] $
Ist es jetzt klarer ?
FRED
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Stimmt dann:
[mm] \phi(1) [/mm] = [mm] \vektor{ 0\\ 0\\ 1}, \phi(x) [/mm] = [mm] \vektor{ 0\\ 1\\ 3}, \phi(x^2) [/mm] = [mm] \vektor{ 0\\ 2\\ 8}, \phi(x^3) [/mm] = [mm] \vektor{ 0\\ 3\\ 20}
[/mm]
und [mm] M^A_B (\phi) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 & 8 & 20 } [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mo 21.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt dann:
> [mm]\phi(1)[/mm] = [mm]\vektor{ 0\\ 0\\ 1}, \phi(x)[/mm] = [mm]\vektor{ 0\\ 1\\ 3}, \phi(x^2)[/mm]
> = [mm]\vektor{ 0\\ 2\\ 8}, \phi(x^3)[/mm] = [mm]\vektor{ 0\\ 3\\ 20}[/mm]
>
> und [mm]M^A_B (\phi)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 &3 \\ 1 & 3 & 8 & 20 }[/mm]
> ?
Ja
FRED
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