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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Darstellungsmatrix gesucht
Darstellungsmatrix gesucht < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Darstellungsmatrix gesucht: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:01 Do 02.05.2019
Autor: Tobikall

Aufgabe
Der Homomorphismus ϕ : [mm] R^3 [/mm] → [mm] R^2 [/mm] werde bezüglich der Standardbasen durch die Matrix M [mm] =\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 2 } [/mm] beschrieben. Berechnen Sie die Darstellungsmatrix von ϕ bezüglich der Basis V = {a1,a2,a3} des [mm] R^3 [/mm] und der Basis W = {b1,b2} des [mm] R^2. [/mm] Dabei sind die Vektoren [mm] a_i [/mm] und [mm] b_j [/mm] wie folgt gegeben [mm] a_1 [/mm] = [mm] (0,1,1)^T [/mm] , [mm] a_2 [/mm] = [mm] (1,0,3)^T [/mm] , [mm] a_3 [/mm] = [mm] (1,0,1)^T [/mm] , [mm] b_1 [/mm] = [mm] (1,1)^T [/mm] , [mm] b_2 [/mm] = [mm] (1,-1)^T [/mm] .


Hallo,

folgende Aufgabe hatte ich vorherige Woche in meiner Matheübung.
Nun haben wir das ganze über ein Diagramm gelöst, allerdings sind wir dann durch ablesen aus dem Diagramm schon nach einem Schritt zur Lösung geraten, welche ich dann aber leider nicht ganz verstanden habe.

Wäre toll, wenn mir hier noch jemand einen rechnerischen und zu verstehenden Lösungsweg zeigen könnte.
Am Ende müsste für die darstellende Matrix herauskommen:
[mm] \overline{M}=B^{-1}MA=\bruch{1}{2}\pmat{ 4 & 13 & 5 \\ 4 & -1 & -1 } [/mm]
mit Matrizen A, B die jeweils die Vektoren [mm] a_i [/mm] und [mm] b_j [/mm] als Spalten enthalten

        
Bezug
Darstellungsmatrix gesucht: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:23 Do 02.05.2019
Autor: fred97


> Der Homomorphismus ϕ : [mm]R^3[/mm] → [mm]R^2[/mm] werde bezüglich der
> Standardbasen durch die Matrix M [mm]=\pmat{ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 2 }[/mm]
> beschrieben. Berechnen Sie die Darstellungsmatrix von ϕ
> bezüglich der Basis V = {a1,a2,a3} des [mm]R^3[/mm] und der Basis W
> = {b1,b2} des [mm]R^2.[/mm] Dabei sind die Vektoren [mm]a_i[/mm] und [mm]b_j[/mm] wie
> folgt gegeben [mm]a_1[/mm] = [mm](0,1,1)^T[/mm] , [mm]a_2[/mm] = [mm](1,0,3)^T[/mm] , [mm]a_3[/mm] =
> [mm](1,0,1)^T[/mm] , [mm]b_1[/mm] = [mm](1,1)^T[/mm] , [mm]b_2[/mm] = [mm](1,-1)^T[/mm] .
>  
> Hallo,
>  
> folgende Aufgabe hatte ich vorherige Woche in meiner
> Matheübung.
>  Nun haben wir das ganze über ein Diagramm gelöst,
> allerdings sind wir dann durch ablesen aus dem Diagramm
> schon nach einem Schritt zur Lösung geraten, welche ich
> dann aber leider nicht ganz verstanden habe.
>  
> Wäre toll, wenn mir hier noch jemand einen rechnerischen
> und zu verstehenden Lösungsweg zeigen könnte.
>  Am Ende müsste für die darstellende Matrix
> herauskommen:
>  [mm]\overline{M}=B^{-1}MA=\bruch{1}{2}\pmat{ 4 & 13 & 5 \\ 4 & -1 & -1 }[/mm]
> mit Matrizen A, B die jeweils die Vektoren [mm]a_i[/mm] und [mm]b_j[/mm] als
> Spalten enthalten


Wir berechnen zunächst [mm] \phi(a_1)=Ma_1= (4,0)^T. [/mm]

Dann stellen wir [mm] (4,0)^T [/mm] mit Hilfe der Basis W dar:

[mm] (4,0)^T= \alpha b_1+ \beta b_2= \alpha (1,1)^T+ \beta (1,-1)^T. [/mm]

Rechne nach: [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] =2.

Dann ist [mm] (\alpha, \beta)^T=(2,2)^T [/mm] die erste Spalte  der gesuchten Matrix.

Verfahre mit [mm] \phi(a_2) [/mm] genauso:

  [mm] \phi(a_2)= \gamma b_1+ \delta b_2. [/mm]

Berechne [mm] \gamma [/mm] und [mm] \delta. [/mm] Dann ist [mm] (\gamma, \delta)^T [/mm] die zweite Spalte der gesuchten Matrix.

Nun dürfte klar sein, wie Du zur dritten Spalte der gesuchten Matrix kommst.



Bezug
                
Bezug
Darstellungsmatrix gesucht: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Fr 03.05.2019
Autor: Tobikall

Vielen Dank dir fred, habe es jetzt verstanden.

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