Das Buffon'sche Nadelproblem < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Di 05.04.2005 | | Autor: | renet |
Hi!
Ich bin neu hier. Tolles Projekt! Möchte es doch gleich mal auf die Probe stellen. :)
Und zwar suche ich keine puren Infos darüber, was das Buffon'sche Nadelproblem ist, sondern ich suche Literatur (sprich gedruckte Bücher, keine Websites/PDFs etc.) zu Selbigem. Wichtig ist mir dabei, dass die Informationen gut und leicht verständlich formuliert sind, sodass auch ein Laie sie verstehen kann, ohne sich ein Mathematik-Fachwörterbuch kaufen zu müssen.
Ich brauche die Literatur für meine Abitur-Präsentations-Prüfung in denen ich folgende Aufgabenstellungen bearbeiten und vorstellen muss:
In der Ebene seien parallele Geraden gezogen, die voneinander den Abstand d haben. Auf die Ebene werde zufällig eine Nadel der Länge l geworfen, wobei l < d sei.
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schneidet die Nadel eine der eingezeichneten Geraden?
2. Wie kann man das Ergebnis aus 1. nutzen, um pi näherungsweise zu bestimmen?
Mein Lehrer gab mir den Tip, mir ein Buch von Karl Bosch zu besorgen, von welchem er mir schonmal ein Buch empfohlen hatte. Kennt jemand von euch vielleicht das Buch von Karl Bosch, in welchem dieses Thema behandelt wird und kann mir den Titel dazu sagen? Oder habt ihr vielleicht einen besseren Buch-Vorschlag? Wichtig ist, dass beide Aufgabenstellungen darin bearbeitet werden. (Meinetwegen auch in 2 Büchern, aber ich bin ein armer Schüler. *g*) Vielen, vielen Dank schon mal im Voraus. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Di 05.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Das Buch heißt "Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung" und ist erschienen im vieweg-Verlag.
Ich kann dir die Seite aber auch gerade abtippen, kein Thema.
Das Nadelproblem von Buffon
In der Ebene seien parallele Geraden gezogen, die den Abstand $d$ haben. Auf diese Ebene werde zufällig eine Nadel der Länge $l$ geworfen, wobei $l<d$ sei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schneidet die Nadel eine der eingezeichneten Geraden?
$x$ sei der Abstand des Mittelpunktes der Nadel von derjenigen Geraden, die ihm am nächsten liegt, und [mm] $\varphi$ [/mm] der Winkel, den die Nadel mit dieser Geraden einschließt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Für jedes Versuchsergebnis [mm] $(x,\varphi)$ [/mm] gilt damit $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \frac{d}{2}$ [/mm] und $0 [mm] \le \varphi \le \pi$. [/mm] Alle möglichen Punkte [mm] $(x,\varphi)$ [/mm] liegen daher in dem eingezeichneten Rechteck:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Entschuldige bitte die schlechten und unsauberen Skizzen! Ich habe sie gerade schnell mit Powerpoint hingesaut!)
Die geworfene Nadel schneidet eine der gezeichneten Geraden, wenn die Bedingung
$x [mm] \le \frac{l}{2} \sin(\varphi)$
[/mm]
erfüllt ist, wenn also der Punkt [mm] $(x,\varphi)$ [/mm] in $A$ liegt.
Die Fläche $A$ hat den Inhalt
$F(A) = [mm] \int\limits_0^{\pi} \frac{l}{2} \sin(\varphi)\, d\varphi [/mm] = [mm] \frac{l}{2}(-\cos(\varphi)) \vert_0^{\pi} [/mm] = l$.
Wird das Experiment so durchgeführt, dass kein Punkt [mm] $(x,\varphi)$ [/mm] des Rechtecks bvorzugt auftritt, so erhält man für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
$p = [mm] \frac{F(A)}{F(G)} [/mm] = [mm] \frac{l}{\pi \cdot \frac{d}{2}} [/mm] = [mm] \frac{2l}{2\pi}$.
[/mm]
Führt man dieses Experiment $n$-mal durch ($n$ hinreichend groß), so gilt für die relative Häufigkeit [mm] $r_n(A)$ [/mm] der Versuche, bei denen die Nadel eine Gerade schneidet,
[mm] $r_n(A) \approx \frac{2l}{\pi d}$.
[/mm]
Damit kann die Zahl [mm] $\pi$ [/mm] gemäß
[mm] $\pi \approx \frac{2l}{d r_n(A)}$
[/mm]
näherungsweise bestimmt werden.
Ich habe dieses Experiment auch schon mit Schülern durchgeführt (war ein Software-Programm der Fernuni Hagen zur stochastischen Simulation), werde es aber jetzt bald selber noch einmal programmieren und dann von den Schülern im Kurs auch programmieren lassen (ist ja recht simpel).
Liebe Grüße
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Di 26.04.2005 | | Autor: | renet |
Halli hallo!
Habe nochmal eine Frage.. Ich verstehe soweit die Herleitung und alles von dem Buffon'schen Nadelproblem, jedoch frag ich mich wieso dann da steht:
"Die geworfene Nadel schneidet eine der gezeichneten Geraden, wenn die Bedingung $ x [mm] \le \frac{l}{2} \sin(\varphi) [/mm] $ erfüllt ist, wenn also der Punkt $ [mm] (x,\varphi) [/mm] $ in dem schraffierten Bereich des Bildes 1.10 (= hier im Forum das 2. Bild) liegt.
Könntet ihr mir an Hand von Bild 1.9 (= hier im Forum das 1. Bild) zeigen, warum die Bedingung $ x [mm] \le \frac{l}{2} \sin(\varphi) [/mm] $ erfüllt sein muss, damit die Nadel eine gezeichnete Gerade schneidet? Damit ich es nicht nur als Aussage akzeptieren, sondern auch verstehen kann. Vielen Dank schonmal im Voraus. :)
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Hi, renet,
am besten ist, Du zeichnest in dem von Dir genannten Bild erst mal ein rechtwinkliges Dreieck ein mit der blauen Nadel als Hypothenuse.
In diesem Dreieck ist die Gegenkathete zum Winkel [mm] \phi [/mm] nach der Definition des Sinus am rechtwinkligen Dreieck = [mm] l*sin(\phi).
[/mm]
Wann schneidet nun die Nadel die Parallele?
Antwort: Wenn der Abstand x der Nadelmitte kleiner ist als die Hälfte dieser Kathete!
Zeichne Dir als Vergleich dazu mal eine Nadel (samt Dreieck und Abstand x) ein, die keine der Parallelen schneidet und Du wirst auf Anhieb erkennen, dass hier der Abstand x in jedem Fall größer sein muss als die halbe Kathete.
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hallo,
ich habe auch mal eine frage dazu, ich muss auch eine präsentation vortragen worin ich nur buffonsches nadelproblem erklären und den zusammen hangt zu pi herstellen muss, wonach ich die benötigte gleichung herzuleiten habe. Zum einen weiß ich nicht wie ich die Gleichung herzuleiten habe und zum anderen verstehe ich das mit 1/2 sinus nicht kannst du mir da etwas behilflich sein, du kennst dich gut sehr gut aus darin wie ich es mitlese.
ich bedanke mich schon im voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Do 19.05.2005 | | Autor: | renet |
Hallo noch ein letztes mal!
Ich habe soweit alles prima verstanden. Nun würde ich mich jedoch gerne noch vorsorglich darüber informieren, ob und wo man das Buffon'sche Nadelproblem im realen Leben sinnvoll (eine Nadel zu werfen ist nicht Sinnvoll) einsetzen kann?
Zudem würde ich mich freuen, wenn mir jemand einige (gängige) andere Möglichkeiten zur Annäherung von Pi vorstellen könnte. Nur ganz kurz und knapp, wie sie funktionieren und ob diese besser oder schlechter sind als die Annäherung über das Buffon'sche Nadelproblem. Ich habe zwar einige Sammlungen von Pi Annäherungs-Möglichkeiten gefunden, diese waren jedoch zu ausführlich, als dass ich sie hätte nebenbei in meiner Präsentation erwähnen könnte und verstanden habe ich sie leider auch nicht richtig.
Vielen, vielen Dank dafür schonmal! =)
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Hi, renet,
kennst Du die beiden Internet-Adressen schon?
http://pi314.at/Mathematik.html
und
www.mathematik.ch/anwendungenmath/wkeit/buffon/Buffon-Nadelproblem.php
(Die letzte Adresse enthält eine hübsche Simulation!)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 So 22.05.2005 | | Autor: | renet |
Danke für die Links. Die Simulation kannte ich schon, jedoch sagt mir diese leider immer noch keinen wirklichen Sinn des Buffon'schen Nadelproblems bzw. eine Möglichkeit zur sinnvollen Anwendung im realen Leben.
Da ich morgen schon meine Präsentation darüber halten muss würde ich mich freuen, wenn mir jemand schnell diesen aufzeigen könnte. Vielen Dank! :)
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Hi, renet,
hast Du wirklich die Absicht, nach einer "alltäglichen Anwendung" der experimentellen Bestimmung der Zahl [mm] \pi [/mm] zu suchen?
Mann Gottes! Es gibt Menschen, die kennen diese Zahl gar nicht! Geschweige denn interessiert es sie, wie man diese Zahl experimentell bestimmen kann!
Mathematik ist schließlich ja auch keine Naturwissenschaft, sondern eine Geisteswissenschaft! Dass und ob eine mathematische Erkenntnis im täglichen Leben eine Rolle spielt und wenn ja, welche, ist nicht die entscheidende Frage, die sich ein Mathematiker stellt!
Erkenntnisgewinn ist wichtig,
Logik und vor allem:
ÄSTHETIK.
Mathematik hat was mit Kunst, vor allem mit Musik gemeinsam.
Und hier fragst Du ja (hoffentlich!!) auch nicht:
Was ist der Sinn? Wozu brauch' ich's?
Wenn Beethoven sich diese Frage gestellt hätte, gäb's heute sicher nicht die 9 Symphonien, dafür aber vielleicht den Bauplan für einen einbruchssicheren Gartenzaun oder was weiß ich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Do 07.04.2005 | | Autor: | renet |
Hi!
Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast, alles abzutippen. Ich habe mir das Buch jedoch trotzdem gekauft, da ich 1. Papier lieber habe als einen Beitrag im Forum (schon allein wegen der Quellen-Nennung) und 2. noch andere Zusatzinfos brauche, welche auch in dem Buch enthalten sind, aber nicht auf dieser Seite. Habe mich erst erschreckt, als ich das Buffon'sche Nadelproblem nicht im Inhaltsverzeichnis entdeckt habe, aber glücklicher Weise habe ich es dann doch noch im Personenregister gefunden. ^^ Vielen Dank für den Tipp. Wenn ich noch weitere kontrete Fragen haben sollte, melde ich mich. Super hier! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Fr 13.04.2007 | | Autor: | DanielK |
Hab da noch eine frage:
und zwar verstehe ich nicht, warum
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] l * [mm] (-cos(\alpha)) [/mm] im integral von 0 bis [mm] \pi [/mm] = l ist...
meiner meinung nach müsste [mm] -cos(\pi) [/mm] doch 1 sein und somit das integral [mm] \bruch{1}{2} [/mm] l
oder irre ich da?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Fr 13.04.2007 | | Autor: | Sigrid |
> Hab da noch eine frage:
> und zwar verstehe ich nicht, warum
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] l * [mm](-cos(\alpha))[/mm] im integral von 0 bis [mm]\pi[/mm] =
> l ist...
> meiner meinung nach müsste [mm]-cos(\pi)[/mm] doch 1 sein und somit
> das integral [mm]\bruch{1}{2}[/mm] l
>
> oder irre ich da?
Ich vermute, du willst
$ [mm] [\bruch{1}{2} [/mm] l * [mm] (-cos(\alpha))]_{0}^{\alpha} [/mm] $
berechnen..
Dann musst du aber auch noch berücksichtigen, dass $ [mm] \cos(0) [/mm] = 1 $
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Fr 13.04.2007 | | Autor: | DanielK |
Und genau das ist mir gerade vor 2 min aufgefallen ;)
hab mir das ganze nochmal aufgeschrieben und dann hab ich gemerkt,dass ich ja nicht mit "0" multipliziere, sondern mit dem -cos(0)
naja,trotzdem vielen dank
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Moin, ich bin ganz neu in diesem Forum, sieht aber sehr verheißungsvoll aus.
Ich habe eine Frage und zwar verstehe ich nicht wieso 0<alpha<pi gilt,
um den Winkel der Nadel zur Paralellen zu beschreiben. Warum von 0 bis pi? Ich hätte vermutet von 0 bis 180°. Danke für eine ausführliche Antwort (ich tu mich ein wenig schwer in Mathe). Danke
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Hallo!
Anscheinend ist das ein Thema, das noch ewig leben wird... Der erste Beitrag ist von 2005, aber anscheinend wird das hier alle paar Jahre wiederbelebt 
Zu deiner Frage:
Es gibt verschiedene Systeme, um Winkel anzugeben. Das einfachste ist wohl, den Anteil an nem Kreis anzugeben, also "Halbkreis", "Vierteilkreis", ... Beliebige Winkel würde man dann mit Zahlen von 0 bis 1 angeben. Hat sich aber nie so durchgesetzt.
Beliebt ist das Gradmaß mit 0°-360°, aber es hat den Nachteil, daß man zur Berechnung des "Umfangs" eines nicht vollständigen Kreises den Winkel immer so komisch umrechnen muß:
[mm] U=\frac{\pi*\alpha}{180°}*r
[/mm]
Daher gibt es das Bogenmaß, hier werden Winkel durch Zahlen [mm] 0-2\pi [/mm] ausgedrückt, in dem Fall ist die Formel einfach nur
[mm] $U=\alpha*r$
[/mm]
Mathematisch hat das Bogenmaß gehörige Vorteile, ist aber nicht so anschaulich wie das Gradmaß.
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Lieber Event_Horizon, vielen Dank für diese deutliche Antwort! Damit bin ich einen großen Schritt weiter. Könntest Du mir auch erklären, wiseo für die Stecke x von der Nadel zur nächstegelegenen Paralellen x= a * sinus apha gilt?
Viele Dank und liebe Grüße
Frauke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 03.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Fr 03.06.2011 | | Autor: | ozman2791 |
Recht herzlichen Dank! Die Frage hat sich tatsächlich geklärt. Ich danke vielmals den Mitgliedern dieses Forums, so schnell zu antworten. Super Sache!
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
, aber die Näherungswerte für [mm] $\pi$? [/mm] ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
[mm] $\pi$ [/mm] wird ja ständig (zum Teil deutlich) überschätzt...Und warum nur 1000 Simulationsschritte?
