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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 28.10.2008 | | Autor: | Pauline |
| Aufgabe | Im 16.Jahrhundert wurden in der Stadt Genua jedes Jahr fünf neue Mitglieder des Großen Rats der Stadt durch Los aus einer Liste mit 90 Namen zufällig bestimmt. Vor jeder Ziehung wurden schon bald von Buchmachern Wetten angeboten. Bei ihnen konnte ein Spieler damals unter anderem folgende Wetten abschließen:
[mm] \alpha [/mm] "Unbestimmter Auszug": Vorhersage eines Namens.
[mm] \beta [/mm] "Bestimmter Auszug": Vorhersage eines Namens und Vorhersage, als wievielter
dieser gezogen wurde.
[mm] \gamma [/mm] "Ambe": Vorhersage von zwei Namen.
[mm] \delta [/mm] "Terne": Vorhersage von drei Namen.
Die bei richtiger Vorhersage gemachten Gewinne betrugen im Mittel bei [mm] \alpha [/mm] das 16fache, bei [mm] \beta [/mm] das 70-, bei [mm] \gamma [/mm] das 270- und bei [mm] \delta [/mm] das 5200fache des Einsatzes.
a) Zeigen Sie, dass [mm] p(\alpha) [/mm] = 1/18 ist und berechnen Sie den mittleren Gewinn des Spielers bei einem Gulden Einsatz.
b) Wie groß sind [mm] p(\beta), p(\gamma) [/mm] und [mm] p(\delta) [/mm] ?
c) Welchen Gewinn macht im Mittel der Buchmacher bei einem Gulden Einsatz in den Fällen [mm] \beta [/mm] und [mm] \delta [/mm] ?
d) Wieviel Gulden müsste der Buchmacher bei einem Gewinn im Fall [mm] \gamma [/mm] zahlen, wenn die Wette fair sein sollte?
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Hallo liebe Freunde der Stochastik,
angesichts der Formeln und Regeln, die mir in der Stochastik begegnet sind, scheinen mir meine Lösungswege dieser Aufgabe im Vergleich doch recht einfach, deshalb bin ich mir etwas unsicher....
Lösungsansatz zu a):
Aus 90 Namen werden 5 Mitglieder gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden, liegt bei jedem einzelnen Mitglied bei P = 5/90. Daraus folgt für die Ziehung eines Namens [mm] p(\alpha) [/mm] = 1/18.
Der durchschnittliche Gewinn eines Spielers beträgt für [mm] \alpha: [/mm] 1/18 * 16 -1= - 1/9.
Der Spieler hat mit einem Verlust von durchschnittlich 1/9 Gulden zu rechnen.
Lösungsansatz zu b)
Wie groß sind [mm] p(\beta), p(\gamma) [/mm] und [mm] p(\delta) [/mm] ?
Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge. Die Wahrscheinlichkeit, von 5 Positionen die richtige vorherzusagen, beträgt 1/5.
[mm] p(\beta) [/mm] = 1/18 * 1/5 = [mm] 1/90\approx [/mm] 0,011.
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge:
[mm] p(\gamma) [/mm] = 5/90 * 4//89 = [mm] 2/801\approx 2,497*10^{-3}.
[/mm]
Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge:
[mm] p(\delta) [/mm] = 5/90 * 4/89 * 3/88 = [mm] 1/11748\approx8,512*10^{-5}.
[/mm]
Lösungsansatz zu c):
X sei der Gewinn des Buchmachers. Dann ist p(X=1-1/90*70) = 2/9 [mm] \approx [/mm] 0,2222 und
p(X=1-1/11748*5200) = 1637/2937 [mm] \approx [/mm] 0,5574.
Für den Buchmacher beträgt die Gewinnquote im Fall [mm] \beta [/mm] im Mittel 22,22% und im Fall [mm] \delta [/mm] 55,74%.
Lösungsansatz zu d)
Bei einem Gewinn im Fall [mm] \gamma [/mm] müsste der Buchmacher das 270fache des Einsatzes (1 Gulden), also 270 Gulden zahlen.
Das ist wahrscheinlich nicht ganz richtig, denn ich weiß nicht, was eine "faire Wette" ist...
Vielen herzlichen Dank für eure Hilfe schon hier und jetzt!!!
Viele Grüße
Pauline
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Pauline |
Ich habe diese Aufgabe in kein anderes Forum gestellt.
Pauline
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Do 30.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Im 16.Jahrhundert wurden in der Stadt Genua jedes Jahr fünf
> neue Mitglieder des Großen Rats der Stadt durch Los aus
> einer Liste mit 90 Namen zufällig bestimmt. Vor jeder
> Ziehung wurden schon bald von Buchmachern Wetten angeboten.
> Bei ihnen konnte ein Spieler damals unter anderem folgende
> Wetten abschließen:
> [mm]\alpha[/mm] "Unbestimmter Auszug": Vorhersage eines Namens.
>
> [mm]\beta[/mm] "Bestimmter Auszug": Vorhersage eines Namens und
> Vorhersage, als wievielter
> dieser gezogen wurde.
>
> [mm]\gamma[/mm] "Ambe": Vorhersage von zwei Namen.
>
> [mm]\delta[/mm] "Terne": Vorhersage von drei Namen.
>
> Die bei richtiger Vorhersage gemachten Gewinne betrugen im
> Mittel bei [mm]\alpha[/mm] das 16fache, bei [mm]\beta[/mm] das 70-, bei
> [mm]\gamma[/mm] das 270- und bei [mm]\delta[/mm] das 5200fache des
> Einsatzes.
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]p(\alpha)[/mm] = 1/18 ist und berechnen
> Sie den mittleren Gewinn des Spielers bei einem Gulden
> Einsatz.
>
> b) Wie groß sind [mm]p(\beta), p(\gamma)[/mm] und [mm]p(\delta)[/mm] ?
>
> c) Welchen Gewinn macht im Mittel der Buchmacher bei einem
> Gulden Einsatz in den Fällen [mm]\beta[/mm] und [mm]\delta[/mm] ?
>
> d) Wieviel Gulden müsste der Buchmacher bei einem Gewinn
> im Fall [mm]\gamma[/mm] zahlen, wenn die Wette fair sein sollte?
>
>
> Hallo liebe Freunde der Stochastik,
>
> angesichts der Formeln und Regeln, die mir in der
> Stochastik begegnet sind, scheinen mir meine Lösungswege
> dieser Aufgabe im Vergleich doch recht einfach, deshalb bin
> ich mir etwas unsicher....
>
> Lösungsansatz zu a):
>
> Aus 90 Namen werden 5 Mitglieder gezogen. Die
> Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden, liegt bei jedem
> einzelnen Mitglied bei P = 5/90. Daraus folgt für die
> Ziehung eines Namens [mm]p(\alpha)[/mm] = 1/18.
>
> Der durchschnittliche Gewinn eines Spielers beträgt für
> [mm]\alpha:[/mm] 1/18 * 16 -1= - 1/9.
>
> Der Spieler hat mit einem Verlust von durchschnittlich 1/9
> Gulden zu rechnen.
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Lösungsansatz zu b)
>
> Wie groß sind [mm]p(\beta), p(\gamma)[/mm] und [mm]p(\delta)[/mm] ?
>
> Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge:
>
> [mm]p(\beta)[/mm] = 1/18 * 1/15 = [mm]1/90\approx[/mm] 0,011.
Korrekt
>
>
> Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge:
>
> [mm]p(\gamma)[/mm] = 5/90 * 4//89 = [mm]2/801\approx 2,497*10^{-3}.[/mm]
>
>
> Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge:
>
> [mm]p(\delta)[/mm] = 5/90 * 4/89 * 3/88 =
> [mm]1/11748\approx8,512*10^{-5}.[/mm]
Das sieht gut aus
>
>
> Lösungsansatz zu c):
>
> X sei der Gewinn des Buchhändlers. Dann ist p(X=1-1/90*70)
> = 2/9 [mm]\approx[/mm] 0,2222 und
> p(X=1-1/11748*5200) = 1637/2937 [mm]\approx[/mm] 0,5574.
>
> Für den Buchhändler beträgt die Gewinnquote im Fall [mm]\beta[/mm]
> im Mittel 22,22% und im Fall [mm]\delta[/mm] 55,74%.
Dich Interessiert nur der Erwartete Gewinn, also der Erwartungswert.
Und den ermittelst du wie in b) auch.
>
>
> Lösungsansatz zu d)
> Bei einem Gewinn im Fall [mm]\gamma[/mm] müsste der Buchhändler das
> 270fache des Einsatzes (1 Gulden), also 270 Gulden zahlen.
>
> Das ist wahrscheinlich nicht ganz richtig, denn ich weiß
> nicht, was eine "faire Wette" ist...
>
Ein faires Spiel ist ein Spiel mit den Erwartungswert 0
Also musst du den Einsatz so bestimmen, dass der Erwartete Gewinn 0 wird.
> Vielen herzlichen Dank für eure Hilfe schon hier und
> jetzt!!!
>
> Viele Grüße
> Pauline
>
Kommst du damit erstmal weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Do 30.10.2008 | | Autor: | Pauline |
Hallo Marius,
vielen herzlichen Dank für deine Antwort!
Also, so weit so gut, das ist ja schon was. Für den Aufgabenteil c) bin ich jetzt so vorgegangen:
Der Gewinn des Buchhalters ist der eingenommene Einsatz, vermindert durch den Gewinn des Spielers.
Im Fall [mm] \beta [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn (wie in b) errechnt) p = 1/90 im Fall
[mm] \delta [/mm] ist p = 1/11748.
Der erwartete Gewinn für den Buchhalter beträgt also
[mm] E(X)_{\beta} [/mm] = p(X=1-1/90*70) = 2/9 [mm] \approx [/mm] 0,222
[mm] E(X)_{\delta} [/mm] = p(X= 1-1/11748*5200) = 1637/2937 [mm] \approx [/mm] 0,557.
So richtig.....??
Viele Grüße
Pauline
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Do 30.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Pauline
> Hallo Marius,
>
> vielen herzlichen Dank für deine Antwort!
>
> Also, so weit so gut, das ist ja schon was. Für den
> Aufgabenteil c) bin ich jetzt so vorgegangen:
>
> Der Gewinn des Buchhalters ist der eingenommene Einsatz,
> vermindert durch den Gewinn des Spielers.
Korrekt
>
> Im Fall [mm]\beta[/mm] ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn
> (wie in b) errechnt) p = 1/90 im Fall
> [mm]\delta[/mm] ist p = 1/11748.
>
> Der erwartete Gewinn für den Buchhalter beträgt also
>
> [mm]E(X)_{\beta}[/mm] = p(X=1-1/90*70) = 2/9 [mm]\approx[/mm] 0,222
>
> [mm]E(X)_{\delta}[/mm] = p(X= 1-1/11748*5200) = 1637/2937 [mm]\approx[/mm]
> 0,557.
>
>
> So richtig.....??
Yep. Ich habe die Wahrscheinlichkeiten jetzt nicht einzeln nachgerechnet, aber die Ergebnisse ("Einnahmen" für den Buchhalter) sind in einer "Vernünftigen Dimension", also scheint alles korrekt zu sein
>
> Viele Grüße
> Pauline
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Do 30.10.2008 | | Autor: | Pauline |
super, ja, danke, danke!!!
Nun zu d). Das habe ich ja anscheinend noch nicht mal im Ansatz richtig gehabt....
Also, nachdem was du geschrieben hast, ist eine Wette fair, wenn die Gewinnchancen für Buchhändler und Spieler 50:50 sind.
Der reale Erwartungswert für den Buchhhändler im Falle [mm] \gamma [/mm] ist
E(X) = p(X=1-2/801*270) = 29/89 [mm] \approx [/mm] 0,326 und damit für den Buchhändler ungünstig.
Also müsste der Buchhändler demnach entweder einen höheren Einsatz nehmen oder weniger im Gewinnfall ausbezahlen.....
Und nun.....????
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Do 30.10.2008 | | Autor: | reverend |
Nicht ganz. Eine Wette ist fair, wenn der zu erwartende Gewinn und Verlust den Wahrscheinlichkeiten entspricht. Das muss also nicht 50:50 sein, sondern je nach Wette - wie Du's ausgerechnet hast. Am Beispiel a: fair wäre, wenn der Gewinn 18 Gulden betrüge.
Übrigens: Buchmacher machen keine Bücher. Sie handeln auch nicht damit. Sie leben von der Vermittlung und Annahme von Wetten, z.B. auf Pferde, Autos, Fußballmannschaften. Nur diejenigen, die auf Aktienkurse wetten, nennt man anders. Banker - oder Broker, je nachdem. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Do 30.10.2008 | | Autor: | Pauline |
Hi,
vielen Dank für deine Antwort!
Wenn also eine Wette fair sein soll, werden mit [mm] p(\alpha) [/mm] = 1/18 18 Gulden ausgezahlt.
Dann müsste doch im Fall [mm] \gamma [/mm] mit [mm] p(\gamma) [/mm] = 2/801 bei einer fairen Wette 405 Gulden ausgezahlt werden.....oder?
Viele Grüße
Pauline
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Ja, genau.
Nur - wovon lebt dann der Buchmacher?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 Do 30.10.2008 | | Autor: | Pauline |
ja, zum Glück muss ich das jetzt nicht auch noch ausrechnen.....!!!
Lieben Dank für eure Mühe - schön, dass es Euch gibt!!!.....
Viele Grüße
Pauline
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