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| Aufgabe | Das Lügner-Paradoxon lautet: Epimenides der Kreter sagte: Alle Kreter sind Lügner.
Sagt Epimenides die Wahrheit? Warum führt dieses Paradoxon nicht zu den Problemen der Russell'schen Antinomie? |
Hallo,
im Mathe-Vorkurs haben wir diese Aufgabe bekommen und ich komm nicht so recht weiter... Hier erstmal meine anfänglichen Überlegungen:
Erst einmal gehe ich davon aus, dass "Lügner" als eine Person definiert ist, die immer die Unwahrheit spricht, weil das Paradoxon sonst für mich keinen Sinn macht.
Es sei A die Menge aller Kreter und B die Menge aller Lügner. Des weiteren sei [mm]Epimenides \in [/mm] A.
Epimenides sagt: [mm] (A\subset B) \Rightarrow (x \in A \Rightarrow x \in B) [/mm]
Angenommen, diese Implikation ist wahr, dann gilt auch:
[mm] Epimenides \in A \Rightarrow Epimenides \in B [/mm], also ist er ein Lügner. Somit stimmt auch seine Folgerung nicht, also gilt alles in allem:
$(x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] (nicht (x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B))$
Das ist also ein Widerspruch, Epimenides spricht nicht die Wahrheit.
Aber lügt er? Wenn das so ist, dann gilt:
Es gibt mindestens ein x, für das gilt: $ [mm] x\in A\wedge x\not\in [/mm] B$
Das ist erst einmal möglich, aber kann man das beweisen? und den Teil mit der Russell'schen Antinomie hab ich auch nicht wirklich begriffen; trifft die nicht ein, weil die Verneinung der Aussage "Alle Kreter sind Lügner" nicht die Aussage "Alle Kreter sagen die Wahrheit" ist, sondern "Nicht alle Kreter sind Lügner"?
Dange im Vorraus,
Gruß, Melvissimo
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> Das Lügner-Paradoxon lautet: Epimenides der Kreter sagte:
> Alle Kreter sind Lügner.
>
> Sagt Epimenides die Wahrheit? Warum führt dieses Paradoxon
> nicht zu den Problemen der Russell'schen Antinomie?
>
> Hallo,
>
> im Mathe-Vorkurs haben wir diese Aufgabe bekommen und ich
> komm nicht so recht weiter... Hier erstmal meine
> anfänglichen Überlegungen:
> Erst einmal gehe ich davon aus, dass "Lügner" als eine
> Person definiert ist, die immer die Unwahrheit spricht,
> weil das Paradoxon sonst für mich keinen Sinn macht.
dürfte wohl so gemeint sein, ja.
> Es sei A die Menge aller Kreter und B die Menge aller
> Lügner. Des weiteren sei [mm]Epimenides \in[/mm] A.
> Epimenides sagt: [mm](A\subset B) \Rightarrow (x \in A \Rightarrow x \in B)[/mm]
> Angenommen, diese Implikation ist wahr, dann gilt auch:
> [mm]Epimenides \in A \Rightarrow Epimenides \in B [/mm], also ist
> er ein Lügner. Somit stimmt auch seine Folgerung nicht,
> also gilt alles in allem:
> [mm](x \in A \Rightarrow x \in B) \Rightarrow (nicht (x \in A \Rightarrow x \in B))[/mm]
>
> Das ist also ein Widerspruch, Epimenides spricht nicht die
> Wahrheit.
jupp
> Aber lügt er? Wenn das so ist, dann gilt:
> Es gibt mindestens ein x, für das gilt: [mm]x\in A\wedge x\not\in B[/mm]
>
> Das ist erst einmal möglich, aber kann man das beweisen?
Nehmen wir an er lügt.
Dann (wie du unten richtig geschrieben hast), gibt es einen Kreter, der nicht lügt.
So lange Kreta also mehr als einen Einwohner hat (wovon wohl auszugehen ist), ist es also möglich eine Konstellation zu finden, in der sich hier kein Widerspruch ergibt. (Epimenidis lügt, ein anderer beliebiger Kreter lügt nicht)
> und den Teil mit der Russell'schen Antinomie hab ich auch
> nicht wirklich begriffen; trifft die nicht ein, weil die
> Verneinung der Aussage "Alle Kreter sind Lügner" nicht die
> Aussage "Alle Kreter sagen die Wahrheit" ist, sondern
> "Nicht alle Kreter sind Lügner"?
Das dürfte wohl der Hauptgrund sein, ja.
Und es führt halt nicht zu dem Problem, da man wenn Epimenides lügt und Kreta mehr als einen Einwohner hat keinen Widerspruch kriegt; bei Russell gibt es immer einen Widerspruch.
> Dange im Vorraus,
> Gruß, Melvissimo
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:26 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Melvissimo |
ah ok, dass die Russell'sche Antinomie immer nen Widerspruch enthält, war mir neu (wir hatten erst ein Beispiel).
Vielen Dank für die Hilfe =)
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Ich hatte es bisher auch nur an ein paar Beispielen, also ich vermute stark, dass das immer zum Widerspruch führt, aber guck am besten nochmal nach wenn du es ganz genau wissen willst. ;)
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