Das Urnen-Model < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Eine Urne enthält 8 weiße und 2 schwarze Kugeln. Sie dürfen so lange mit Zurücklegen eine Kugel entnehmen, bis Sie eine schwarze Kugel greifen.
Die Zahl der ausgeführten Kugelentnahmen (Züge) sei m. Für m<5 beträgt der Gewinn 5-m sonst beträgt er 0
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit endet das Spiel spätestens nach dem fünften Zug?
b) Wie hoch ist der Erwartungswert für den Gewinn?
c) Nach wievielen Zügen ist das Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.9 beendet? |
Ok ich habe mit der ganzen Wahrscheinklichkeitsrechnung ein paar Probleme, weshalb ich über Hilfe dankbar wäre.
Ok also bei 5 Spielen ist ja die Anzahl der Maximalen Möglichkeiten:
x = [mm] 10^5 [/mm] = 100000
a) Für a würde ich dann sagen sagen: [mm] (1-\frac{2}{10^5}) [/mm] = 0,99998%
b)
[mm] (\frac{2}{10})^m [/mm] = 0.9 |ln
[mm] m*ln(\frac{2}{10}) [/mm] = ln(0.9)
m = [mm] \frac{ln(0.9)}{ln\frac{2}{10}}
[/mm]
m = 0,06546 Zügen
c)
E(x) = 4*2/10+3*2/10+2*2/10+2/10 = 2
erwartungswert = 2
Um Hilfe wäre ich dankbar
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:58 Sa 29.01.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Meines Erachtens ist dein Ansatz nicht ganz richtig. Geh mal so vor:
Wahrscheinlichkeit für WEISS ist 0.8 und Wahrscheinlichkeit für SCHWARZ ist 0.2
Wahrscheinlichkeit, beim 1. Zug SCHWARZ zu ziehen, ist 0.2
Wahrscheinlichkeit, beim 2. Zug SCHWARZ zu ziehen, ist 0.8*0.2
Wahrscheinlichkeit, beim 3. Zug SCHWARZ zu ziehen, ist 0.8*0.8*0.2
Wahrscheinlichkeit, beim 4. Zug SCHWARZ zu ziehen, ist 0.8*0.8*0.8*0.2
Wahrscheinlichkeit, beim 5. Zug SCHWARZ zu ziehen, ist 0.8*0.8*0.8*0.8*0.2
und so weiter
Aufgabe a): Mit welcher Wahrscheinlichkeit endet das Spiel spätestens nach dem fünften Zug?
Das hieße doch: Entweder mit dem 1. Zug oder mit dem 2. Zug oder mit dem 3. Zug oder mit dem 4. Zug oder mit dem 5. Zug ist Schluss. Also werden die obigen Wahrscheinlichkeiten addiert. So würde ich das jedenfalls sehen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Sa 29.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Meines Erachtens ist dein Ansatz nicht ganz richtig. Geh
> mal so vor:
> Wahrscheinlichkeit für WEISS ist 0.8 und
> Wahrscheinlichkeit für SCHWARZ ist 0.2
>
> Wahrscheinlichkeit, beim 1. Zug SCHWARZ zu ziehen, ist 0.2
> Wahrscheinlichkeit, beim 2. Zug SCHWARZ zu ziehen, ist
> 0.8*0.2
> Wahrscheinlichkeit, beim 3. Zug SCHWARZ zu ziehen, ist
> 0.8*0.8*0.2
> Wahrscheinlichkeit, beim 4. Zug SCHWARZ zu ziehen, ist
> 0.8*0.8*0.8*0.2
> Wahrscheinlichkeit, beim 5. Zug SCHWARZ zu ziehen, ist
> 0.8*0.8*0.8*0.8*0.2
>
> und so weiter
>
> Aufgabe a): Mit welcher Wahrscheinlichkeit endet das Spiel
> spätestens nach dem fünften Zug?
>
> Das hieße doch: Entweder mit dem 1. Zug oder mit dem 2.
> Zug oder mit dem 3. Zug oder mit dem 4. Zug oder mit dem 5.
> Zug ist Schluss. Also werden die obigen
> Wahrscheinlichkeiten addiert. So würde ich das jedenfalls
> sehen.
Hallo,
das ist reichlich umständlich; der Weg über das Gegenereignis ist wesentlich sinnvoller.
Zudem hast du in deiner Darstellung bei den Formulierungen geschlampt.
Du schreibst z.B.
" Wahrscheinlichkeit, beim 2. Zug SCHWARZ zu ziehen", meinst damit aber
"Wahrscheinlichkeit, [mm] \red{erst} [/mm] beim 2. Zug SCHWARZ zu ziehen".
Zurück zum Gegenereignis: Das Spiel ist nach dem 5. Zug noch nicht beendet.
Es tritt genau dann ein, wenn fünfmal hintereinander WEIß gezogen wurde. Das Ergebnis ist sofort berechenbar; und mit "1 minus Ergebnis" hat man die Wahrscheinlichkeit des gesuchten Ereignisses.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:38 So 30.01.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> das ist reichlich umständlich
Viele Wege führen nach Rom, und im Endeffekt ist es doch egal, wie man zum Ergebnis kommt.
Immerhin: So stehen dem Fragesteller zwei Lösungs-Ansätze zur Verfügung. Da kann er sich den für ihn besten aussuchen.
> Zudem hast du in deiner Darstellung bei den Formulierungen geschlampt.
> Du schreibst z.B. " Wahrscheinlichkeit, beim 2. Zug SCHWARZ zu ziehen",
> meinst damit aber "Wahrscheinlichkeit, [mm]\red{erst}[/mm] beim 2. Zug SCHWARZ zu ziehen".
Wenn man bereits beim ersten Zug SCHWARZ zieht, dann gibt es doch den 2. Zug gar nicht mehr.
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich hoffe meine Hilfe kommt noch nicht zu spät.
Zu Aufgabe a)
Am besten ist es wenn du dir die Aussage "spätestens nach 5 Zügen" zerlegst in 1 Zug, 2 Züge, ..., 5 Züge. Die Wahrscheinlichkeiten für diese 5 einzelnen Ereignisse kannst du berechnen und dann addieren.
Wahrscheinlichkeit dass es nach 1 Zug endet: [mm] P_1= [/mm] 2/10, denn es sind zwei von 10 Kugeln schwarz, das wäre also 0,2.
[mm] P_2 [/mm] wäre dann: 6/10*2/10, denn die erste Kugel muss hier weiß sein, die zweite schwarz. So macht man das bis 5 und addiert dann die einzelnen Wahrscheinlichkeiten.
Bei Aufgabenteil b) macht man am besten eine Tabelle mit Anzahl der Züge und Gewinn und multipliziert dann die entsprechenden Werte.
Bei Aufgabe c) wäre mein Ansatz über das Gegenereignis: Man geht davon aus dass man nur weiße zieht und nimmt dann das Gegenereignis.
[mm] 1-(8/10)^n [/mm] >0,9
Das löst man dann auf und dürfte auf ein n>10,3... kommen, was heißt nach 11 Zügen.
Ich hoffe ich konnte helfen.
Gruß
Kernunnos
|
|
|
|
