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Hallo,
ich sitze mal wieder an dem Analysisbuch und versuche den Beweis zur Äquivalenz zwischen der Vollständigkeits-Axiom und des Intervallschachtelungs-Prinzip zu verstehen.
V [mm] \gdw [/mm] Isp
Die " [mm] \Rightarrow [/mm] " Richtung habe ich soweit verstanden, jedoch tauchen bei " [mm] \Leftarrow [/mm] " noch ein paar Verständnisfragen auf.
Satz 3. (aus dem Buch)
Das Intervallschachtelungs-Prinzip impliziert das Vollständigkeits-Axiom.
Beweis:
[mm] (a_{n}) [/mm] sei eine Vorgegebene Cauchy-Folge. Nach Definition gibt es eine Folge [mm] n_{0}
[mm] |a_{n}-a_{m}| <2^{-k} [/mm] für alle n,m [mm] \ge n_{k}.
[/mm]
Hier verstehe ich nicht warum man [mm] <2^{-k} [/mm] schreiben darf oder was das hier genau bedeutet.
Als nächstes definiert man:
[mm] I_{k} :=\{x\in\IR : |x-a_{n_{k}}| \le 2^{-k+1}\}
[/mm]
[mm] I_{k} [/mm] sind abgeschlossene Intervalle mit [mm] I_{k} \supset I_{k+1} [/mm] für alle k.
...
Der Beweis geht natürlich weiter, aber vllt verstehe ich den Rest wenn mir jemand bei der Frage helfen könnte.
Würde mich über eine Antwort sehr freuen.
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Friekeline,
na dann wollen wir mal 
> [mm](a_{n})[/mm] sei eine Vorgegebene Cauchy-Folge. Nach Definition
> gibt es eine Folge [mm]n_{0}
> Zahlen mit
>
> [mm]|a_{n}-a_{m}| <2^{-k}[/mm] für alle n,m [mm]\ge n_{k}.[/mm]
>
> Hier verstehe ich nicht warum man [mm]<2^{-k}[/mm] schreiben darf
> oder was das hier genau bedeutet.
Nunja, die Definition einer Cauchy-Folge rufen wir uns mal in Erinnerung. *erledigt*
Setze nun [mm] $\varepsilon [/mm] := [mm] 2^{-k}$
[/mm]
Nun findet man auf jedenfall für jedes [mm] $k\in\IN$ [/mm] ein [mm] n_k, [/mm] so dass gewünschte Ungleichung [mm] $n,m\ge n_k$ [/mm] gilt, da wir ja eine Cauchy-Folge haben.
> Als nächstes definiert man:
>
> [mm]I_{k} :=\{x\in\IR : |x-a_{n_{k}}| \le 2^{-k+1}\}[/mm]
>
> [mm]I_{k}[/mm] sind abgeschlossene Intervalle mit [mm]I_{k} \supset I_{k+1}[/mm]
> für alle k.
Ja, man zeigt nun also mit dem ISP, dass unser "Grenzwert" auch wirklich in [mm] \IR [/mm] existiert
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Mo 15.11.2010 | | Autor: | friekeline |
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe!
lg
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