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Dauer Bohrung u. Leihgebühr < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Dauer Bohrung u. Leihgebühr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:33 Fr 12.10.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Zur Entnahme von Bodenproben wird ein Spezialbohrer benötigt. Die Dauer einer Bohrung ist von den Bodenverhältnissen abhängig und ist durch eine Zufallsvariable X mit Dichtefunktion

f(t) = [mm] \begin{cases} 5*t*e^{-2*t}, & \mbox{für } t \mbox{ >= 0} \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{ } \end{cases} [/mm]

beschrieben.

die Leihgebühr Y(y) für den Bohrer ist von der Leihdauer abhängig.

Y(y) = [mm] \begin{cases} c, & \mbox{falls } y \mbox{ <= 5} \\ \bruch{1}{5}*c*y, & \mbox{falls } y \mbox{ > 5} \end{cases} [/mm]

wobei c eine Konstante (Pauschale) ist.

Bestimmen Sie den Erwartungswert von Y.

Moin Moin,

mein erstes Problem ist hier, wie hängen t und y zusammen?

Idee: y = m*t    also y ist ein Vielfaches von t.

Ich müsste herausfinden, wie wahrscheinlich es ist, dass y > 5 ist bzw. mit welcher Wahrscheinlichkeit dies eintritt.


[mm] \integral_{0}^{m*t}{f(t) dt} [/mm]  würde mir die Wahrscheinlichkeit liefern, mit der y <= 5 ist.


[mm] \integral_{0}^{m*t}{5*t*e^{-2*t} dt} [/mm]  

Partielle Integration

u = 5*t  v ' = [mm] e^{-2*t} [/mm]

u ' = 5   v = - [mm] \bruch{1}{2}*e^{-2*t} [/mm]


[mm] \integral_{0}^{m*t}{5*t*e^{-2*t} dt} [/mm]  = [5*t*(- [mm] \bruch{1}{2}*e^{-2*t}) [/mm] ] - [mm] \integral_{0}^{m*t}{5*(- \bruch{1}{2}*e^{-2*t} )dt} [/mm]

[mm] \integral_{0}^{m*t}{5*t*e^{-2*t} dt} [/mm]  = [5*t*(- [mm] \bruch{1}{2}*e^{-2*t}) [/mm] ] - [ [mm] \bruch{5}{4}*e^{-2*t} [/mm] ]      jeweils von 0 bis m*t

= [mm] -5*mt*e^{-2*mt} [/mm] - [mm] (-5*0*e^{-2*0}) [/mm]  - [mm] (\bruch{5}{4}*e^{-2*m*t} -\bruch{5}{4}*e^{-2*0}) [/mm]

[mm] -5*mt*e^{-2*mt} [/mm] - [mm] \bruch{5}{4}*e^{-2*m*t} +\bruch{5}{4} [/mm]


Ist das überhaupt soweit stimmig? Wie würdet ihr vorgehen?


Danke für eure Hilfe!

        
Bezug
Dauer Bohrung u. Leihgebühr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Sa 13.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> mein erstes Problem ist hier, wie hängen t und y zusammen?
> Idee: y = m*t    also y ist ein Vielfaches von t.

Wieso willst du da überhaupt ein Zusammenhang künstlich erzeugen?

Du willst wissen, welche Gesamtkosten entstehen.
Y(y) gibt an, welche Kosten bei einer Leihdauer y zu zahlen sind.

Laut Aufgabenstellung ist unsere Leihdauer gerade die Bohrdauer X

Ergo: Gesucht ist $E[Y(X)]$.
In diesem Sinne ist die Aufgabenstellung

> Bestimmen Sie den Erwartungswert von Y.

totaler Schwachsinn, weil Y eine deterministische Funktion und damit nicht zufällig ist.

Aber wie oben beschrieben: Ich gehe stark davon aus, dass die Leihdauer zufällig sein soll in Abhängigkeit von X, d.h. y=X.

Mach dir klar, dass gilt: $Y(X) = [mm] c*1_{X \le c} [/mm]  + [mm] \frac{1}{5}cX1_{X > c}$ [/mm]
Nun kannst du auf beiden Seiten einfach den Erwartungswert anwenden und bist fertig....

Gruß,
Gono

Bezug
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