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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Audience |
| Aufgabe | Es seien A,B,C Mengen. Beweisen Sie die Regel von De Morgan:
C \ (A [mm] \cup [/mm] B) = (C \ A) [mm] \cap [/mm] (C \ B)
Tipp: Ein x kann entweder Element von A oder nicht Element von A sein, genauso für B und
C. Überlegen Sie, wie viele mögliche F¨alle es gibt, und weisen Sie in jedem dieser Fälle nach,
dass x entweder in beiden Mengen, deren Gleichheit zu beweisen ist, liegt oder in keiner. Am übersichtlichsten ist eine Tabelle. |
Eigentlich habe ich schon verstanden was von mir verlangt wird aber ich weiß nicht ob ichs richtig hinschreiben kann. Also mein Ansatz:
Mögliche Varianten:
x [mm] \in [/mm] A; x [mm] \in [/mm] A und B;
x [mm] \in [/mm] A, B und C; x [mm] \in [/mm] A und C;
x [mm] \in [/mm] B; x [mm] \in [/mm] B und C;
x [mm] \in [/mm] C;
Erster Fall x [mm] \in [/mm] A:
C \ ({x} [mm] \cup [/mm] B) = (C \ {x}) [mm] \cap [/mm] (C \ B)
=> C \ {x} = C \ {x} [mm] \cap [/mm] (C \ B)
=> {} = {}
Also ist x in keiner dieser Mengen enthalten. Aber ich glaube die Formulierung ist nicht mathematisch korrekt oder ich liege logisch falsch.
Danke für alle Antworten,
Gruß,
Thomas
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Du hast eine Möglichkeit vergessen, nämlich dass $x$ weder in $A$, $B$ noch $C$ ist.
Für jede Menge kann $x$ enthalten sein oder nicht. Bei deiner ersten Möglichkeit [mm] $x\in [/mm] A$ solltest Du auch noch aufschreiben, dass $x$ nicht in den anderen beiden Mengen ist, denn diese Fälle behandelst Du ja getrennt.
Es gibt also acht möglichkeiten:
1) [mm] $x\notin [/mm] A, [mm] x\notin [/mm] B, [mm] x\notin [/mm] C$
2) [mm] $x\notin [/mm] A, [mm] x\notin [/mm] B, [mm] x\in [/mm] C$
3) [mm] $x\notin [/mm] A, [mm] x\in [/mm] B, [mm] x\notin [/mm] C$
4) [mm] $x\notin [/mm] A, [mm] x\in [/mm] B, [mm] x\in [/mm] C$
5) [mm] $x\in [/mm] A, [mm] x\notin [/mm] B, [mm] x\notin [/mm] C$
6) [mm] $x\in [/mm] A, [mm] x\notin [/mm] B, [mm] x\in [/mm] C$
7) [mm] $x\in [/mm] A, [mm] x\in [/mm] B, [mm] x\notin [/mm] C$
8) [mm] $x\in [/mm] A, [mm] x\in [/mm] B, [mm] x\in [/mm] C$
Es soll die Gleichheit der beiden Mengen $L = C [mm] \setminus (A\cup [/mm] B)$ und
$R = [mm] (C\setminus A)\cap(C\setminus [/mm] B)$ gezeigt werden.
($L$ und $R$ sind nur Namen die ich den beiden Teilen gegeben habe, um
nicht immer die ganze Formel schreiben zu müssen.)
Um zu zeigen, dass $L=R$, muss ich für alle $x$ zeigen dass $x$ genau dann in $R$ ist, wenn es auch in $L$ ist. Für alle $x$ hört sich nach wahnsinnig viel an, aber wir haben oben gesehen, dass jedes $x$ in eine der 8 Möglichkeiten gehört. Es reich also die Gleichheit für die 8 Möglichkeiten zu zeigen.
Ich mache hier mal die Möglichkeit 1) als Beispiel
1) a) ist [mm] $x\in [/mm] L$? - nein, denn [mm] $x\notin [/mm] C$
b) ist [mm] $x\in [/mm] R$? Weil [mm] $x\notin [/mm] C$ ist auch [mm] $x\notin C\setminus [/mm] A$ und
[mm] $x\notin C\setminus [/mm] B$, also auch nicht in der Schnittmenge $R$
$x$ ist also weder in $L$ noch in $R$. Bedingung erfüllt.
Ist für alle acht Möglichkeiten entweder [mm] $x\notin [/mm] L$ und [mm] $x\notin [/mm] R$ oder
[mm] $x\in [/mm] L$ und [mm] $x\in [/mm] R$, so ist die Gleichheit von $L$ und $R$ bewiesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Audience |
Danke für die Antwort, allerdings weiß ich nicht wie ich das jetzt mathematisch korrekt hinschreiben soll. Sind natursprachliche Sätze überhaupt erlaubt?
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Oft ist es einfacher, Beweise "mathematisch" aufzuschreiben, aber in diesem Fall würde ich so weiter machen, wie mein Vorredner angefangen hat. ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]"){kind=small}
