Dedek. Vollständigkeitsaxiom < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Di 26.10.2010 | | Autor: | Krone |
| Aufgabe | Beweisen sie die folgende Aussage (Dedekindsches Vollständigkeitsaxiom). Zu je zwei nicht leeren Mengen A,B [mm] \subseteq \IR [/mm] mit A [mm] \cup [/mm] B = [mm] \IR [/mm] und der Eigenschaft
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A [mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B: a<b
existiert genau ein c [mm] \in \IR, [/mm] so dass für jedes x [mm] \in \IR [/mm] gilt:
x<c => x [mm] \in [/mm] A und x>c => x [mm] \in [/mm] B
Benutzen sie das Vollständigkeitsaxiom (Supremumsaxiom). |
Nabend allerseits.
Also:
Wenn A und B zusammen ganz [mm] \IR [/mm] sind und a<b gilt, dann muss eine Menge ja abgeschlossen sein, und die andere offen ... anders gehts ja nicht.
und c muss auch irgendwo in dem Bereich liegen.
Aber da leuchtet mir die Logik nicht so ganz ein:
c MUSS ja in einer der beiden Mengen liegen, da c ja Element aus [mm] \IR [/mm] ist.
aber laut Aufgabenstellung ist c ja größer als jede reelle Zahl aus A und kleiner als jede reelle Zahl aus B. Das kann doch gar nicht sein ...
Ich könnte mir vorstellen, dass c Supremum von A und Infimum von B ist und halt in einer der Mengen liegt. Aber damit wäre eine der oben genannten Aussagen ja nicht erfüllt, nämlich entweder:
x<c => x [mm] \in [/mm] A oder halt x>c => x [mm] \in [/mm] B
Da komm ich dann irgendwie nicht weiter...
Wie mir das Supremumsaxiom da helfen will, versteh ich auch nicht ...
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> Beweisen sie die folgende Aussage (Dedekindsches
> Vollständigkeitsaxiom). Zu je zwei nicht leeren Mengen A,B
> [mm]\subseteq \IR[/mm] mit A [mm]\cup[/mm] B = [mm]\IR[/mm] und der Eigenschaft
>
> [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] A [mm]\forall[/mm] b [mm]\in[/mm] B: a<b
>
> existiert genau ein c [mm]\in \IR,[/mm] so dass für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
> gilt:
>
> x<c => x [mm]\in[/mm] A und x>c => x [mm]\in[/mm] B
>
> Benutzen sie das Vollständigkeitsaxiom (Supremumsaxiom).
> Nabend allerseits.
>
> Also:
>
> Wenn A und B zusammen ganz [mm]\IR[/mm] sind und a<b gilt, dann muss
> eine Menge ja abgeschlossen sein, und die andere offen ...
> anders gehts ja nicht.
> und c muss auch irgendwo in dem Bereich liegen.
> Aber da leuchtet mir die Logik nicht so ganz ein:
>
> c MUSS ja in einer der beiden Mengen liegen, da c ja
> Element aus [mm]\IR[/mm] ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber laut Aufgabenstellung ist c ja größer als jede
> reelle Zahl aus A und kleiner als jede reelle Zahl aus B. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Das kann doch gar nicht sein ...
Das wird aber in der Aufgabenstellung auch gar nicht
behauptet !
Was behauptet wird, ist nur: Es gibt eine bestimmte
reelle Zahl c mit der Eigenschaft, dass jede reelle Zahl x,
die kleiner als c ist, zu A gehört und andererseits jede
reelle Zahl x, die größer als c ist, zu B gehört.
c kann entweder das größte Element von A oder das
kleinste Element von B sein.
> Ich könnte mir vorstellen, dass c Supremum von A und
> Infimum von B ist und halt in einer der Mengen liegt.
> Aber damit wäre eine der oben genannten Aussagen ja nicht
> erfüllt, nämlich entweder:
>
> x<c => x [mm]\in[/mm] A oder halt x>c => x [mm]\in[/mm] B ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
weshalb denn ?
> Da komm ich dann irgendwie nicht weiter...
> Wie mir das Supremumsaxiom da helfen will, versteh ich
> auch nicht ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Di 26.10.2010 | | Autor: | Krone |
Naja ok, anscheinend irre ich mich, es muss ja irgendwie stimmen.
Nur ganz einleuchtend ist es mir nicht, weil wenn x<c ist wäre x doch außerhalb der Menge. Wenns in der Menge wäre müsste da doch stehen x [mm] \le [/mm] c.
Zumindest müsste es bei einer der beiden Aussagen stehen, denn in einer Menge muss es ja drin sein.
Wie dem auch sei ...
das ändert nicht viel an der Tatsache dass ich hier nicht recht weiter komme.
Ich weiss ja nichtmal, ob c jetzt sup A oder inf B ist ...
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Huhu,
> Naja ok, anscheinend irre ich mich, es muss ja irgendwie
> stimmen.
> Nur ganz einleuchtend ist es mir nicht, weil wenn x<c ist
> wäre x doch außerhalb der Menge. Wenns in der Menge wäre
> müsste da doch stehen x [mm]\le[/mm] c.
>
> Zumindest müsste es bei einer der beiden Aussagen stehen,
> denn in einer Menge muss es ja drin sein.
Nein, denn da steht ja NICHT, dass für ALLE [mm] $a\in [/mm] A$ auch $a < c$ gelten MUSS.
Da steht nur WENN x < c folgt $x [mm] \in [/mm] A$.
> Ich weiss ja nichtmal, ob c jetzt sup A oder inf B ist
Es ist beides.
Du wirst nur im allgemeinen nicht sagen können, in welcher Menge c liegt.
Da bleibt dir wohl nur eine Fallunterscheidung 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Di 26.10.2010 | | Autor: | Krone |
> Es ist beides.
> Du wirst nur im allgemeinen nicht sagen können, in
> welcher Menge c liegt.
> Da bleibt dir wohl nur eine Fallunterscheidung
>
> MFG,
> Gono.
Also ok ... Fallunterscheidung.
Also einmal sup A und einmal inf B?
`
Aber wenn c = supA ist, dann ist doch schon laut aufgabenstellung alles klar, weil jedes element aus A ja kleiner ist als B.
was soll ich denn da noch beweisen?
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Hiho,
> Also ok ... Fallunterscheidung.
> Also einmal sup A und einmal inf B?
Nein!
Einmal [mm] c\in [/mm] A und einmal [mm] c\in [/mm] B.
Du musst natürlich begründen, warum du damit alle Fälle abgedeckt hast.
Tip:
1. Fall: [mm] $c\in [/mm] A$
2. Fall: [mm] $c\not\in [/mm] A [mm] \Rightarrow c\in [/mm] B$
> Aber wenn c = supA ist, dann ist doch schon laut
> aufgabenstellung alles klar, weil jedes element aus A ja
> kleiner ist als B.
Ach ist es das?
Beispiel: Sei 1000 < c. Woher weisst du nun, dass 1000 [mm] \in [/mm] A gilt?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 26.10.2010 | | Autor: | Krone |
> Einmal [mm]c\in[/mm] A und einmal [mm]c\in[/mm] B.
> Du musst natürlich begründen, warum du damit alle Fälle
> abgedeckt hast.
>
> Tip:
>
> 1. Fall: [mm]c\in A[/mm]
> 2. Fall: [mm]c\not\in A \Rightarrow c\in B[/mm]
>
> > Aber wenn c = supA ist, dann ist doch schon laut
> > aufgabenstellung alles klar, weil jedes element aus A ja
> > kleiner ist als B.
Also z.b. 1.Fall:
c [mm] \in [/mm] A
c sei Supremum A
dann sind alle x<c für [mm] c\in [/mm] A
und alle x>c für [mm] x\in [/mm] B, da alle [mm] a\inA [/mm] < [mm] b\inB
[/mm]
richtig?
oder mach ichs mir zu einfach?
>
> Ach ist es das?
>
> Beispiel: Sei 1000 < c. Woher weisst du nun, dass 1000 [mm]\in[/mm]
> A gilt?
>
> MFG,
> Gono.
>
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Hiho,
> c [mm]\in[/mm] A
> c sei Supremum A
andersrum: c sei Supremum A (das gilt immer!)
Sei c [mm] \in [/mm] A...
> dann sind alle x<c für [mm]c\in[/mm] A
Für $x [mm] \in [/mm] A$
> und alle x>c für [mm]x\in[/mm] B, da alle [mm]a\inA[/mm] < [mm]b\inB[/mm]
> richtig?
Jop.
> oder mach ichs mir zu einfach?
Nö, nur hast du jetzt bei weitem noch nichts davon gezeigt, was in der Aufgabenstellung steht.
Du sollst nicht zeigen, dass x>c oder x<c gilt, sondern dass aus x> c FOLGT, dass x [mm] \in [/mm] B liegt. Die von dir gezeigte Rückrichtung gilt trivialerweise, das hast du schon gut erkannt.....
Du wirst schon irgendwann benutzen müssen, dass [mm] $A\cup [/mm] B = [mm] \IR$
[/mm]
MFG,
Gono.
>
>
>
> >
> > Ach ist es das?
> >
> > Beispiel: Sei 1000 < c. Woher weisst du nun, dass 1000 [mm]\in[/mm]
> > A gilt?
> >
> > MFG,
> > Gono.
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Di 26.10.2010 | | Autor: | Krone |
hmm ... also wenn ja A U B = [mm] \IR [/mm] ist ...
dann ist ja B = [mm] \IR [/mm] \ A
und wenn jedes b [mm] \in [/mm] B > als jedes a [mm] \in [/mm] A ist ...
daraus folgt doch dann dass aus x<c dann [mm] x\in [/mm] A folgt.
aber ... mann die ganzen Ana aufgaben bringen mich echt zur verzweiflung ...
das is so primitiv un doch so schwer ...
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> hmm ... also wenn ja A U B = [mm]\IR[/mm] ist ...
> dann ist ja B = [mm]\IR[/mm] \ A
Also so ohne weiteres gilt das nicht ohne weitere Begründung.
Sei bspw. A = [mm] \IR, [/mm] B = [mm] \IN [/mm] dann gilt offensichtlich [mm] $A\cup [/mm] B = [mm] \IR$ [/mm] aber wohl nicht $B = [mm] \IR\setminus [/mm] A$
Ergo: Mehr begründen.
> und wenn jedes b [mm]\in[/mm] B > als jedes a [mm]\in[/mm] A ist ...
> daraus folgt doch dann dass aus x<c dann [mm]x\in[/mm] A folgt.
So?
Fang mal sauber an:
1.Fall: x < c
Sei [mm] $x\in \IR \Rightarrow \ldots \Rightarrow x\in [/mm] A$
So sollte es dann aussehen.
MFG,
Gono.
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