Dedekindsche Psi-Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für n > 2 ist [mm] \psi(n) [/mm] gerade |
Hallo,
ich möchte zeigen, dass die Dedekindsche [mm] \psi [/mm] - Funktion für n > 2 gerade ist. Die Definition ist wie folgt:
[mm] \psi(n) [/mm] = 1 für n = 1, für n > 1 ist [mm] \psi(n) [/mm] = n * [mm] \produkt_{p prim, p|n}^{} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{p}) [/mm]
Ich habe zunächst ein paar Werte eingesetzt und geschaut, ob man dort eine Regelmäßigkeit oder was anderes nützliches sieht.
Was mir soweit aufgefallen ist:
- die Ergebnisse sind ganzzahlig, weil man beim Bruch immer einen der Primfaktoren rauskürzt und somit der Bruch per Konstruktion immer ganzzahlig ist.
Dann hört es allerdings fast auf. Ich habe überlegt, ob es sinnvoll ist, ob man die Anzahl der Primfaktoren für n bestimmt und darüber was rausfinden kann. Also ob man eine gerade oder ungerade Anzahl an PF hat. Aber das scheint bisher nicht zielführend gewesen zu sein. Hat jemand eventuell einen Tipp?
Viele Grüße,
mathelernender
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Hallo,
> Für n > 2 ist [mm]\psi(n)[/mm] gerade
> Hallo,
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> ich möchte zeigen, dass die Dedekindsche [mm]\psi[/mm] - Funktion
> für n > 2 gerade ist. Die Definition ist wie folgt:
>
> [mm]\psi(n)[/mm] = 1 für n = 1, für n > 1 ist [mm]\psi(n)[/mm] = n *
> [mm]\produkt_{p prim, p|n}^{}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{p})[/mm]
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> Ich habe zunächst ein paar Werte eingesetzt und geschaut,
> ob man dort eine Regelmäßigkeit oder was anderes
> nützliches sieht.
>
> Was mir soweit aufgefallen ist:
> - die Ergebnisse sind ganzzahlig, weil man beim Bruch
> immer einen der Primfaktoren rauskürzt und somit der Bruch
> per Konstruktion immer ganzzahlig ist.
So trivial es ist, es ist schonmal ein wichtiger Anfang.
> Dann hört es allerdings fast auf. Ich habe überlegt, ob
> es sinnvoll ist, ob man die Anzahl der Primfaktoren für n
> bestimmt und darüber was rausfinden kann. Also ob man eine
> gerade oder ungerade Anzahl an PF hat. Aber das scheint
> bisher nicht zielführend gewesen zu sein. Hat jemand
> eventuell einen Tipp?
Primzahlen haben entweder den Wert 2 oder sie sind ungerade. Weiter ist
[mm]1+ \frac{1}{p}= \frac{p+1}{p}[/mm]
Das bedeutet ganz einfach, dass für alle Primzahlen größer 2 der Zähler des entsprechenden Faktors gerade ist. Das zusammen mit deiner Erkenntnis ergibt dann die Behauptung.
Gruß, Diophant
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Hi,
ich versuche das mal zu papier zu bringen:
Sei n > 2.
n kann in Produkt von PF zerlegt werden:
n = [mm] p_{1}^{\alpha_1} [/mm] * ... * [mm] p_{r}^{\alpha_r}
[/mm]
Nun gilt:
[mm] \psi(n) [/mm] = [mm] \produkt_{p_{i}, 1 \le i \le r}^{} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{p})
[/mm]
Betrachte 1 + [mm] \bruch{1}{p}:
[/mm]
Für p = 2 ist 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Multipliziert man [mm] \bruch{3}{2} [/mm] mit n gilt: [mm] \bruch{(3n)}{2} [/mm] = [mm] 3*n_0 [/mm] mit [mm] n_0 [/mm] = [mm] \bruch{(n)}{2} [/mm] (hier will ich zum Ausdruck bringen, dass ich die 2 aus n rausgekürzt habe...) bzw. der Primfaktor ist aus n verschwunden. Dieser Bruch ist ungerade.
für p > 2 ist 1 + [mm] \bruch{1}{p} [/mm] = [mm] \bruch{1 + p }{p} [/mm] und der Zähler gerade. Multipliziert man das Produkt der Brüche mit n wird jeweils der entschprechende Primfaktor rausgekürzt und es bleibt eine gerade Zahl stehen. Dann haben wir ein Produkt aus geraden Zahlen welches wieder gerade ist.
Insgesamt hat man, falls der Primfaktor 2 in n enthalten ist, ein Produkt aus einer ungeraden Zahl und geraden. Dieses Produkt ist wieder gerade. Es folgt die Behauptung.
Ist das nachvollziehbar / korrekt?
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Hallo,
> ich versuche das mal zu papier zu bringen:
>
> Sei n > 2.
> n kann in Produkt von PF zerlegt werden:
>
> n = [mm]p_{1}^{\alpha_1}[/mm] * ... * [mm]p_{r}^{\alpha_r}[/mm]
>
Ja, aber das muss man wohl in diesem Zusammenhang nicht extra erwähnen, würde ich meinen.
> Nun gilt:
>
> [mm]\psi(n)[/mm] = [mm]\produkt_{p_{i}, 1 \le i \le r}^{}[/mm] (1 +
> [mm]\bruch{1}{p})[/mm]
>
Das stimmt in zweierlei Hinsicht nicht:
- du hast den Faktor n vor dem Produkt vergessen
- du suggerierst hier durch die Schreibweise, dass alle Primzahlen, die kleinergleich dem größten Primteiler von n sind, als entsprechender Faktor im Produkt vorkommen. Das stimmt ja aber eben nicht, sondern es kommen nur die vor, für welche in deiner anfänglichen PFZ von n
[mm]\alpha_i>0[/mm]
ist.
> Betrachte 1 + [mm]\bruch{1}{p}:[/mm]
>
> Für p = 2 ist 1 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> Multipliziert man [mm]\bruch{3}{2}[/mm] mit n gilt: [mm]\bruch{(3n)}{2}[/mm]
> = [mm]3*n_0[/mm] mit [mm]n_0[/mm] = [mm]\bruch{(n)}{2}[/mm] (hier will ich zum
> Ausdruck bringen, dass ich die 2 aus n rausgekürzt
> habe...) bzw. der Primfaktor ist aus n verschwunden. Dieser
> Bruch ist ungerade.
Das ist ein arges Durcheinander. Erstens kannst du ja nicht annehmen, dass n gerade ist, also fällt die 2 i.a. nicht unbedingt durch Kürzen mit dem entsprechenden PF von n heraus, sondern mit einem der Zähler im Produkt. Das ist doch aber alles unnötig, da n>2 betrachtet wird und es hier völlig ausreicht zu erwähnen, dass 3 der einzige ungerade Zähler im Produkt ist (Brüche können nicht gerade oder ungerade sein).
> für p > 2 ist 1 + [mm]\bruch{1}{p}[/mm] = [mm]\bruch{1 + p }{p}[/mm]
Ne, das ist immer so. 
> und der
> Zähler gerade.
Ja, genau, das ist wichtig, wie ich schon geschrieben habe.
> Multipliziert man das Produkt der Brüche
> mit n wird jeweils der entschprechende Primfaktor
> rausgekürzt und es bleibt eine gerade Zahl stehen. Dann
> haben wir ein Produkt aus geraden Zahlen welches wieder
> gerade ist.
Das ist so leidlich richtig, aber sehr unglücklich formuliert. Ich versuche mich mal daran:
Für n>2 treten im Produkt bis auf eine Ausnahme nur Brüche mit geradem Zähler auf. Da sämtliche Nenner per Definition n teilen, kürzen sich alle Nenner heraus und daher ist der Funktionswert ganz. Da das Produkt der Zähler gerade Faktoren enthält, ist der Funktionswert damit insbesondere auch gerade.
> Insgesamt hat man, falls der Primfaktor 2 in n enthalten
> ist, ein Produkt aus einer ungeraden Zahl und geraden.
> Dieses Produkt ist wieder gerade. Es folgt die Behauptung.
Wie gesagt: die Fallunterscheidung, ob n gerade ist oder nicht, ist völlig unnötig.
Gruß, Diophant
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Du hast recht, danke für die Korrekturen. Ist zwar immer nicht so schön zu lesen, aber zeigt mir, dass ich nicht wirklich gut mit den Dingen umgehe. Vielen Dank!
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