matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenAnalysis des R1Dedekindscher Schnitt
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Analysis des R1" - Dedekindscher Schnitt
Dedekindscher Schnitt < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Dedekindscher Schnitt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 Mi 08.07.2009
Autor: notinX

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
a) Zeigen Sie, dass $\alpha:=\left\{r\in\mathbb{Q}|5r+4<2\right\}$ ein Dedekindscher Schnitt ist.
b) Gehört der Dedekindsche Schnitt aus a) zu einer rationalen Zahl in \mathbb{R}
c) Zeigen Sie, dass $\left\{r\in\mathbb{Q}\left|\right.r^2<2\right\}$ kein dedekindscher Schnitt ist.

a) Zunächst muss gezeigt werden, dass \alpha\not=\emptyset und \alpha\not=\mathbb{Q}
Bew: da -5 offensichtlich in \alpha liegt, kann es nicht leer sein, denn -5\in\mathbb{Q} und für r=-5 gilt: 5(-5)+4<2 \Rightarrow -21<2

5 liegt in \mathbb{Q} aber nicht in \alpha, also ist \alpha\not=\mathbb{Q} denn für r=5 gilt: $5\cdot 5+4<2 \Rightarrow 29\not<2$

Jetzt ist zu zeigen, dass aus x \in\alpha und y < x y\in\alpha folgt.
Bew: Sei x\in \alpha und y<x
Für alle x\in\alpha gilt folgende Gleichung:
5x+4<2 \Rightarrow x<-\frac{2}{5} Diese ist offensichtlich für alle y<x erfüllt, somit folgt, dass y\in\alpha

Zuletzt muss gezeigt werden, dass \alpha kein größtes Element hat.
Bew: So jetzt bin ich mit meinem Latein am Ende. Ich weiß, dass "zwischen zwei rationalen Zahlen x und y mit x<y immer (mindestens) eine weitere rationale Zahl z liegt, also x<z<y" Vielleicht kann man das irgendwie verwenden

        
Bezug
Dedekindscher Schnitt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 Mi 08.07.2009
Autor: angela.h.b.


> a) Zeigen Sie, dass
> [mm]\alpha:=\left\{r\in\mathbb{Q}|5r+4<2\right\}[/mm] ein
> Dedekindscher Schnitt ist.

>  a) Zunächst muss gezeigt werden, dass
> [mm]\alpha\not=\emptyset[/mm] und [mm]\alpha\not=\mathbb{Q}[/mm]
>  Bew: da -5 offensichtlich in [mm]\alpha[/mm] liegt, kann es nicht
> leer sein, denn [mm]-5\in\mathbb{Q}[/mm] und für r=-5 gilt:
> 5(-5)+4<2 [mm]\Rightarrow[/mm] -21<2
>

> 5 liegt in [mm]\mathbb{Q}[/mm] aber nicht in [mm]\alpha,[/mm] also ist
> [mm]\alpha\not=\mathbb{Q}[/mm] denn für r=5 gilt: [mm]5\cdot 5+4<2 \Rightarrow 29\not<2[/mm]


Hallo,

ja.

>  
> Jetzt ist zu zeigen, dass aus x [mm]\in\alpha[/mm] und y < x  

mit [mm] y\in \IQ [/mm]

> [mm]y\in\alpha[/mm] folgt.


>  Bew: Sei [mm]x\in \alpha[/mm] und y<x
>  Für alle [mm]x\in\alpha[/mm] gilt folgende Gleichung:
>  5x+4<2 [mm]\Rightarrow x<-\frac{2}{5}[/mm]

>Diese ist offensichtlich

> für alle y<x erfüllt, somit folgt, dass [mm]y\in\alpha[/mm]

Mach die Offensichtlichkeit offensichtlicher:

da [mm] x\in \alpha, [/mm] ist [mm] x<-\bruch{2}{5}. [/mm]

Da y<x gilt [mm] y<-\bruch{2}{5} [/mm]  ==>   5y+4<2  ==> [mm] y\in \alpha. [/mm]

>  
> Zuletzt muss gezeigt werden, dass [mm]\alpha[/mm] kein größtes
> Element hat.
> Bew: So jetzt bin ich mit meinem Latein am Ende. Ich weiß,
> dass "zwischen zwei rationalen Zahlen x und y mit x<y immer
> (mindestens) eine weitere rationale Zahl z liegt, also
> x<z<y" Vielleicht kann man das irgendwie verwenden

Ja.

Nimm an, daß [mm] x_m\in \IQ [/mm] das größte Element in [mm] \alpha [/mm] ist.

Du hast zuvor festgestellt, daß dann [mm] x_m<-\bruch{2}{5}. [/mm]

Du kannst nun z.B. das Element genau in der Mitte zwischen [mm] x_m [/mm] und [mm] -\bruch{2}{5} [/mm] nehmen. (Dieses ist natürlich größer als [mm] x_m). [/mm]  Nun rechnest Du vor, daß dieses Element auch in [mm] \alpha [/mm] liegt. Damit hast Du widerlegt, daß es ein größtes Element gibt.

Gruß v. Angela


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Analysis des R1"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]