Def. einer injektiven Funktion < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mo 01.11.2010 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Definieren Sie eine injektive Funktion von der Menge der unendlichen Teilmengen von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN [/mm] |
Hallo liebe Mathefreunde,
ich versuche mal einen Ansatz zu machen. Also Injektiv, linksdeutigkeit , (z.B. x [mm] \to 2x).\IN [/mm] ist ja unendlich.
So jetzt hört es schon bei mir auf. Wie genau wollen die das definiert haben...
vielen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mo 01.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei ${N}:= [mm] \{A: A ~ist ~Teilmenge ~von ~ \IN, ~A ~ hat~ unendlichviele ~ Elemente ~\}$
[/mm]
Du sollst nun eine injektive Funktion $f: {N} [mm] \to \IN$ [/mm] finden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mo 01.11.2010 | | Autor: | durden88 |
> Sei [mm]{N}:= \{A: A ~ist ~Teilmenge ~von ~ \IN, ~A ~ hat~ unendlichviele ~ Elemente ~\}[/mm]
Also wenn A Teilmenge von [mm] \IN [/mm] ist und und A undendlich viele Elemente hat, muss [mm] \IN [/mm] ja min. 1 mehr haben als das unendliche von [mm] \IN?
[/mm]
> Du sollst nun eine injektive Funktion [mm]f: {N} \to \IN[/mm]
> finden
Wie finde ich sie denn genau? Vielleicht wie bei meinem Beispiel bei der Zielmenge einen beliebigen Faktor dran hängen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Mo 01.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]{N}:= \{A: A ~ist ~Teilmenge ~von ~ \IN, ~A ~ hat~ unendlichviele ~ Elemente ~\}[/mm]
>
> Also wenn A Teilmenge von [mm]\IN[/mm] ist und und A undendlich
> viele Elemente hat, muss [mm]\IN[/mm] ja min. 1 mehr haben als das
> unendliche von [mm]\IN?[/mm]
Was ist los? [mm] \IN [/mm] gehört auch zu N
> > Du sollst nun eine injektive Funktion [mm]f: {N} \to \IN[/mm]
> > finden
> Wie finde ich sie denn genau?
Vielleicht probierst Du ein wenig herum ?
> Vielleicht wie bei meinem
> Beispiel bei der Zielmenge einen beliebigen Faktor dran
> hängen?
.....was immer Du damit meinst ....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mo 01.11.2010 | | Autor: | durden88 |
Hmm, sry ich versteh das nicht so richtig. Wenn ich eine injektive Funktion haben möchte, dann is das doch z.B. x [mm] \to [/mm] 2x oder? Ist dies schon eine Teillösung? Oder was wollen die genau von mir wissen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo durden,
> Hmm, sry ich versteh das nicht so richtig. Wenn ich eine
> injektive Funktion haben möchte, dann is das doch z.B. x
> [mm]\to[/mm] 2x oder?
Das wäre zwar eine injektive Funktion, allerdings eine [mm] $\IN\to\IN$ [/mm] (also eine, die einer natürlichen Zahl eine natürlich Zahl zuordnet).
> Ist dies schon eine Teillösung? Oder was
Nein, denn...
> wollen die genau von mir wissen?
... du sollst eine injektive Funktion [mm] $N\to\IN$ [/mm] finden (siehe Freds Definition von $N$!), also eine Funktion, die einer unendlichen Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] eine natürliche Zahl zuordnet:
[mm] $A\mapsto [/mm] n$, wobei [mm] $A\subset\IN$, $|A|=\infty$ [/mm] und [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Diese Funktion muss also beispielsweise der Menge [mm] $A:=\{n\in\IN\ :\ n\text{ gerade }\}$ [/mm] eine natürliche Zahl zuordnen.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 01.11.2010 | | Autor: | durden88 |
Besten Dank schonmal für eure Hilfe. Aber wenn meine Teilmenge unendlich ist, ist das dann nicht die Funktion [mm] \N \to \N [/mm] . Ich mein, was hat denn dann [mm] \N [/mm] was N nicht hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo durden,
> Besten Dank schonmal für eure Hilfe. Aber wenn meine
> Teilmenge unendlich ist, ist das dann nicht die Funktion [mm]\N \to \N[/mm]
> . Ich mein, was hat denn dann [mm]\N[/mm] was N nicht hat?
Ich nehme an, du meintest es so (bitte Vorschau benutzen beim Artikelschreiben):
> Teilmenge unendlich ist, ist das dann nicht die Funktion [mm]\red{N} \to \red{N}[/mm]
> . Ich mein, was hat denn dann [mm]\red{N}[/mm] was [mm] $\red{\IN}$ [/mm] nicht hat?
Die Aufgabenstellung lautete doch:
| Aufgabe | | Definieren Sie eine injektive Funktion von der Menge der unendlichen Teilmengen von $ [mm] \IN [/mm] $ nach $ [mm] \IN [/mm] $ |
Also [mm] $N\to\IN$ [/mm] und nicht [mm] $N\to [/mm] N$ und auch nicht [mm] $\IN\to\IN$.
[/mm]
$N$ und [mm] $\IN$ [/mm] sind doch zwei ganz unterschiedliche Mengen. $N$ ist eine Menge von Teilmengen von [mm] $\IN$, [/mm] also eine Menge, die Mengen von natürlichen Zahlen als Elemente enthält. Zum Beispiel
[mm] $N=\{\{n\in\IN\ :\ n\text{ gerade}\}, \{n\in\IN\ :\ n\text{ ungerade}\}, \{n\in\IN\ :\ n\text{ durch 3 teilbar}\}, \ldots\}$
[/mm]
[mm] $\IN$ [/mm] ist aber die Menge der natürlichen Zahlen, also
[mm] $\IN=\{1,2,3,4,\ldots\}$
[/mm]
Beachte auch meine Frage nach dem Kontext der Aufgabe in meinem anderen Beitrag.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 01.11.2010 | | Autor: | durden88 |
´´Sei A ⊆ N. Dann ist A genau dann endlich,wenn es keine echte Teilmenge D ⊆ A
gibt mit
• es existiert eine Injektion f : A → D´´
Sei A eine unendliche Menge. Dann existiert eine Injektion f : N → A.
Hab ich es damit geschafft? :)
Zusatz: Also müssen die Elemente von N und [mm] \IN [/mm] mindestens genausogroß sein [mm] \IN \ge [/mm] N ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo durden,
> ´´Sei A ⊆ N. Dann ist A genau dann endlich,wenn es
> keine echte Teilmenge D ⊆ A
> gibt mit
> • es existiert eine Injektion f : A → D´´
Ich nehme an, hier steht $N$ für die natürlichen Zahlen [mm] $\IN$?
[/mm]
Mit diesem Satz kannst du also feststellen, wann eine Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] endlich bzw. unendlich ist.
> Sei A eine unendliche Menge. Dann existiert eine Injektion
> f : N → A.
>
> Hab ich es damit geschafft? :)
Häh? Ich sehe weder Sinn an sich noch einen Zusammenhang mit der Fragestellung. Aber "geschafft" hättest du es doch nur dann, wenn du eine Injektion angibst (oder argumentierst, warum keine existiert).
> Zusatz: Also müssen die Elemente von N und [mm]\IN[/mm] mindestens
> genausogroß sein [mm]\IN \ge[/mm] N ?
Keine Ahnung, was du damit ausdrücken willst. $N$ ist jetzt wieder Freds Definition?
Bevor du weiteres postest, gehe bitte auf meine Kontext-Frage ein, oder stelle konkrete Fragen zu dem, was Frad und ich bereits geschrieben haben. Es scheint, du hättest das noch gar nicht gelesen oder verstanden.
Viele Grüße,
Marc
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> Sei [mm]{N}:= \{A: A ~ist ~Teilmenge ~von ~ \IN, ~A ~ hat~ unendlichviele ~ Elemente ~\}[/mm]
>
> Du sollst nun eine injektive Funktion [mm]f: {N} \to \IN[/mm]
> finden
Sorry Fred,
die Bezeichnung dieser Menge mit dem Buchstaben N
halte ich nicht für eine glückliche Entscheidung - es
gäbe doch noch ein paar Buchstaben, die man weniger
leicht mit [mm] \IN [/mm] verwechselt ....
LG Al 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:39 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]{N}:= \{A: A ~ist ~Teilmenge ~von ~ \IN, ~A ~ hat~ unendlichviele ~ Elemente ~\}[/mm]
>
> >
> > Du sollst nun eine injektive Funktion [mm]f: {N} \to \IN[/mm]
> > finden
>
>
> Sorry Fred,
>
> die Bezeichnung dieser Menge mit dem Buchstaben N
> halte ich nicht für eine glückliche Entscheidung - es
> gäbe doch noch ein paar Buchstaben, die man weniger
> leicht mit [mm]\IN[/mm] verwechselt ....
>
> LG Al
>
>
>
Hallo Al,
ich stimme Dir zu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo durden,
> Definieren Sie eine injektive Funktion von der Menge der
> unendlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN[/mm]
interessant für weitere Hilfestellungen ist auch noch, in welchem Kontext diese Fragestellung aufgetaucht ist, also der Titel der Vorlesung, das aktuelle Thema und ggfs. die komplette Aufgabenstellung. Mit diesem Wissen kann die Suche nach einer solchen Funktion nämlich recht abrupt beendet werden... 
Viele Grüße,
Marc
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> Definieren Sie eine injektive Funktion von der Menge der
> unendlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN[/mm]
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> ich versuche mal einen Ansatz zu machen. Also Injektiv,
> linksdeutigkeit , (z.B. x [mm]\to 2x).\IN[/mm] ist ja unendlich.
du meinst wohl Linkseindeutigkeit
Hallo durden88,
ich vermute, dass du diese Aufgabe im Zusammenhang mit
dem Thema "Mächtigkeit von Mengen" bekommen hast.
K(aum )ein Schwein konstruiert nämlich eine solche Menge
mit einer anderen Absicht.
Ich empfehle dir deshalb, dich mit den Mächtigkeiten der
beteiligten Mengen zu beschäftigen.
LG Al-Chwarizmi
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