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| Aufgabe | A = [mm] \pmat{1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 4}
[/mm]
Zeige, dass die Matrix positiv definit ist. |
Hallo an alle!
ich bin mir da nicht so sicher wie ich die positive Definitheit zeige; deshalb wollte ich fragen, ob man dafür die Matrix in ihre einzelnen Matrizen aufspaltet, also 1 x 1 - Matrix, 2 x 2 - Matrix,..., die detreminanten dieser Matrizen ausrechnet und wenn diese dann alle pos sind ist dann die Matrix pos definit?
Oder rechnet man des vollkommen anders?
lg
chrissi
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Das was du beschreibst heißt Hauptdeterminanten-Kriterium, und ja, damit kannst du Definitheit zeigen, wobei ich das nur bis 3x3 mache. Eine weiter Möglichkeit ist es, die Eigenwerte zu bestimmen. Sind alle Eigenwerte positiv, so ist auch die Matrix positiv definit!
lg Kai
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vielen dank für die antwort; jetzt kann ich die Aufgaben dazulösen
lg
chrissi
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| Aufgabe | | Meine Matrix ist eine n x n - Matrix, wobei auf der diagonalen der Eintrag -2 steht und jeweils links und rechts davon die 1; |
auch hier soll die Definitheit gezegt werden, diesmal aber, dass die Matrix neg definit ist; Hiervon kann ich auch keine Eigenwerte bereschnen, um die neg Definitheit zu zeigen;
Gibt es denn noch eine andere Möglichkeit diese zu berechen?
Danke schonmla für die Antwort
lg
chrissi
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hi
zunächst mal, um hier die negative definitheit der matrix zu zeigen zeigst du die positive definitheit von [mm] $-A_n$, [/mm] also bei allen Einträger der Matrix das Vorzeichen umkehren.
zur methode:
du hast die andere möglichkeit ja bereits selbst in deinem ersten post beschrieben: mit den sogenannten hauptminoren, also erstmal die determinaten der 1x1 matrix, dann der 2x2 usw. sind alle Unterdeterminanten positiv, so ist die Matrix positiv definit.
mach das mal bis n=4 - fällt dir bei den Determinanten etwas auf??
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:26 So 21.06.2009 | | Autor: | muesmues |
also man kanns auch anders machen
negativ definit heißt ja: [mm] \nu [/mm] (v,v) < 0 , für alle 0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in [/mm] V.
So also [mm] \nu [/mm] (1,1) = -2, [mm] \nu(2,2)= [/mm] -2 ... [mm] \nu(n,n)=-2
[/mm]
so fertig
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> also man kanns auch anders machen
>
> negativ definit heißt ja: [mm]\nu[/mm] (v,v) < 0 , für alle 0 [mm]\not=[/mm]
> v [mm]\in[/mm] V.
>
> So also [mm]\nu[/mm] (1,1) = -2, [mm]\nu(2,2)=[/mm] -2 ... [mm]\nu(n,n)=-2[/mm]
>
> so fertig
heißt das, dass ich dann dafür die diagonaleinträge nehme?
und wenn die alle neg sind, ist die Matrix neg. definit?
lg
chrissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Di 23.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> > also man kanns auch anders machen
> >
> > negativ definit heißt ja: [mm]\nu[/mm] (v,v) < 0 , für alle 0 [mm]\not=[/mm]
> > v [mm]\in[/mm] V.
> >
> > So also [mm]\nu[/mm] (1,1) = -2, [mm]\nu(2,2)=[/mm] -2 ... [mm]\nu(n,n)=-2[/mm]
> >
> > so fertig
>
> heißt das, dass ich dann dafür die diagonaleinträge nehme?
> und wenn die alle neg sind, ist die Matrix neg. definit?
Nein. Was muesmues geschrieben hat war nicht korrekt
FRED
>
> lg
>
> chrissi
>
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gut ich weiß jetz dass die det [mm] (-A_{n}) [/mm] = n+1 ist aber wie genau zeige ich das?
ich hab mit einer Induktion angefangen, also:
I.A.: n = 1
det [mm] (-A_{1}) [/mm] = 2 => pos => korrekt
I.V. det [mm] (-A_{n}) [/mm] > 0
I.S. n -> n+1
det [mm] (-A_{n+1})= [/mm] det [mm] (-A_{n}) [/mm] + det [mm] (-A_{1})
[/mm]
wg I.A. ist det [mm] (-A_{1})>0
[/mm]
wg I.V. ist det [mm] (-A_{n})>0
[/mm]
=> det [mm] (-A_{n+1})>0
[/mm]
=> [mm] (-A_{n}) [/mm] = pos. definit
=> [mm] -(-A_{n}) [/mm] = [mm] A_{n} [/mm] = neg. definit
ist das richtig oder rechnet man des anders?
lg
chrissi
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> gut ich weiß jetz dass die det [mm](-A_{n})[/mm] = n+1 ist aber wie
> genau zeige ich das?
> ich hab mit einer Induktion angefangen,
Hallo,
ja, ich würde das auch mit Induktion machen.
Aber vermisch in Deiner Induktion nicht die Aussage, daß [mm] det(-A_n)=n+1 [/mm] ist, mit der Aussage, daß [mm] -A_n [/mm] positiv definit ist. Das zeige lieber Hinterher.
also:
Behauptung: es ist [mm] (-A_{n})[/mm] [/mm] = n+1 für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
>
> I.A.: n = 1
> det [mm](-A_{1})[/mm] = 2
> I.V. det [mm](-A_{n})[/mm] [mm] \red{=n+1}
[/mm]
> I.S. n -> n+1
> det [mm](-A_{n+1})=[/mm] det [mm](-A_{n})[/mm] + det [mm](-A_{1})[/mm]
Wie kommst Du denn dazu?
Hast Du Dir schonmal angeguckt, wie Du beispielsweise [mm] det(-A_5) [/mm] mithilfe kleinerer [mm] A_i [/mm] schreiben kannst?
Sowas ist immer recht lehrreich, und solch trüben Lichtern wie mir fällt es auch einfacher, erstmal das zu machen, als mit nxn-Matrizen herumzuwurschteln.
Na gut, stellen wir uns jetzt mal vor, daß Du die Induktion zu einem guten Ende geführt und somit die Behauptung bewiesen hast.
Jetzt mußt Du irgendwie zeigen, daß jede Matrix [mm] -A_n [/mm] positiv definit ist.
Schau Dir dazu die Hauptminoren an, und überlege, was Du über sie weißt.
Gruß v. Angela
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also meine antwort stimmt schon. nur ist es ein notwendiges aber kein hinreichendes kriterium. zumindest behauptet des unser prof..
und da wir den gleichen haben, sollten wir ihm wohl zu steimmen können.
grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:12 Mi 24.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> also meine antwort stimmt schon.
Nein
FRED
> nur ist es ein notwendiges
> aber kein hinreichendes kriterium. zumindest behauptet des
> unser prof..
>
> und da wir den gleichen haben, sollten wir ihm wohl zu
> steimmen können.
.............. merkwürdig ! Das heißt also: wenn ein Professor mindestens 2 Studenten hat (was meist der Fall ist), so muß man ihm zustimmen ?
>
> grüße
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:36 Di 23.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> also man kanns auch anders machen
>
> negativ definit heißt ja: [mm]\nu[/mm] (v,v) < 0 , für alle 0 [mm]\not=[/mm]
> v [mm]\in[/mm] V.
>
> So also [mm]\nu[/mm] (1,1) = -2, [mm]\nu(2,2)=[/mm] -2 ... [mm]\nu(n,n)=-2[/mm]
>
Das ist doch Unsinn !
Das
[mm]\nu[/mm] (v,v)
ist doch die quadratische Form, also ist v ein Vektor
FRED
> so fertig
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Hallo,
auch wenn diese Frage schon längst beantwortet ist, gibt es noch einen schönen Weg die Definitheit zu zeigen, und zwar über die Eigenwerte.
Das geht nicht immer, aber hier schon:
Da auf der Diagonalen nur $-2$-en stehen, und die anderen Einträge der Matrix nur $1$-en sind, ergibt sich der Eigenwert $-3$ mit algebraischer Vielfachheit = geometrischer Vielfachheit n-1 (am bessten das mal klar machen, an Dimension des Eigenraumes z.B.).
Die Matrix ist außerdem symmetrisch. Würdest du die Matrix diagonalisieren (Hauptachsentransforation) stehen auf der Diagonalen die Eigenwerte.
Die Diagonalmatrix und die gegebene Matrix sind ähnlich (weil ja die Matrix aus Eigenvektoren die Transformationsmatrix ergibt).
Ähnliche Matrizen haben gleiche Eigenwerte (hilft nicht^^) und die GLEICHE SPUREN (Summe der Hautdiagonalen).
Jetzt dürftest du schnell auf den letzten Eigenwert kommen.
lg Kai
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