Definitheit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Do 23.09.2010 | | Autor: | chryso |
| Aufgabe | Die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm] ist:
a) positiv definit
b) negativ definit
c) indefinit
d) psd aber nicht pd
e) nsg aber nicht nd |
Hallo,
habe es zuerst über die führenden Hauptminoren versucht. Alle drei sind nach meinen Berechnungen gleich 0.
Nach Hurwitz ergibt sich für mich dass die Matrix psd ist, da alle führenden Hauptminoren grösser bzw gleich! Null sind.
Da als Musterlösung indefinit angegeben wird habe ich es noch über die Eigenwerte probiert, die ergeben bei mir aber auch 0.
Was mache ich falsch?
Vielen Dank
chryso
ps Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Matrix [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }[/mm]
> ist:
>
> a) positiv definit
> b) negativ definit
> c) indefinit
> d) psd aber nicht pd
> e) nsg aber nicht nd
> Hallo,
>
> habe es zuerst über die führenden Hauptminoren versucht.
> Alle drei sind nach meinen Berechnungen gleich 0.
> Nach Hurwitz ergibt sich für mich dass die Matrix psd
> ist, da alle führenden Hauptminoren grösser bzw gleich!
> Null sind.
>
> Da als Musterlösung indefinit angegeben wird habe ich es
> noch über die Eigenwerte probiert, die ergeben bei mir
> aber auch 0.
>
> Was mache ich falsch?
Du Witzbold ! Oder bist Du ein Scherzkeks ? Woher sollen wir denn wissen, was Du falsch machst, wenn Du uns gar nicht vorführst, was Du machst ?
Kurzum: die Matrix ist tatsächlich indefinit. Bei der Berechnung der Eigenwerte hast Du Dich verhauen, warum und wo und wieso weißt aber bislang nur Du
FRED
>
> Vielen Dank
> chryso
>
> ps Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 23.09.2010 | | Autor: | chryso |
Ne, bin nen Witzbold! :)
Aber warum die Eigenwerte falsch sind weiss ich immer noch nicht!
Stimmt denn die Aussage bzgl der Minoren? Und wenn ja wozu brauche ich dann noch die Eigenwerte?
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Hallo chryso,
> Ne, bin nen Witzbold! :)
>
> Aber warum die Eigenwerte falsch sind weiss ich immer noch
> nicht!
Rechne doch vor, dann können wir kontrollieren.
Ich bekomme drei verschiedene Eigenwerte mit unterschiedlichen Vorzeichen.
>
> Stimmt denn die Aussage bzgl der Minoren?
Nein, außerdem kann man (soweit ich mich erinnere, da müstest du mal ins Skript gucken) mit dem Hauptminorenkriterium nur auf positive oder negative Definitheit testen, nicht auf Semi- oder Indefinitheit
> Und wenn ja wozu
> brauche ich dann noch die Eigenwerte?
Rechne die aus, ich hoffe, du weißt, wie das geht.
Aber da du 3mal 0 rausbekommst, ist das fraglich.
Auch hier hilft ein Blick ins Skript, Vorlesungsmitshrift, wikipedia ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Do 23.09.2010 | | Autor: | chryso |
wegen den Eigenwerten hänge ich mal noch den Weg zum erwähnten Polynom an:
[mm] \vmat{ -\lambda & 0 & 1 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda }
[/mm]
Ergibt sich nach der Regel von Sarrus (keine Ahnung wie ich die hier reinstellen soll ;)):
[mm] c(\lambda)= (-\lambda)^3 [/mm] + 2 [mm] \lambda=0 [/mm] , wenn [mm] \lambda [/mm] = 0 ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> wegen den Eigenwerten hänge ich mal noch den Weg zum
> erwähnten Polynom an:
>
> [mm]\vmat{ -\lambda & 0 & 1 \\ 0 & -\lambda & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda }[/mm]
>
> Ergibt sich nach der Regel von Sarrus (keine Ahnung wie ich
> die hier reinstellen soll ;)):
>
> [mm]c(\lambda)= (-\lambda)^3[/mm] + 2 [mm]\lambda=0[/mm]
Na also !
[mm] $c(\lambda)= -\lambda^3+2\lambda= [/mm] - [mm] \lambda(\lambda^2-2)= [/mm] 0$ [mm] \gdw [/mm] ( [mm] \lambda=0 [/mm] oder [mm] \lambda= \wurzel{2} [/mm] oder [mm] \lambda= -\wurzel{2})
[/mm]
FRED
> , wenn [mm]\lambda[/mm] = 0
> ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Do 23.09.2010 | | Autor: | chryso |
Vielen Dank Fred!
Hab mir schon gedacht das ich wieder Tomaten auf den Augen habe.
Danke auch für den Tip mit der quad. Form.
Nur die Sache mit den Minoren habe ich bei dieser Matrix noch nicht verstanden.
m1=0 da ich die beiden Spalten rechts aussen streiche und auch die unteren beiden Zeilen.
m2=0 da ich die Spalte rechts aussen streiche, sowie die unterste Zeile. Dann bleibt eine 2x2 Matrix die nur aus 0 Einträgen besteht. Demnach müsste doch auch ihre Determinante 0 sein.
m3=det der Ausgangsmatrix= 0 nach Sarrus
Mit exakt der gleichen Methode habe ich bisher für alle Übungsaufgaben die Musterlösung erhalten... Und mit dem Hurwitzkriterium käme man dann auf positiv SEMI definit.
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[mm] \vmat{ 0}=0 [/mm]
[mm] \vmat{ 0 & 0 \\
0 & 0 \\
}=0 [/mm]
[mm] \vmat{ 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 }=0 [/mm]
> Hurwitzkriterium käme man dann auf positiv SEMI definit.
Warum?
Ich kenne nur, dass alle Minoren > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] positiv definit
und (-A) positiv definit [mm]\Rightarrow[/mm] A negativ definit
"WIKIPEDIA sprach: 'Für Semidefinitheit gibt es kein Hauptminorenkriterium.'"
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Dass man aber auch alles 100mal schreiben muss.
Oben hatte ich geschrieben, dass man mit dem Hauptminorenkriterium nur Definitheit erkennen kann (sofern meine Erinnerung mich nicht trügte) und dir geraten, das mal nachzuschauen.
Hast du offensichtlich nicht gemacht.
Was soll man zu einer solchen Einstellung und Erwartungshaltung an den MR sagen?
Sollen wir deine VL ersetzen??
Mensch Meier!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Do 23.09.2010 | | Autor: | chryso |
DU brauchst hier garnichts weiter zu schreiben da ich schon deinen ersten unverschämten Beitrag nicht weiter beachtet habe!
Für alle anderen zitiere ich hier aus dem VL-Skript:
Semi-Hurwitz für pxp Matrizen:
Die pxp Matrix A ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle k-ten Hauptminoren von A größer oder gleich null sind, k=1...p
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Do 23.09.2010 | | Autor: | wieschoo |
> DU brauchst hier garnichts weiter zu schreiben da ich schon deinen ersten unverschämten Beitrag nicht weiter beachtet habe!
Gehe in dich und reflektieren deinen eigenen Beitrag.
> Semi-Hurwitz für pxp Matrizen:
> Die pxp Matrix A ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle k-ten Hauptminoren von A größer oder gleich null sind, k=1...p
Dann würde ich sagen, dass du uns noch einen weiteren Satz aus deinem Script verheimlichst. Oder es einfach nur schlichtweg falsch! Ein Gegenbeispiel war ja nun in deinem ersten Beitrag gegeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Do 23.09.2010 | | Autor: | chryso |
Naja ehrlich gesagt geht es mir ziemlich weit am A... vorbei ob das jetzt stimmt oder nicht; bin ja keiner der sich für solche Zusammenhänge interessiert. Dachte halt es wäre für euch interessant und nicht reizend...
Fakt ist es steht dort und sogar nochmal speziell für 2x2 Matrizen.
Viel bedenklicher finde ich allerdings das hier Ausbrüche wie die von schachuzipus akzeptiert werden, obwohl ich mich an die Regeln gehalten habe.
Naja was halt nicht bei Wikipedia steht das gibts dann halt auch einfach mal nicht mehr!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:16 Fr 24.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Man muß unterscheiden zwischen Hauptminoren und führenden Hauptminoren.
Schaut mal da
On Sylvester's Criterion for Positive-Semidefinite Matrices, Transaction on automatic control, Juni 1973, englisch
rein. Dann klärt sich alles
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Gerade bei sehr einfachen Matrizen kann es vorteilhaft sein , die zur Matrix geh. quadratische Form einfach mal auszurechnen:
die zu $A:= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm] $ geh. quadr. Form lautet:
[mm] $Q_A(x,y,z)= [/mm] 2(x+y)z$
Es ist [mm] $Q_A(1,1,1)= [/mm] 4$ und [mm] $Q_A(-1,-1,-1)= [/mm] -4$
Bingo ! A ist indefinit.
Edit: Mist , oben hab ich mich verschrieben: Korrektur: [mm] $Q_A(-1,-1,1)= [/mm] -4$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Mo 27.09.2010 | | Autor: | chryso |
Leute, gerade bricht mir das letzte bischen Sicherheit weg, aber
2*(x+y)*z ergibt für (x,y,z)=(-1,-1,-1) 4 und nicht -4
Bitte macht mich nicht ganz fertig so kurz vor der Prüfung!
Eure dydaktischen Bestrebungen in allen Ehren aber das müsst ihr mir jetzt bitte explizit erklären!
Vorschlag zur Güte: Es ist wirklich völlig egal welche Punkte man zum testen wählt, denn mit (-1,-1,1) klappt es ja!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, war nur ein Rechenfehler. Mit (-1, -1, 1) geht das aber. Schreibst du die Prüfung heute? Dann viel Erfolg!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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