Definitheit des Betrages < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Fr 10.10.2008 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Für z [mm] \in \IC [/mm] gilt:
|z| [mm] \ge [/mm] 0 und |z| = 0 [mm] \gdw [/mm] z = 0 |
Hallo zusammen,
ich soll demnächst einen Vortrag über die komplexen Zahlen halten und beschäftige mich in dem Zusammenhang auch mit den Gesetzmäßigkeiten des Betrages.
Dabei stoße ich natürlich immer auf die Definitheit:
|z| [mm] \ge [/mm] 0 und |z| = 0 [mm] \gdw [/mm] z = 0,
die in jedem Buch als trivial nachweisbar (und somit nicht erwähnenswert) dargestellt wird.
Der zweite Teil der Behauptung |z| = 0 [mm] \gdw [/mm] z = 0 leuchtet mir ja noch ein, aber bei dem ersten Teil hakt es bei mir völlig.
Wenn ich beispielsweise z = 6 + 8i habe, dann ist doch der Betrag
|z| = [mm] \wurzel{36 + 64} [/mm] = 10
womit gilt |z| = 10 [mm] \ge [/mm] 0 , aber z = 6 + 8i [mm] \not= [/mm] 0.
Das ist doch irgendwie ein Widerspruch....
Wann ist denn z überhaupt gleich Null? Wenn Re z und Im z gleich 0 sind?
Würde mich freuen,wenn mir jemand auf die Sprünge hilft und danke schon mal vorab.
Ach ja: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Fr 10.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie: Für z [mm]\in \IC[/mm] gilt:
> |z| [mm]\ge[/mm] 0 und |z| = 0 [mm]\gdw[/mm] z = 0
> Hallo zusammen,
>
> ich soll demnächst einen Vortrag über die komplexen Zahlen
> halten und beschäftige mich in dem Zusammenhang auch mit
> den Gesetzmäßigkeiten des Betrages.
>
> Dabei stoße ich natürlich immer auf die Definitheit:
> |z| [mm]\ge[/mm] 0 und |z| = 0 [mm]\gdw[/mm] z = 0,
> die in jedem Buch als trivial nachweisbar (und somit nicht
> erwähnenswert) dargestellt wird.
>
> Der zweite Teil der Behauptung |z| = 0 [mm]\gdw[/mm] z = 0 leuchtet
> mir ja noch ein, aber bei dem ersten Teil hakt es bei mir
> völlig.
>
>
> Wenn ich beispielsweise z = 6 + 8i habe, dann ist doch der
> Betrag
>
> |z| = [mm]\wurzel{36 + 64}[/mm] = 10
>
> womit gilt |z| = 10 [mm]\ge[/mm] 0 , aber z = 6 + 8i [mm]\not=[/mm] 0.
>
> Das ist doch irgendwie ein Widerspruch....
Wieso ? Ist die Aussage 10 [mm] \ge [/mm] 0 denn falsch ?
Störst Du Dich an dem [mm] "\ge" [/mm] ? [mm] \ge [/mm] bedeutet "größer oder gleich". Natürlich ist 10>0, die Aussage 10 [mm] \ge [/mm] 0 ist dennoch richtig, sie enthält lediglich weniger Information als 10>0
> Wann ist denn z überhaupt gleich Null? Wenn Re z und Im z
> gleich 0 sind?
So ist es
>
> Würde mich freuen,wenn mir jemand auf die Sprünge hilft und
> danke schon mal vorab.
>
> Ach ja: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
>
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Fr 10.10.2008 | | Autor: | PixCell |
... och nö!!!
Ja vielen Dank an dich.
Irgendwie hatte ich da ein ziemliches Brett vor dem Kopf...
Schäm!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Fr 10.10.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo PixCell,
> Beweisen Sie: Für z [mm]\in \IC[/mm] gilt:
> |z| [mm]\ge[/mm] 0 und |z| = 0 [mm]\gdw[/mm] z = 0
> Wenn ich beispielsweise z = 6 + 8i habe, dann ist doch der
> Betrag
>
> |z| = [mm]\wurzel{36 + 64}[/mm] = 10
>
> womit gilt |z| = 10 [mm]\ge[/mm] 0 , aber z = 6 + 8i [mm]\not=[/mm] 0.
>
> Das ist doch irgendwie ein Widerspruch....
Ich glaube, du hast die Aussage missverstanden. Es sind zwei Aussagen zu zeigen:
1) [mm] $|z|\ge [/mm] 0$
2) $|z|=0\ [mm] \gdw\ [/mm] z=0$
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Fr 10.10.2008 | | Autor: | PixCell |
Hi Marc,
auch an Dich ein Dankeschön.
Ja, ich hatte die Aussage wohl tatsächlich falsch verstanden und
dachte das und verbindet |z| 0 und |z| = 0.
So ist es natürlich wirklich trivial.
Freds Antwort hat mich aber auch schon etwas aufgeklärt.
|
|
|
|
