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Es geht um die Definitheit von quadratischen Matritzen. Ich wollte kurz nachfragen ob das so richtig ist, weil google mir leider teilweise ein paar komische Ergebnisse liefert und ich in der Klausur das ganze mit gutem Gewissen anwenden möchte :)
1. Wenn alle Hauptminore >0 sind, ist die Matrix positiv definit
2. Wenn der erste Hauptminor negativ und sich das Vorzeichen aller weiteren Minore immer abwechelt, ist die Matrix negativ definit
Also: 1. Minor < 0
2. Minor >0
3. Minor <0
usw.
(positiv semidefinit, wenn 1. gilt mit >= 0; negativ semidefinit wenn 2. mit >=0 bzw. <=0 gilt)
Jetzt gibt es bei 2x2 Matritzen eine Ausnahme, und zwar, dass wenn der
1. Minor >0 und der 2. Minor = 0 ist, die Matrix positiv semidefinit ist; negativ semidefinit, wenn der 1. Minor <0 und der 2. Minor = 0
Jetzt versteh ich leider den Sonderfall nicht wirklich, die allgemeine Aussage die oben getroffen wurde spiegelt sich hier doch einfach wieder (außer, dass der 1. Minor hier jeweils >0 (und nicht >=0) bzw. <0 (und nicht <=0) ist)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo blubmub,
> Es geht um die Definitheit von quadratischen Matritzen. Ich
> wollte kurz nachfragen ob das so richtig ist, weil google
> mir leider teilweise ein paar komische Ergebnisse liefert
> und ich in der Klausur das ganze mit gutem Gewissen
> anwenden möchte :)
>
> 1. Wenn alle Hauptminore >0 sind, ist die Matrix positiv
> definit
Stimmt.
> 2. Wenn der erste Hauptminor negativ und sich das
> Vorzeichen aller weiteren Minore immer abwechelt, ist die
> Matrix negativ definit
> Also: 1. Minor < 0
> 2. Minor >0
> 3. Minor <0
> usw.
Stimmt.
>
> (positiv semidefinit, wenn 1. gilt mit >= 0; negativ
> semidefinit wenn 2. mit >=0 bzw. <=0 gilt)
Das hast du aber seltsam aufgeschrieben und es kommt nicht wirklich herüber, was du nun meinst.
>
> Jetzt gibt es bei 2x2 Matritzen eine Ausnahme, und zwar,
> dass wenn der
> 1. Minor >0 und der 2. Minor = 0 ist, die Matrix positiv
> semidefinit ist; negativ semidefinit, wenn der 1. Minor <0
> und der 2. Minor = 0
>
> Jetzt versteh ich leider den Sonderfall nicht wirklich, die
> allgemeine Aussage die oben getroffen wurde spiegelt sich
> hier doch einfach wieder (außer, dass der 1. Minor hier
> jeweils >0 (und nicht >=0) bzw. <0 (und nicht <=0) ist)
Für die Semidefinitheit gibt es kein klares Minorenkriterium. Hier würde ich dir empfehlen einfach schnell das charakteristische Polynom zu berechnen, um so die Eigenwerte zu erhalten. Dieses Kriterium finde ich am schlüssigsten und am besten zur Anwendung.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke für die schnelle Antwort!
Also mit
> > (positiv semidefinit, wenn 1. gilt mit >= 0; negativ
> > semidefinit wenn 2. mit >=0 bzw. <=0 gilt)
meine ich:
Wenn alle Minoren >=0 sind, dann ist die Matrix positiv semidefinit.
Wenn der 1. Minor <=0 und sich bei allen weiteren Minoren >=0 und <=0 abwechselt, dann ist die Matrix negativ semidefinit.
Also:
1. Minor <=0
2. Minor >=0
3. Minor <=0
usw.
Mir geht es aber gar nicht um die Semidefinitheit, sondern darum, dass bei 2x2 Matritzen die angesprochenen Regeln anscheinend nicht gelten sollen bzw. bei 2x2 Matritzen ein "Sonderfall" eintritt, jedoch leuchtet der mir nicht ganz ein, denn der "Sonderfall" soll sein: wenn bei einer 2x2 Matrix der 1. Minor >0 und der 2. Minor = 0 ist, dann soll die Matrix positiv semidefinit sein.
Aber das ist doch kein Sonderfall, das geht doch aus den anderen Regeln hervor oder überseh ich da etwas? bzw. hab ich die Sonderregelung richtig verstanden? Ich frag nur deshalb, weil wir auf diesen Sonderfall explizit hingewiesen wurden. Oder kann man in einer 2x2 Matrix die anderen Regeln zur Bestimmung der positiven/negativen Definitheit nicht anwenden und ausschließlich auf Semidefinitheit prüfen?
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Guten Abend blubmub,
betrachten wir das Beispiel:
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Bezeichne [mm] A_i [/mm] die Minoren.
Dann ist [mm] A_1=1>0 [/mm] und [mm] A_2=0. [/mm] Nach deinen Kriteren wäre also die Matrix A positiv semidefinit.
Nun ist aber die Matrix A positiv/negativ definit, wenn ihre symmetrischer Anteil, als [mm] A_{sym}=1/2*(A+A^T) [/mm] positiv/negativ definit ist.
Es ist [mm] A_{sym}=\pmat{ 1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 }
[/mm]
[mm] A_{sym} [/mm] ist aber indefinit und damit ist es auch A, was der Annahme, dass A sei positiv semidefinit irgendwie widerspricht.
Irgendetwas scheint faul an deinem Kriterium zu sein.
Bei symmetrischen Matrizen scheint es aber i.A. zu klappen. Aber ich bin kein Freund von Sonderfällen, und gerade bei 2x2-Matrizen ist das alles recht überschaubar. Ob man nun etwas als Sonderfall deklariert oder nicht, sei jedem selbst überlassen.
Es wird eben davon gesprochen, dass die 2. Minore exakt =0 ist. Dies ist natürlich eine Einschränkung. Aber natürlich - im grunde ist dies schon in der allgemeinen Definition enthalten.
Meiner Meinung nach: Viel Luft um nix....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es geht um die Definitheit von quadratischen Matritzen. Ich
> wollte kurz nachfragen ob das so richtig ist, weil google
> mir leider teilweise ein paar komische Ergebnisse liefert
> und ich in der Klausur das ganze mit gutem Gewissen
> anwenden möchte :)
>
> 1. Wenn alle Hauptminore >0 sind, ist die Matrix positiv
> definit
> 2. Wenn der erste Hauptminor negativ und sich das
> Vorzeichen aller weiteren Minore immer abwechelt, ist die
> Matrix negativ definit
> Also: 1. Minor < 0
> 2. Minor >0
> 3. Minor <0
> usw.
>
> (positiv semidefinit, wenn 1. gilt mit >= 0; negativ
> semidefinit wenn 2. mit >=0 bzw. <=0 gilt)
>
> Jetzt gibt es bei 2x2 Matritzen eine Ausnahme, und zwar,
> dass wenn der
> 1. Minor >0 und der 2. Minor = 0 ist, die Matrix positiv
> semidefinit ist; negativ semidefinit, wenn der 1. Minor <0
> und der 2. Minor = 0
>
> Jetzt versteh ich leider den Sonderfall nicht wirklich, die
> allgemeine Aussage die oben getroffen wurde spiegelt sich
> hier doch einfach wieder (außer, dass der 1. Minor hier
> jeweils >0 (und nicht >=0) bzw. <0 (und nicht <=0) ist)
Das ist aber gerade das Entscheidende !
Sei [mm] A=\pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] (symmetrisch, reell)
A heißt positiv definit, wenn [mm] $x^T*Ax [/mm] > 0$ ist für all x [mm] \in \IR^2 [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] 0
A heißt positiv semidefinit, wenn [mm] $x^T*Ax \ge [/mm] 0$ ist für all x [mm] \in \IR^2 [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] 0.
Ist nun det(A)=0,so ist 0 ein Eigenwert von A, es gibt also ein x [mm] \in \IR [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] 0 und Ax=0. Dann ist [mm] $x^T*Ax [/mm] = 0$
Damit kann A nicht positiv definit sein.
Ist auch noch a>0, so ist A "nur" positiv semidefinit.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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