matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-SonstigesDefinition Differenzierbarkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Definition Differenzierbarkeit
Definition Differenzierbarkeit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Definition Differenzierbarkeit: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 Do 18.08.2016
Autor: Schobbi

Hallo zusammen, ich soll zeigen, dass eine Funktion f: [mm] \IR^2\to\IR [/mm] differenzierbar im Punkt [mm] (x_0,y_0)=(0,0) [/mm] ist.

Dazu habe ich gezeigt, dass gilt:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-<\nabla f(0,0),(x,y)>}{||(x,y)||}=0 [/mm]
Das passt auch alles so weit, doch jetzt möchte ich ebenfalls die Differenzierbarkeit in dem Punkt (1,2) zeigen.
Somit habe ich die obige Definition versucht auf den Punkt (1,2) anzuwenden? D.h es ist zu zeigen:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(1,2)}\bruch{f(x,y)-f(1,2)-<\nabla f(1,2),(x,y)>}{||(x,y)-(1,2)||}=0 [/mm]

Ist das richtig?

Oder muss ich den Punkt (1,2) auch weiter mit ins Skalarprodukt reinnehmen, denn ich habe auch folgende Art der Definition gefunden und bin mir nicht sicher welche die richtige bzw. die sinnvollere ist

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-[\bruch{\partial f}{\partial x}(1,2)](x-1)-[\bruch{\partial f}{\partial y}(1,2)](y-2)}{||(x,y)||}=0 [/mm]

Grüße Schobbi

        
Bezug
Definition Differenzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Do 18.08.2016
Autor: fred97


> Hallo zusammen, ich soll zeigen, dass eine Funktion f:
> [mm]\IR^2\to\IR[/mm] differenzierbar im Punkt [mm](x_0,y_0)=(0,0)[/mm] ist.
>  
> Dazu habe ich gezeigt, dass gilt:
>  [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-<\nabla f(0,0),(x,y)>}{||(x,y)||}=0[/mm]
>  
> Das passt auch alles so weit,

Ja, dass passt !


> doch jetzt möchte ich
> ebenfalls die Differenzierbarkeit in dem Punkt (1,2)
> zeigen.
>  Somit habe ich die obige Definition versucht auf den Punkt
> (1,2) anzuwenden? D.h es ist zu zeigen:
>  [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(1,2)}\bruch{f(x,y)-f(1,2)-<\nabla f(1,2),(x,y)>}{||(x,y)-(1,2)||}=0[/mm]
>  
> Ist das richtig?

Nein, das ist falsch !


>  
> Oder muss ich den Punkt (1,2) auch weiter mit ins
> Skalarprodukt reinnehmen,


Na klar, was denn sonst ?

> denn ich habe auch folgende Art
> der Definition gefunden und bin mir nicht sicher welche die
> richtige bzw. die sinnvollere ist
>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-[\bruch{\partial f}{\partial x}(1,2)](x-1)-[\bruch{\partial f}{\partial y}(1,2)](y-2)}{||(x,y)||}=0[/mm]

Das ist auch nicht das Richtige !  Richtig ist:

[mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-[\bruch{\partial f}{\partial x}(1,2)](x-1)-[\bruch{\partial f}{\partial y}(1,2)](y-2)}{||(x,y)-(1,2)||}=0[/mm]


Man kann sich das ja leicht überlegen bei Funktionen von nur einer Variablen.

Sei I ein Intervall in [mm] \IR, [/mm] f :I [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und [mm] x_0 \in [/mm] I.

f ist in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar [mm] \gdw [/mm] es ex.a [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] \limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=a [/mm] (in diesem Fall ist [mm] a=f'(x_0)) [/mm]

Das ist äquivalent zu

   es ex.a [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] \limes_{x \rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)-a(x-x_0)}{x-x_0}=0 [/mm]

Siehst Du die Differenz [mm] x-x_0 [/mm] im Zähler und im Nenner ?

FRED

>  
> Grüße Schobbi


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]