Definition Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
im Grunde habe ich das schon vom Prinzip her (so hoffe ich) verstanden. Aber irgendwie hapert es ein wenig an der einen Definition (wie ich mir diese 'geometrisch' / im Gesamten vorstellen könnte usw):
Ist a [mm] \in [/mm] D, so heißt f differenzierbar in a, wenn a Häufungspunkt von D ist und wenn es ein b [mm] \in \IR [/mm] gibt, sodass die "Restfunktion" r:D -> [mm] \IR [/mm] , die durch
f(x) = f(a) + b(x-a) + r(x) (x [mm] \in [/mm] D)
definiert ist, die Eigenschaft
[mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{r(x)}{x-a} [/mm] = 0
besitzt.
Wobei die eindeutig bestimmte Zahl b die Ableitung von f an der Stelle a ist.
Kann mir vielleicht noch mal jemand "mit anderen Worten" diese Definition erklären?
Vielen Dank,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Mo 16.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Die Idee der Diffbarkeit ist eigentilch eine komplizierte Funktion durch eine einfache Funktion zu approximieren. Unter komplizierte Funktion kann man sich z.B. die Gamma-Funktion vorstellen. Die einfachste Funktion, die nicht-trivial und irgendwie info-reich ist, ist natürlich eine lineare Funktion.
Die Differentiation macht genau das - approximiert eine Funktion f, in einer genug kleinen Umgebung von einem Punkt [mm] x_{0} [/mm] durch eine lineare Abbildung.
> Ist a [mm]\in[/mm] D, so heißt f differenzierbar in a, wenn a
> Häufungspunkt von D ist
Das fordert man, damit die r-Funktion unten überhaupt definierbar ist.
> und wenn es ein b [mm]\in \IR[/mm] gibt,
> sodass die "Restfunktion" r:D -> [mm]\IR[/mm] , die durch
> f(x) = f(a) + b(x-a) + r(x) (x [mm]\in[/mm] D)
f(a), b und a sind alles Konstanten. Daher ist f(a)+b(x-a) linear. Wenn x nah bei a liegt, dann ist f(x)=f(a)+b(x-a), r(x) ist praktisch vernachlässigbar. Warum? Wegen:
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{r(x)}{x-a}[/mm] = 0
Das heißt - r(x) geht für x gegen a so schnell gegen Null, dass sogar [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{r(x)}{x-a}=0, [/mm] d.h. r(x) verschwindet noch wesentlich schneller als x gegen a konvergiert. Und das für jede Folge [mm] x_{n} [/mm] mit [mm] x_{n}\not=a \forall n\in\IN.
[/mm]
Gruß,
dormant
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Hi dormant,
vielen Dank für Deine Antwort. Hm, ja, so ähnlich habe ich das ja auch im Kopf. Aber irgendwie ist mein "inneres Bild in meinem Kopf" von dieser Definition noch nicht ganz klar.
Irgendwie irritiert mich diese "Restfunktion", dieses r(x).
Geometrisch/bildlich betrachtet ist dieses r(x) was?
Danke für Deine/Eure Hilfe/Tipps.
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mo 16.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Dieses r(x) ist der Fehler der Approximation (jede hat einen gewissen Fehler). Im eindimensionalen Fall kann man sich das so vorstellen:
Die Ableitung ist die Tangente - eine Gerade also, oder auch eine lineare Abbildung in x. Wenn man in [mm] x_{0} [/mm] die Ableitung bildet ist der Wert dieser linearen Abbildung (also der Wert der Funktion t(x), die die Gerade der Tangente beschreibt) ist [mm] f(x_{0})=t(x_{0}) [/mm] - in diesem Punkt [mm] x_{0} [/mm] schmiegt sich die Tangente an dem Funktionsgraphen an. Jetzt ist klar, dass wenn man sich auf der Tangente bewegt, dann wächst i.A. |f(x)-t(x)| und ist gleich Null nur bei [mm] x=x_{0}. [/mm] Dieses r kann man also gewisser Weise als den Abstand zwischen f(x) und t(x) in dem Punkt x (nicht ganz, aber ungefähr so).
Gruß,
dormant
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Hallo dormant,
vielen Dank für Deine Antwort!
Also, wenn ich das mal zusammenfasse, dann ist f differenzierbar in a, wenn a ein Häufungspunkt von D ist und wenn
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + r(x) definiert ist mit
r(x) = [f(x)-f(a)]-[f'(a)(x-a)] und r(x) ungefähr gleich Null?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Do 19.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo dormant,
>
> vielen Dank für Deine Antwort!
> Also, wenn ich das mal zusammenfasse, dann ist f
> differenzierbar in a, wenn a ein Häufungspunkt von D ist
> und wenn
> f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + r(x) definiert ist mit
> r(x) = [f(x)-f(a)]-[f'(a)(x-a)] und r(x) ungefähr gleich
> Null?
Der letze Satz ist etwas missverständlich, wenn er nur deine vorstellung wiedergibt ok, aber weit weg von a kann r(x) natürlich beliebig gross werden! also besser r(x) wird schneller 0 für x gegen a als x-a.
lass dir doch mal irgend ne einfache fkt und die Tangente plotten, und dann zoom in die Stelle x=a rein, vielleicht plottest du auch einfach zusätzlich r(x).
Gruss leduart
> Danke,
> Anna
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Hallo leduart,
ja, das habe ich auch schon gemacht. Nehmen wir z.B. die Funktion
f(x) = [mm] x^2. [/mm] Dann ist
f'(x) = 2x.
Die ersten Werte für f(x) sehen dann ja so aus:
x y
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
Für f'(x) so:
x y
0 0
1 2
2 4
3 6
4 8
Ist a z.B. 1, dann ist
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + r(x)
f(x) = 1 + 2(x-1) + r(x)
also für f(x) = 4
16 = 1 + 2(4-1) + r(x)
16 = 7 + r(x) mit r(x) = 16-1 - 2(4-1) = 9 und (x-a) = 3
für f(x) = 3
9 = 1 + 2(3-1) + r(x)
9 = 5 + r(x) mit r(x) = 9-1 - 2(3-1) = 4 und (x-a) = 2
für f(x) = 2
4 = 1 + 2(2-1) + r(x)
4 = 3 + r(x) mit r(x) = 4-1 - 2(2-1) = 1 und (x-a) = 1
für f(x) = 1
1 = 1 + 2(1-1) + r(x)
1 = 1 + r(x) mit r(x) = 0 und (x-a) = 0
Daran sieht man, dass r(x) schneller (9,4,1,0) gegen Null geht als
x-a mit 3,2,1,0?! Und da es ein b= f'(a) gibt, bei dem r(x) = 0 ist, ist die Funktion differenzierbar in a. Korrekt?
Danke für Deine Hilfe.
Gruß,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 19.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig, nur anschaulicher wärs gewesen wenn du nicht 1,2,3,4 sondern o,01, 0,02 0,03 usw genommen hättest.
also nahe an x=0 bei [mm] x^2 [/mm] geht das noch gut, bei unregelmäßigeren Fkt. aber wirklich nur in der Nähe!
Gruss leduart
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Hallo leduart,
> alles richtig, nur anschaulicher wärs gewesen wenn du
> nicht 1,2,3,4 sondern o,01, 0,02 0,03 usw genommen
> hättest.
> also nahe an x=0 bei [mm]x^2[/mm] geht das noch gut, bei
> unregelmäßigeren Fkt. aber wirklich nur in der Nähe!
Danke. Das hatte ich in dem Moment gar nicht bedacht. Gut, dass Du das nochmal explizit gesagt hast. Logisch.
Noch eine weitere Frage dazu:
Ist f in a differenzierbar, so ist f in a stetig. Lt. o.g. Definition gibt es dann ja ein r(x) mit der Eigenschaft [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{r(x)}{x-a} [/mm] = 0. Aufgrund dieser Bedingung ist also die durch [mm] r_1(x)=\begin{cases} \bruch{r(x)}{x-a}, & \mbox{für x} \in D \mbox{ohne a } \\ 0, & \mbox{für } x = a \mbox{} \end{cases} [/mm] definierte Funktion [mm] r_1 [/mm] stetig in a. Womit beweist man diese Stetigkeit von [mm] r_1 [/mm] eigentlich am besten?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Do 19.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denk am schnellsten : f(x) stetig, g(x)=b(x-a) stetig, h(x)=f(a) stetig, Suume stetiger fkt. stetig.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
danke! Noch kurz eine Verständnisfrage für mich:
Es heißt ja, dass aufgrund der Eigenschaft $ [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{r(x)}{x-a} [/mm] $ = 0
die durch $ [mm] r_1(x)=\begin{cases} \bruch{r(x)}{x-a}, & \mbox{für x} \in D \mbox{ohne a } \\ 0, & \mbox{für } x = a \mbox{} \end{cases} [/mm] $
definierte Funktion [mm] r_1(x) [/mm] stetig in a ist.
Kann man sagen, dass [mm] r_1(x) [/mm] stetig in a ist, weil a ein Häufungspunkt von D ist und $ [mm] \limes_{x\rightarrow a} r_1(x) [/mm] $ = 0 ist, also ein Grenzwert existiert. Oder wie wäre die Begründung mathematisch besser ausgedrückt? Cauchykriterium, das ja erfüllt ist, weil [mm] r_1 [/mm] einen Grenzwert in a besitzt?
Danke,
Anna
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> Es heißt ja, dass aufgrund der Eigenschaft
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{r(x)}{x-a}[/mm] = 0
> die durch [mm]r_1(x)=\begin{cases} \bruch{r(x)}{x-a}, & \mbox{für x} \in D \mbox{ohne a } \\ 0, & \mbox{für } x = a \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> definierte Funktion [mm]r_1(x)[/mm] stetig in a ist.
> Kann man sagen, dass [mm]r_1(x)[/mm] stetig in a ist, weil a ein
> Häufungspunkt von D ist und [mm]\limes_{x\rightarrow a} r_1(x)[/mm]
> = 0 ist, also ein Grenzwert existiert. Oder wie wäre die
> Begründung mathematisch besser ausgedrückt?
Hallo,
r(x) ist auf D\ [mm] /{a\} [/mm] stetig, weil es eine Summe stetiger Funktionen ist.
Also ist [mm] r_1 [/mm] auf D\ [mm] /{a\} [/mm] stetig.
Die Stetigkeit von [mm] r_1 [/mm] im Punkt a erhältst Du, weil Du r(a) ja gerade so definiert hast, daß [mm] r_1(a):=$ \limes_{x\rightarrow a} \bruch{r(x)}{x-a} [/mm] $.
Du hast durch [mm] r_1(a):=0 [/mm] die Funktion r stetig fortgesetzt auf D.
In Deiner Begründung stört mich der "Häufungspunkt". Um die Stetigkeit zu begründen brauchen wir diese Eigenschaft von a nicht. (Sie kommt wohl aus der Vorgeschichte, der Differenzierbarkeit, Und sie schadet natürlich nicht!)
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Antwort!
> r(x) ist auf D\ [mm]/{a\}[/mm] stetig, weil es eine Summe stetiger
> Funktionen ist.
>
> Also ist [mm]r_1[/mm] auf D\ [mm]/{a\}[/mm] stetig.
Ja, dass eine Summe stetiger Funktionen auch wieder stetig ist, das ist mir klar.
Aber womit begründet / zeigt man, dass in diesem Fall f(x) stetig ist?
> Die Stetigkeit von [mm]r_1[/mm] im Punkt a erhältst Du, weil Du r(a)
> ja gerade so definiert hast, daß [mm]r_1(a):=[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} \bruch{r(x)}{x-a} [/mm].
>
> Du hast durch [mm]r_1(a):=0[/mm] die Funktion r stetig fortgesetzt
> auf D.
Ich wollte bei meiner letzten Frage auch die stetige Fortsetzung erwähnen. Diese meinte ich auch erkannt zu haben, habe das dann jedoch wieder verworfen, weil ich dachte, dass dann r(x) = [mm] r_1(x) [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] D ohne a sein muss. Aber hier ist doch nicht r(x) sondern [mm] \bruch{r(x)}{x-a}. [/mm] Also stimmt zwar der Grenzwert überein, aber doch nicht die einzelnen Funktionswerte (r(x) = [mm] r_1(x)). [/mm] Und dennoch ist das auch eine stetige Fortsetzung? Wo ist da mein Denkfehler? :-(
> In Deiner Begründung stört mich der "Häufungspunkt". Um die
> Stetigkeit zu begründen brauchen wir diese Eigenschaft von
> a nicht. (Sie kommt wohl aus der Vorgeschichte, der
> Differenzierbarkeit, Und sie schadet natürlich nicht!)
Stimmt, das fällt mir jetzt auch auf! Danke!
Gruß,
Anna
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> Aber womit begründet / zeigt man, dass in diesem Fall f(x)
> stetig ist?
Hallo,
f ist ja eine differenzierbare Funktion, also ist sie automatisch stetig. (Ganz wichtig!)
> ... stetige Fortsetzung.
>Aber hier ist doch nicht r(x) sondern
> [mm]\bruch{r(x)}{x-a}.[/mm] ...
> Wo ist da mein Denkfehler?
Nigendwo. Es war ein Versehen meinerseits. [mm] r_1 [/mm] ist die stetige Fortsetzung von [mm] \bruch{r}{x-a}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
> > Aber womit begründet / zeigt man, dass in diesem Fall f(x)
> > stetig ist?
>
> f ist ja eine differenzierbare Funktion, also ist sie
> automatisch stetig. (Ganz wichtig!)
Ja, da hab' ich mich jetzt weiter im Kreis gedreht als es hätte sein müssen.
Blödsinn was ich da dachte![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") , denn - logisch - f(x) ist ja als differnzierbare und somit stetige Funktion vorgegeben.
> > ... stetige Fortsetzung.
> >Aber hier ist doch nicht r(x) sondern
> > [mm]\bruch{r(x)}{x-a}.[/mm] ...
> > Wo ist da mein Denkfehler?
>
> Nigendwo. Es war ein Versehen meinerseits. [mm]r_1[/mm] ist die
> stetige Fortsetzung von bruch{r}{x-a}.
Achso! Also ist meine Begründung schon korrekt, dass [mm] r_1 [/mm] (x) keine stetige Fortsetzung von r(x) ist?
Vielen Dank!!
Anna
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> Achso! Also ist meine Begründung schon korrekt, dass [mm]r_1[/mm]
> (x) keine stetige Fortsetzung von r(x) ist?
Du hast richtig erkannt, daß im Gegensatz zu dem, was ich irrtümlich schrieb, [mm] r_1 [/mm] keine stetige Fortsetzung von r ist.
Richtig ist: [mm] r_1 [/mm] ist die stetige Fortsetzung von [mm] \bruch{r}{x-a}.
[/mm]
Weil: für alle [mm] x\not=a [/mm] ist [mm] r_1(x) =\bruch{r(x)}{x-a}, [/mm] und r-1 ist stetig im Punkt a. (An den anderen Stellen ist [mm] r_1 [/mm] stetig, weil da [mm] \bruch{r(x)}{x-a} [/mm] stetig ist.)
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
> Richtig ist: [mm]r_1[/mm] ist die stetige Fortsetzung von
> [mm]\bruch{r}{x-a}.[/mm]
Ja, das habe ich auch erkannt.
> Weil: für alle [mm]x\not=a[/mm] ist [mm]r_1(x) =\bruch{r(x)}{x-a},[/mm] und
Ja.
> r-1 ist stetig im Punkt a.
Was meinst Du mit r-1? Meinst Du [mm] r_1 [/mm] ist durch [mm]r_1(x) =\bruch{r(x)}{x-a}[/mm] stetig im Punkt a? Oder meinst Du noch was anderes damit?
> (An den anderen Stellen ist
> [mm]r_1[/mm] stetig, weil da [mm]\bruch{r(x)}{x-a}[/mm] stetig ist.)
An welchen anderen Stellen meinst Du jetzt? Es sind doch schon alle Stellen außer [mm]x\not=a[/mm] wie o.g. definiert?
Danke Dir!
Anna
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> > r-1 ist stetig im Punkt a.
>
> Was meinst Du mit r-1? Meinst Du [mm]r_1[/mm] ist durch [mm]r_1(x) =\bruch{r(x)}{x-a}[/mm]
> stetig im Punkt a? Oder meinst Du noch was anderes damit?
Ich meine das, was Du vermutest. War ein bloßer Tippfehler.
>
> > (An den anderen Stellen ist
> > [mm]r_1[/mm] stetig, weil da [mm]\bruch{r(x)}{x-a}[/mm] stetig ist.)
>
> An welchen anderen Stellen meinst Du jetzt? Es sind doch
> schon alle Stellen außer [mm]x\not=a[/mm] wie o.g. definiert?
Eben. Diese "alle Stellen" meine ich. [mm] \bruch{r(x)}{x-a} [/mm] macht ja nur für x=a Probleme.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:59 So 22.07.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Angela,
dann habe ich das jetzt verstanden! Danke!! 
Gruß,
Anna
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Hallo nochmals,
> > Ist a [mm]\in[/mm] D, so heißt f differenzierbar in a, wenn a
> > Häufungspunkt von D ist
>
> Das fordert man, damit die r-Funktion unten überhaupt
> definierbar ist.
Könnte mir das nochmal bitte jemand erkären?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 So 22.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> > > Ist a [mm]\in[/mm] D, so heißt f differenzierbar in a, wenn a
> > > Häufungspunkt von D ist
> >
> > Das fordert man, damit die r-Funktion unten überhaupt
> > definierbar ist.
Was ich geschrieben hab ist nicht ganz korrekt, zugegebenerweise. Es geht nicht darum, dass r(x) definierbar ist, sonder darum, dass der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{r(x)}{x-a}, x\in [/mm] D
überhaupt existiert. Wenn a kein Häufungspunkt in D ist, dann gibt es keine Folgen mit Elementen aus D, die gegen a konvergieren, somit wäre der Ausdruck [mm] x\rightarrow [/mm] a sinnlos und damit auch der ganze Ausrduck für das Restglied.
Gruß,
dormant
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Hallo dormant,
> > > > Ist a [mm]\in[/mm] D, so heißt f differenzierbar in a, wenn a
> > > > Häufungspunkt von D ist
> > >
> > > Das fordert man, damit die r-Funktion unten überhaupt
> > > definierbar ist.
>
> Was ich geschrieben hab ist nicht ganz korrekt,
> zugegebenerweise. Es geht nicht darum, dass r(x)
> definierbar ist, sonder darum, dass der Grenzwert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}\bruch{r(x)}{x-a}, x\in[/mm] D
>
> überhaupt existiert. Wenn a kein Häufungspunkt in D ist,
> dann gibt es keine Folgen mit Elementen aus D, die gegen a
> konvergieren, somit wäre der Ausdruck [mm]x\rightarrow[/mm] a
> sinnlos und damit auch der ganze Ausrduck für das
> Restglied.
Ah Ok. So war das gemeint. Wenn ich das mal mit meinen Worten zusammenfasse:
Ein Element a von D heißt Häufungspunkt von D genau dann wenn jede Umgebung von a ein von a verschiedenes Element aus D besitzt. Da jede differenzierbare Funktion auch stetig ist und eine Funktion u.a. genau dann stetig ist, wenn für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] in D mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = a [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = f(a) gilt (Folgenkriterium) - und da eine reelle Folge [mm] (x_n) [/mm] genau dann konvergent gegen (den Grenzwert) a ist, wenn in jeder Umgebung von a fast alle Glieder (d.h. alle Glieder mit Ausnahme von höchstens endlich vielen) von der Folge [mm] (x_n) [/mm] liegen, ist es also unabdingbar, dass a Häufungspunkt von D ist. Habe ich diese Zusammenhänge nun so richtig verstanden/wiedergegeben???
Vielen Dank!
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 So 22.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Ah Ok. So war das gemeint. Wenn ich das mal mit meinen
> Worten zusammenfasse:
> Ein Element a von D heißt Häufungspunkt von D genau dann
> wenn jede Umgebung von a ein von a verschiedenes Element
> aus D besitzt. Da jede differenzierbare Funktion auch
> stetig ist und eine Funktion u.a. genau dann stetig ist,
> wenn für jede Folge [mm](x_n)[/mm] in D mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = a
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)[/mm] = f(a) gilt
> (Folgenkriterium) - und da eine reelle Folge [mm](x_n)[/mm] genau
> dann konvergent gegen (den Grenzwert) a ist, wenn in jeder
> Umgebung von a fast alle Glieder (d.h. alle Glieder mit
> Ausnahme von höchstens endlich vielen) von der Folge [mm](x_n)[/mm]
> liegen, ist es also unabdingbar, dass a Häufungspunkt von D
> ist. Habe ich diese Zusammenhänge nun so richtig
> verstanden/wiedergegeben???
Absolut richtig :)
Gruß,
dormant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo dormant,
super, dann habe ich diese Zusammenhänge nun ja wohl richtig verstanden.
Danke!!
Gruß,
Anna
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