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| Aufgabe | Sei [mm] $f:V\to [/mm] V$ ein Endomorphismus von $V$ und [mm] $\lambda\in [/mm] K$, dann heißt
[mm] $Hau(f,\lambda)=\bigcup_{s\ge 1}(ker(f-\lambda*id_v)^s)\subset [/mm] V$
der Hauptraum von $V$ bzgl. [mm] \lambda. [/mm] |
Ich versteh das nicht so ganz.
Was genau ist denn [mm] $id_v$ [/mm] ?
Ich glaube zu meinen, dass der Hauptraum ähnlich wie der Eigenraum ist. Nur dass ich den Kern von IRGENDETWAS potenziere.
Beim Eigenraum kenne ich die Definition [mm] $Eig(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)$.
[/mm]
Beim Hauptraum wäre das, würde ich das übertragen [mm] $Hau(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)^1*...*ker(A-\lambda*E)^s$
[/mm]
Oder ist es einfach nur [mm] $Hau(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)^s$
[/mm]
Und woher weiß ich was s ist? Ist das die Dimension von V?
Ist das in irgendeiner Weise ähnlich?
Könnte mir jemand oben stehende Definition mit eigenen verständlichen Worten näher bringen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:V\to V[/mm] ein Endomorphismus von [mm]V[/mm] und [mm]\lambda\in K[/mm],
> dann heißt
>
> [mm]Hau(f,\lambda)=\bigcup_{s\ge 1}(ker(f-\lambda*id_v)^s)\subset V[/mm]
>
> der Hauptraum von [mm]V[/mm] bzgl. [mm]\lambda.[/mm]
> Ich versteh das nicht so ganz.
>
> Was genau ist denn [mm]id_v[/mm] ?
Die Identität auf V (mit großem V): [mm]id_V[/mm]
>
>
> Ich glaube zu meinen, dass der Hauptraum ähnlich wie der
> Eigenraum ist. Nur dass ich den Kern von IRGENDETWAS
> potenziere.
>
> Beim Eigenraum kenne ich die Definition
> [mm]Eig(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)[/mm].
> Beim Hauptraum wäre das, würde ich das übertragen
> [mm]Hau(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)^1*...*ker(A-\lambda*E)^s[/mm]
Das ist Unsinn !!!!
> Oder ist es einfach nur [mm]Hau(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)^s[/mm]
Nein
>
> Und woher weiß ich was s ist?
> Ist das die Dimension von V?
nein
>
> Ist das in irgendeiner Weise ähnlich?
Es gilt:
$ [mm] ker(f-\lambda*id_v) \subseteq ker((f-\lambda*id_v)^2) \subseteq ker((f-\lambda*id_v)^3) \subseteq [/mm] ......$
und es gibt genau ein p [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $ker((f-\lambda*id_v)^{p-1}) \ne ker((f-\lambda*id_v)^{p})= ker((f-\lambda*id_v)^{p+k})$ [/mm] für jedes k [mm] \ge [/mm] 0
Damit ist
[mm] $Hau(f,\lambda)= ker((f-\lambda*id_v)^{p})$
[/mm]
FRED
>
> Könnte mir jemand oben stehende Definition mit eigenen
> verständlichen Worten näher bringen?
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> > Sei [mm]f:V\to V[/mm] ein Endomorphismus von [mm]V[/mm] und [mm]\lambda\in K[/mm],
> > dann heißt
> >
> > [mm]Hau(f,\lambda)=\bigcup_{s\ge 1}(ker(f-\lambda*id_v)^s)\subset V[/mm]
>
> >
> > der Hauptraum von [mm]V[/mm] bzgl. [mm]\lambda.[/mm]
> > Ich versteh das nicht so ganz.
> >
> > Was genau ist denn [mm]id_v[/mm] ?
>
>
> Die Identität auf V (mit großem V): [mm]id_V[/mm]
Tut mir leid, dass ich so auf dem Schlauch stehe, aber was genau ist die Identät auf V ? Die vom Vektorraum oder die vom End(V) ?
Ist das bei nem Vektorraum nicht die kanonische Basis?
> >
> >
> > Ich glaube zu meinen, dass der Hauptraum ähnlich wie der
> > Eigenraum ist. Nur dass ich den Kern von IRGENDETWAS
> > potenziere.
> >
> > Beim Eigenraum kenne ich die Definition
> > [mm]Eig(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)[/mm].
> > Beim Hauptraum wäre das, würde ich das übertragen
> > [mm]Hau(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)^1*...*ker(A-\lambda*E)^s[/mm]
>
> Das ist Unsinn !!!!
>
>
>
> > Oder ist es einfach nur [mm]Hau(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)^s[/mm]
>
>
> Nein
> >
> > Und woher weiß ich was s ist?
>
> > Ist das die Dimension von V?
>
> nein
> >
> > Ist das in irgendeiner Weise ähnlich?
>
>
> Es gilt:
>
> [mm]ker(f-\lambda*id_v) \subseteq ker((f-\lambda*id_v)^2) \subseteq ker((f-\lambda*id_v)^3) \subseteq ......[/mm]
>
> und es gibt genau ein p [mm]\in \IN[/mm] mit:
>
> [mm]ker((f-\lambda*id_v)^{p-1}) \ne ker((f-\lambda*id_v)^{p})= ker((f-\lambda*id_v)^{p+k})[/mm]
> für jedes k [mm]\ge[/mm] 0
>
> Damit ist
>
> [mm]Hau(f,\lambda)= ker((f-\lambda*id_v)^{p})[/mm]
>
Und wo liegt der Unterschied zu [mm]Hau(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)^s[/mm] ?
> FRED
> >
Könnte mir jemand den Hauptraum mit eigenen
verständlichen Worten erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei [mm]f:V\to V[/mm] ein Endomorphismus von [mm]V[/mm] und [mm]\lambda\in K[/mm],
> > > dann heißt
> > >
> > > [mm]Hau(f,\lambda)=\bigcup_{s\ge 1}(ker(f-\lambda*id_v)^s)\subset V[/mm]
>
> >
> > >
> > > der Hauptraum von [mm]V[/mm] bzgl. [mm]\lambda.[/mm]
> > > Ich versteh das nicht so ganz.
> > >
> > > Was genau ist denn [mm]id_v[/mm] ?
> >
> >
> > Die Identität auf V (mit großem V): [mm]id_V[/mm]
>
>
> Tut mir leid, dass ich so auf dem Schlauch stehe, aber was
> genau ist die Identät auf V ? Die vom Vektorraum oder die
> vom End(V) ?
Es ist [mm]id_V \in End(V)[/mm] eine lineare Abb. mit [mm]id_V(x)=x[/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] V
>
> Ist das bei nem Vektorraum nicht die kanonische Basis?
>
>
> > >
> > >
> > > Ich glaube zu meinen, dass der Hauptraum ähnlich wie der
> > > Eigenraum ist. Nur dass ich den Kern von IRGENDETWAS
> > > potenziere.
> > >
> > > Beim Eigenraum kenne ich die Definition
> > > [mm]Eig(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)[/mm].
> > > Beim Hauptraum wäre das, würde ich das übertragen
> > > [mm]Hau(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)^1*...*ker(A-\lambda*E)^s[/mm]
> >
> > Das ist Unsinn !!!!
> >
> >
> >
> > > Oder ist es einfach nur [mm]Hau(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)^s[/mm]
> >
> >
> > Nein
> > >
> > > Und woher weiß ich was s ist?
> >
> > > Ist das die Dimension von V?
> >
> > nein
> > >
> > > Ist das in irgendeiner Weise ähnlich?
> >
> >
> > Es gilt:
> >
> > [mm]ker(f-\lambda*id_v) \subseteq ker((f-\lambda*id_v)^2) \subseteq ker((f-\lambda*id_v)^3) \subseteq ......[/mm]
>
> >
> > und es gibt genau ein p [mm]\in \IN[/mm] mit:
> >
> > [mm]ker((f-\lambda*id_v)^{p-1}) \ne ker((f-\lambda*id_v)^{p})= ker((f-\lambda*id_v)^{p+k})[/mm]
> > für jedes k [mm]\ge[/mm] 0
> >
> > Damit ist
> >
> > [mm]Hau(f,\lambda)= ker((f-\lambda*id_v)^{p})[/mm]
> >
>
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> Und wo liegt der Unterschied zu
> [mm]Hau(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)^s[/mm] ?
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> > FRED
> > >
>
> Könnte mir jemand den Hauptraum mit eigenen
> verständlichen Worten erklären?
Hab ich das nicht getan ?
FRED
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Die Identität ist also das neutrale Element?
Hab ich das jetzt verstanden?
Aber wie bestimm ich den Hauptraum?
Sagen wir ich hab eine Matrix A.
Ich würde dann ersteinmal das charachteristische Polynom und damit die Eigenwerte bestimmen.
Dann bestimme ich [mm] $Hau(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)^s$ [/mm] wobei s die algebraische Vielfachheit des charachteristischen Polynoms.
Und das was rauskommt ist mein Hautraum zum EW.
Oder hab ich das immernoch nicht verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Di 13.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Die Identität ist also das neutrale Element?
> Hab ich das jetzt verstanden?
Nochmal: [mm] $id_V(x)=x$ [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] V
Ist z.B. V = [mm] \IR^n, [/mm] so besitzt [mm] id_V [/mm] bezüglich der kanonischen Basis die Einheitsmatrix E als Abbildungsmatrix
>
> Aber wie bestimm ich den Hauptraum?
>
> Sagen wir ich hab eine Matrix A.
>
>
> Ich würde dann ersteinmal das charachteristische Polynom
> und damit die Eigenwerte bestimmen.
>
> Dann bestimme ich [mm]Hau(A,\lambda)=ker(A-\lambda*E)^s[/mm] wobei s
> die algebraische Vielfachheit des charachteristischen
> Polynoms.
>
> Und das was rauskommt ist mein Hautraum zum EW.
Stimmt, schau auch mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptraum
FRED
>
>
> Oder hab ich das immernoch nicht verstanden?
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Wenn ich jetzt das charachteristische Polynom und alle Eigenwerte habe und für jeden Eigenwert den Hauptraum bestimmt habe, dann ist doch die Summe (innere) meine Zerlegung des Vektorraums in Haupträume??
Das hab ich doch jetzt richtig verstanden??
Also Beispiel:
[mm] $\chi_A=(3-x)^3*(2-x)^2*(4-x)$ [/mm] mein charachteristisches Polynom.
dann ist,
[mm] $Hau(A,3)=ker(A-3)^3
[/mm]
[mm] Hau(A,2)=ker(A-2)^2
[/mm]
Hau(A,4)=ker(A-4)
[mm] $V=Hau(A,3)\oplus Hau(A,2)\oplus [/mm] Hau(A,4)$
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mi 14.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
ja, stimmt so
gruß meili
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In meiner Definition steht nun aber drin,
$ [mm] V=Hau(f,\lambda_1)^\(r_1\)\oplus [/mm] ... [mm] \oplus Hau(f,\lambda_i)^\(r_i\) [/mm] $
Inwiefern vertragen sich jetzt die Potenzen zu meiner Form aus dem Beispiel?
Ich hab da keine Potenzen.
$ [mm] V=Hau(A,3)\oplus Hau(A,2)\oplus [/mm] Hau(A,4) $
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Mi 14.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> In meiner Definition steht nun aber drin,
>
> [mm]V=Hau(f,\lambda_1)^\(r_1\)\oplus ... \oplus Hau(f,\lambda_i)^\(r_i\)[/mm]
>
nein, $ [mm] Hau(f,\lambda)$ [/mm] wird nicht potenziert.
[mm] $Hau(f,\lambda) [/mm] = ker(f - [mm] \lambda *id)^k [/mm] $, wenn $ [mm] \lambda_1$ [/mm] Eigenwert von f ist. mit der algebraischen Vielfachheit k.
sehe auch dein Beispiel
> Inwiefern vertragen sich jetzt die Potenzen zu meiner Form
> aus dem Beispiel?
> Ich hab da keine Potenzen.
>
> [mm]V=Hau(A,3)\oplus Hau(A,2)\oplus Hau(A,4)[/mm]
ja, die Potenzen standen bei ker(...
gruß meili
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