Definition Moduln < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 So 13.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo,
ich habe ein Problem bzw. eine Frage bezüglich der Definition von Moduln.
Und zwar habe ich in eine Definition für Linksmoduln gefunden, welche wie folgt lautet:
Es sei (R,+, [mm] \cdot) [/mm] ein Ring und (M, [mm] \oplus) [/mm] eine abelsche Gruppe.
M zusammen mit einer äußeren Verknüpfung (skalare Multiplikation)
[mm] \*: [/mm] R x M [mm] \to [/mm] M, [mm] (\alpha, [/mm] x) ==> [mm] \alpha \* [/mm] x
heißt R-Linksmodul, wenn folgendes gilt [mm] (\alpha, \beta \in [/mm] R, x, y [mm] \in [/mm] M):
[mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) \* [/mm] x = [mm] \alpha\*x \oplus \beta\*x
[/mm]
[mm] \alpha\*(x \oplus [/mm] y) = [mm] \alpha \* [/mm] x [mm] \oplus \alpha \* [/mm] y
[mm] (\alpha \cdot \beta) \* [/mm] x = [mm] \alpha \*(\beta \*x)
[/mm]
So, meine Frage dazu lautet nun wie folgt:
Es wird im allgemeinen dann dazu in den Büchern immer gesagt, dass Links- und Rechtsmodul nur dann unterschieden werden müssen, wenn sie über nicht kommutativen Ringen definiert sind. Wenn also die multiplikative Verknüpfung aus dem Ring nicht kommutativ ist. Das verstehe ich nicht ganz, denn in den Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit ein Modul vorliegt, kommt ja hauptsächlich die Verknüpfung vor, die hier in der Definition als skalare Multiplikation bezeichnet wird. Und dazu ist ja bezüglich Kommutativität überhaupt nichts gesagt. Kann mir dazu jemand vielleicht irgend etwas sagen?
Vielen Dank schon mal,
Yonca!
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Hallo Yonca!
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem bzw. eine Frage bezüglich der
> Definition von Moduln.
>
> Und zwar habe ich in eine Definition für Linksmoduln
> gefunden, welche wie folgt lautet:
>
> Es sei (R,+, [mm]\cdot)[/mm] ein Ring und (M, [mm]\oplus)[/mm] eine abelsche
> Gruppe.
> M zusammen mit einer äußeren Verknüpfung (skalare
> Multiplikation)
>
> [mm]\*:[/mm] R x M [mm]\to[/mm] M, [mm](\alpha,[/mm] x) ==> [mm]\alpha \*[/mm] x
>
> heißt R-Linksmodul, wenn folgendes gilt [mm](\alpha, \beta \in[/mm]
> R, x, y [mm]\in[/mm] M):
>
> [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta) \*[/mm] x = [mm]\alpha\*x \oplus \beta\*x[/mm]
>
> [mm]\alpha\*(x \oplus[/mm] y) = [mm]\alpha \*[/mm] x [mm]\oplus \alpha \*[/mm] y
>
> [mm](\alpha \cdot \beta) \*[/mm] x = [mm]\alpha \*(\beta \*x)[/mm]
>
> So, meine Frage dazu lautet nun wie folgt:
> Es wird im allgemeinen dann dazu in den Büchern immer
> gesagt, dass Links- und Rechtsmodul nur dann unterschieden
> werden müssen, wenn sie über nicht kommutativen Ringen
> definiert sind. Wenn also die multiplikative Verknüpfung
> aus dem Ring nicht kommutativ ist. Das verstehe ich nicht
> ganz, denn in den Bedingungen, die erfüllt sein müssen,
> damit ein Modul vorliegt, kommt ja hauptsächlich die
> Verknüpfung vor, die hier in der Definition als skalare
> Multiplikation bezeichnet wird. Und dazu ist ja bezüglich
> Kommutativität überhaupt nichts gesagt. Kann mir dazu
> jemand vielleicht irgend etwas sagen?
>
> Vielen Dank schon mal,
> Yonca!
>
Für einen $A$-Linksmodul gilt
$ [mm] (\alpha \cdot \beta) [/mm] * x = [mm] \alpha *(\beta [/mm] *x) $ für alle [mm] $\alpha,\beta \in A,x\in [/mm] M$.
Ein $A$-Rechtsmodul erfüllt stattdessen die Bedingung
$ [mm] (\beta\cdot \alpha [/mm] ) * x = [mm] \alpha *(\beta [/mm] *x) $ für alle [mm] $\alpha,\beta \in A,x\in [/mm] M$. (***)
Offensichtlich macht das keinen Unterschied, wenn $A$ kommutativ ist.
Die Bezeichnung 'Rechtsmodul' kommt von der üblichen Schreibweise, bei der die Ringelemente von rechts an die Modulelemente eines $A$-Rechtsmoduls multipliziert werden. Dadurch wird (***) üblicherweise wie folgt geschrieben:
$ [mm] x*(\beta\cdot \alpha [/mm] ) = ( [mm] x*\beta)*\alpha [/mm] $ für alle [mm] $\alpha,\beta \in A,x\in [/mm] M$
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 So 13.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal,
vielen Dank für die Antwort, aber leider bin ich noch nicht viel schlauer, denn......(siehe weiter unten)
> Hallo Yonca!
>
> > Hallo,
> >
> > ich habe ein Problem bzw. eine Frage bezüglich der
> > Definition von Moduln.
> >
> > Und zwar habe ich in eine Definition für Linksmoduln
> > gefunden, welche wie folgt lautet:
> >
> > Es sei (R,+, [mm]\cdot)[/mm] ein Ring und (M, [mm]\oplus)[/mm] eine abelsche
> > Gruppe.
> > M zusammen mit einer äußeren Verknüpfung (skalare
> > Multiplikation)
> >
> > [mm]\*:[/mm] R x M [mm]\to[/mm] M, [mm](\alpha,[/mm] x) ==> [mm]\alpha \*[/mm] x
> >
> > heißt R-Linksmodul, wenn folgendes gilt [mm](\alpha, \beta \in[/mm]
> > R, x, y [mm]\in[/mm] M):
> >
> > [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta) \*[/mm] x = [mm]\alpha\*x \oplus \beta\*x[/mm]
> >
> > [mm]\alpha\*(x \oplus[/mm] y) = [mm]\alpha \*[/mm] x [mm]\oplus \alpha \*[/mm] y
> >
> > [mm](\alpha \cdot \beta) \*[/mm] x = [mm]\alpha \*(\beta \*x)[/mm]
> >
> > So, meine Frage dazu lautet nun wie folgt:
> > Es wird im allgemeinen dann dazu in den Büchern immer
> > gesagt, dass Links- und Rechtsmodul nur dann unterschieden
> > werden müssen, wenn sie über nicht kommutativen Ringen
> > definiert sind. Wenn also die multiplikative Verknüpfung
> > aus dem Ring nicht kommutativ ist. Das verstehe ich nicht
> > ganz, denn in den Bedingungen, die erfüllt sein müssen,
> > damit ein Modul vorliegt, kommt ja hauptsächlich die
> > Verknüpfung vor, die hier in der Definition als skalare
> > Multiplikation bezeichnet wird. Und dazu ist ja bezüglich
> > Kommutativität überhaupt nichts gesagt. Kann mir dazu
> > jemand vielleicht irgend etwas sagen?
> >
> > Vielen Dank schon mal,
> > Yonca!
> >
>
> Für einen [mm]A[/mm]-Linksmodul gilt
>
> [mm](\alpha \cdot \beta) * x = \alpha *(\beta *x)[/mm] für alle
> [mm]\alpha,\beta \in A,x\in M[/mm].
>
> Ein [mm]A[/mm]-Rechtsmodul erfüllt stattdessen die Bedingung
>
> [mm](\beta\cdot \alpha ) * x = \alpha *(\beta *x)[/mm] für alle
> [mm]\alpha,\beta \in A,x\in M[/mm]. (***)
>
> Offensichtlich macht das keinen Unterschied, wenn [mm]A[/mm]
> kommutativ ist.
>
> Die Bezeichnung 'Rechtsmodul' kommt von der üblichen
> Schreibweise, bei der die Ringelemente von rechts an die
> Modulelemente eines [mm]A[/mm]-Rechtsmoduls multipliziert werden.
> Dadurch wird (***) üblicherweise wie folgt geschrieben:
>
> [mm]x*(\beta\cdot \alpha ) = ( x*\beta)*\alpha[/mm] für alle
> [mm]\alpha,\beta \in A,x\in M[/mm]
>
> LG mathfunnel
>
bei mir ist das Assoziativgesetz bei einem Linkasmodul so aufgeführt:
[mm] (\alpha \cdot \beta) [/mm] * x = [mm] \alpha [/mm] * [mm] (\beta [/mm] * x)
und bei einem Rechtsmodul so:
x [mm] \* (\alpha \cdot \beta) [/mm] = (x [mm] \* \alpha) \* \beta [/mm]
und ich kann das nicht ganz in Einklang mit dem von dir gesagten bringen?! Denn hier wäre es ja im Grunde total egal, ob die multiplikative Verknüpfung aus dem Ring kommutativ ist oder nicht.
Irgendwie bin ich generell verwirrt durch die ganzen verschiedenen Verknüpfungen und kann auch meine Fragen, die mir im Kopf rumschwirren, nicht so wirklich formulieren. Und ich bin mir auch nicht sicher, ob diese Fragen Sinn machen. Ich versuchs trotzdem mal sie zu stellen und vielleicht kann mir ja jemand eine Antwort darauf geben:
1) Ist die Verknüpfung, welche bei einem Modul neu definiert wird kommutativ?
2) Unterscheiden sich Links- und Rechtsmodul nur durch die Bedingung des Assoziativgesetzes ?
Vielen Dank schon mal!
Y.
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Hallo Yonca!
> Hallo nochmal,
>
> vielen Dank für die Antwort, aber leider bin ich noch
> nicht viel schlauer, denn......(siehe weiter unten)
>
>
> > Hallo Yonca!
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe ein Problem bzw. eine Frage bezüglich der
> > > Definition von Moduln.
> > >
> > > Und zwar habe ich in eine Definition für Linksmoduln
> > > gefunden, welche wie folgt lautet:
> > >
> > > Es sei (R,+, [mm]\cdot)[/mm] ein Ring und (M, [mm]\oplus)[/mm] eine abelsche
> > > Gruppe.
> > > M zusammen mit einer äußeren Verknüpfung (skalare
> > > Multiplikation)
> > >
> > > [mm]\*:[/mm] R x M [mm]\to[/mm] M, [mm](\alpha,[/mm] x) ==> [mm]\alpha \*[/mm] x
> > >
> > > heißt R-Linksmodul, wenn folgendes gilt [mm](\alpha, \beta \in[/mm]
> > > R, x, y [mm]\in[/mm] M):
> > >
> > > [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta) \*[/mm] x = [mm]\alpha\*x \oplus \beta\*x[/mm]
> >
> >
> > > [mm]\alpha\*(x \oplus[/mm] y) = [mm]\alpha \*[/mm] x [mm]\oplus \alpha \*[/mm] y
> > >
> > > [mm](\alpha \cdot \beta) \*[/mm] x = [mm]\alpha \*(\beta \*x)[/mm]
> >
> >
> > > So, meine Frage dazu lautet nun wie folgt:
> > > Es wird im allgemeinen dann dazu in den Büchern
> immer
> > > gesagt, dass Links- und Rechtsmodul nur dann unterschieden
> > > werden müssen, wenn sie über nicht kommutativen Ringen
> > > definiert sind. Wenn also die multiplikative Verknüpfung
> > > aus dem Ring nicht kommutativ ist. Das verstehe ich nicht
> > > ganz, denn in den Bedingungen, die erfüllt sein müssen,
> > > damit ein Modul vorliegt, kommt ja hauptsächlich die
> > > Verknüpfung vor, die hier in der Definition als skalare
> > > Multiplikation bezeichnet wird. Und dazu ist ja bezüglich
> > > Kommutativität überhaupt nichts gesagt. Kann mir dazu
> > > jemand vielleicht irgend etwas sagen?
> > >
> > > Vielen Dank schon mal,
> > > Yonca!
> > >
> >
> > Für einen [mm]A[/mm]-Linksmodul gilt
> >
> > [mm](\alpha \cdot \beta) * x = \alpha *(\beta *x)[/mm] für alle
> > [mm]\alpha,\beta \in A,x\in M[/mm].
> >
> > Ein [mm]A[/mm]-Rechtsmodul erfüllt stattdessen die Bedingung
> >
> > [mm](\beta\cdot \alpha ) * x = \alpha *(\beta *x)[/mm] für alle
> > [mm]\alpha,\beta \in A,x\in M[/mm]. (***)
> >
> > Offensichtlich macht das keinen Unterschied, wenn [mm]A[/mm]
> > kommutativ ist.
> >
> > Die Bezeichnung 'Rechtsmodul' kommt von der üblichen
> > Schreibweise, bei der die Ringelemente von rechts an die
> > Modulelemente eines [mm]A[/mm]-Rechtsmoduls multipliziert werden.
> > Dadurch wird (***) üblicherweise wie folgt geschrieben:
> >
> > [mm]x*(\beta\cdot \alpha ) = ( x*\beta)*\alpha[/mm] für alle
> > [mm]\alpha,\beta \in A,x\in M[/mm]
> >
> > LG mathfunnel
> >
>
> bei mir ist das Assoziativgesetz bei einem Linkasmodul so
> aufgeführt:
>
> [mm](\alpha \cdot \beta)[/mm] * x = [mm]\alpha[/mm] * [mm](\beta[/mm] * x)
>
>
> und bei einem Rechtsmodul so:
>
> x [mm]\* (\alpha \cdot \beta)[/mm] = (x [mm]\* \alpha) \* \beta[/mm]
>
> und ich kann das nicht ganz in Einklang mit dem von dir
> gesagten bringen?! Denn hier wäre es ja im Grunde total
> egal, ob die multiplikative Verknüpfung aus dem Ring
> kommutativ ist oder nicht.
>
> Irgendwie bin ich generell verwirrt durch die ganzen
> verschiedenen Verknüpfungen und kann auch meine Fragen,
> die mir im Kopf rumschwirren, nicht so wirklich
> formulieren. Und ich bin mir auch nicht sicher, ob diese
> Fragen Sinn machen. Ich versuchs trotzdem mal sie zu
> stellen und vielleicht kann mir ja jemand eine Antwort
> darauf geben:
>
> 1) Ist die Verknüpfung, welche bei einem Modul neu
> definiert wird kommutativ?
Bei [mm] $\ast$ [/mm] handelt es sich um eine Operation von $A$ auf $M$ und nicht um eine Verknüpfung auf $M$. Es macht keinen Sinn nach der Kommutativität von [mm] $\ast$ [/mm] zu fragen.
> 2) Unterscheiden sich Links- und Rechtsmodul nur durch die
> Bedingung des Assoziativgesetzes ?
Sie unterscheiden sich nur in der 'Reihenfolge der Anwendung' der Operatoren (Ringelemente):
> $ [mm] (\alpha \cdot \beta) [/mm] $ * x = $ [mm] \alpha [/mm] $ * $ [mm] (\beta [/mm] $ * x)
$x$ erst mit [mm] $\beta$ [/mm] multiplizieren und dann das Ergebnis mit [mm] $\alpha$ [/mm] !
> x $ * [mm] (\alpha \cdot \beta) [/mm] $ = (x $ * [mm] \alpha) [/mm] * [mm] \beta [/mm] $
$x$ erst mit [mm] $\alpha$ [/mm] multiplizieren und dann das Ergebnis mit [mm] $\beta$!
[/mm]
>
> Vielen Dank schon mal!
> Y.
(Jetzt schaffe ich auch [mm] '$\ast$' [/mm] darzustellen  )
LG mathfunnel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Di 15.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal,
ok, mir ist jetzt wohl klar, dass es keinen Sinn macht nach der Kommutativität der Verknüpfung zu fragen, welche bei einem Modul neu definiert wird. Denn bei der Definition der Verknüpfung wird ja schon festgelegt, welches Element bei der Verknüpfung auf welcher Seite steht. Aber was ich einfach nicht verstehe: wieso sind Links- und Rechtsmodul gleich, wenn der zugrundeliegende Ring kommutativ ist. Die Verknüpfung * ist doch dann beim Linksmodul eine andere als die beim Rechtsmodul. Kann mir das jemand sagen?
Gruß, Yonca!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Di 15.11.2011 | | Autor: | hippias |
Man kann natuerlich aus einer abelschen Gruppe $M$ mit Hilfe eines kommutativen Ringes Links- und Rechtsmoduln konstruieren, die nicht isomorph sind. Gemeint duertfe folgendes sein:
Wenn Du beispielsweise einen $R$-Linksmodul $M$ hast, dann kann man eine neue Verknuepfung konstruieren $m*r:= rm$, wobei [mm] $r\in [/mm] R$ und [mm] $m\in [/mm] M$, und sich fragen ob dies dann ein Rechtsmodul ist. Man hat $m*(rs)= (rs)m= r(sm)= r(m*s)= ((m*s)*r)$, d.h. man hat hier eine "falsche" Reihenfolge vorliegen, es sei denn $R$ is kommutativ, denn dann ist $m*(rs)= m*(sr)$ und die entsprechende Bedingung der Rechtsmoduln ist erfuellt.
In diesem Sinne spielt es bei kommutativen Ringen keine Rolle, ob man zu einem Linksmodul den entsprechenden Rechtsmodul betrachtet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Mi 16.11.2011 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo hippias!
> Man kann natuerlich aus einer abelschen Gruppe [mm]M[/mm] mit Hilfe
> eines kommutativen Ringes Links- und Rechtsmoduln
> konstruieren, die nicht isomorph sind. Gemeint duertfe
> folgendes sein:
> Wenn Du beispielsweise einen [mm]R[/mm]-Linksmodul [mm]M[/mm] hast, dann
> kann man eine neue Verknuepfung konstruieren [mm]m*r:= rm[/mm],
Nicht Verknüpfung sondern Operation von $R$ auf $M$.
[mm] $m\ast [/mm] r$ definiert keine neue Operation, sondern ist nur eine neue Darstellung des Bildes $rm$ der alten Operation mit Urbild $(r,m)$.
> wobei [mm]r\in R[/mm] und [mm]m\in M[/mm], und sich fragen ob dies dann ein
> Rechtsmodul ist. Man hat [mm]m*(rs)= (rs)m= r(sm)= r(m*s)= ((m*s)*r)[/mm],
> d.h. man hat hier eine "falsche" Reihenfolge vorliegen, es
> sei denn [mm]R[/mm] is kommutativ, denn dann ist [mm]m*(rs)= m*(sr)[/mm] und
> die entsprechende Bedingung der Rechtsmoduln ist erfuellt.
>
> In diesem Sinne spielt es bei kommutativen Ringen keine
> Rolle, ob man zu einem Linksmodul den entsprechenden
> Rechtsmodul betrachtet.
LG mathfunnel
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Hallo Yonca!
> Hallo nochmal,
>
> ok, mir ist jetzt wohl klar, dass es keinen Sinn macht nach
> der Kommutativität der Verknüpfung zu fragen, welche bei
> einem Modul neu definiert wird. Denn bei der Definition
> der Verknüpfung wird ja schon festgelegt, welches Element
> bei der Verknüpfung auf welcher Seite steht. Aber was ich
> einfach nicht verstehe: wieso sind Links- und Rechtsmodul
> gleich, wenn der zugrundeliegende Ring kommutativ ist. Die
> Verknüpfung * ist doch dann beim Linksmodul eine andere
> als die beim Rechtsmodul. Kann mir das jemand sagen?
>
> Gruß, Yonca!
Wenn Du "deine und meine Rechtsmodulbedingung" mit Hilfe der Operation [mm] $\ast: R\times [/mm] M [mm] \rightarrow [/mm] M$ und der übliche Abbildungsschreibweise darstellst, wirst du feststellen, dass sie identisch sind.
Siehe meine erste Antwort!
LG mathfunnel
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