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Forum "Stetigkeit" - Definition Stetigkeit
Definition Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Definition Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:13 Fr 10.03.2006
Autor: AriR

(Frage zuvor nicht gestellt)

Hey Leute, habe im Internet folgende Definition für Stetigkeit gefunden:

"5.1.4 Stetigkeit von Funktionen:

Eine Funktion heißt stetig in x0, wenn ihr rechts- und linksseitiger Grenzwert (und gegebenenfalls der Funktionswert) bei x0 gleich sind."

weiß einer von euch vieleicht warum da steht, dass nur gegenbfalls der Funtktionswert mit dem Links- und Rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmen muss? das muss doch immer so sein oder nicht?

Wäre nett, wenn sich jemand kurz damit beschäftigen könnte. Vielen Dank im Voraus, Gruß Ari =)

        
Bezug
Definition Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 Fr 10.03.2006
Autor: mathiash

Hallo Ari und einen guten Morgen,

also wenn der rechts- und linksseitige Grenzwert bei [mm] x\to x_0 [/mm]
nicht uebereinstimmen - was passieren kann - , so ist f in [mm] x_0 [/mm] nicht stetig,

Bsp1: [mm] f(x)=\frac{1}{x}, x\neq [/mm] 0, f(0)=0  ist in [mm] x_0=0 [/mm] nicht stetig.

Bsp. 2: f(x)=  [mm] x\cdot \sin (1\slash [/mm] x), [mm] x\neq 0,\:\:\: [/mm]  f(0)=0  ist stetig in [mm] x_0=0 [/mm]

Beispiele kannst Du Dir selber ganz viele konstruieren.

Wenn nun allgemein  der Limes von f(x) fuer [mm] x\to x_0 [/mm] von links und von rechts
verschieden sind, aber beide existieren, so spricht man von rechtsseitiger Stetigkeit und linksseitiger Stetigkeit,
aber nur wenn beide Limites auch gleich sind, kann f in [mm] x_0 [/mm] stetig sein.


Klar soweit ?

Viele Gruesse,

Mathias

Bezug
                
Bezug
Definition Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 Fr 10.03.2006
Autor: AriR

hey.. danke schonmal für die antwort.
ich glaube ich habe mich etwas falsch formuliert und zwar war meine frage, warum da stehte, dass eine Funktion schon stetig sein kann, wenn der links- und rechtsseite grenzwert an einer stelle x gleich sein sind, aber der funktionswert an der stelle x ein anderer ist?

in der definition steht ja, dass der Funktionswert nur gegenbfalls mit dem links- und rechtsseiten grenzwert übereinstimmen muss.

danke schonmal im voraus =).. Gruß Ari

Bezug
                        
Bezug
Definition Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Fr 10.03.2006
Autor: mathiash

Hallo Ari,

also wenn [mm] \lim_{x\to x_0, x so wuerde ich f nicht stetig (von links)  an der Stelle [mm] x_0 [/mm] nennen. Vielleicht habt Ihr da irgendwo eine
andere Sprechweise davon, nach der man f dann trotzdem stetig in [mm] x_0 [/mm] heisst, aber
ueblich waere das nicht.


Gruss,

Mathias



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