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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Lolle |
Hallo!
Kann man das so sagen?
Stetigkeit:
Eine Funktion ist stetig, wenn jedem x-Wet ein y- Wert zugeordnet werden kann.
Oder fehlt etwas?
Liebe Grüße, Andrea
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Hallo, Lolle,
> Kann man das so sagen?
> Stetigkeit:
> Eine Funktion ist stetig, wenn jedem x-Wet ein y- Wert
> zugeordnet werden kann.
Stimmt nicht! Was Du da angibst, ist im Prinzip lediglich die Definition einer "Funktion":
Eine Relation heißt "Funktion", wenn jedem x aus der Definitionsmenge genau ein y aus der Wertemenge zugeordnet werden kann.
Eine Funktion heißt "stetig", wenn man - anschaulich gesagt - ihren Graphen zeichnen kann, ohne den Zeichenstift absetzen zu müssen.
Der Graph darf demnach insbesondere
- keine Löcher haben und
- keine Sprünge machen.
Er darf jedoch "Knicke" aufweisen.
Folgende Funktion ist z.B. nicht stetig für x = 0 (sonst aber schon!):
f(x) = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x < 0 \\ x+1, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}
[/mm]
Der Graph macht nämlich bei x=0 einen Sprung von y=0 auf y=1.
Die mathematische Definition der Stetigkeit ist kurz gesgat: Die Grenzwerte von links und rechts müssen mit dem Funktionswert dan dieser Stelle übereinstimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Lolle |
Aber für mich sagt "mein Satz" das auch aus. Wenn man zum Beispiel die Funktion
f(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] hat, dann ist der Funktion an der Stelle 0 kein y-Wert zugeordnet.
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Hallo Lolle,
> Aber für mich sagt "mein Satz" das auch aus. Wenn man zum
> Beispiel die Funktion
> f(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm] hat, dann ist der Funktion an der Stelle
> 0 kein y-Wert zugeordnet.
.. ja, weil sie dort nicht definiert ist! An allen anderen Stellen ist sie tatsächlich stetig.
Schau dir mal diese Funktion an:
Sei x [mm] \in \IN [/mm] , also eine natürliche Zahl.
Dann werde allen geraden Zahlen die 1 zugeordnet, allen ungeraden Zahlen die -1.
> Eine Funktion ist stetig, wenn jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet werden kann.
.. hast du definiert ..
Nach deiner Definition wäre diese Funktion stetig.
Wenn du sie allerdings zeichnest, merkst du, dass die Punkte des Graphen ständig hin- und herspringen, und so etwas nennt man nun wirklich nicht stetig.
Leider muss ich feststellen, dass diese Funktion doch tatsächlich stetig ist im mathematisch strengen Sinne:
weil der Definitionsbereich auf [mm] \IN [/mm] eingeschränkt ist.
Wählt man stattdessen
f(x) = 1 falls [mm] x\in \IQ
[/mm]
f(x) = -1 falls x [mm] \in \IR \setminus \IQ
[/mm]
dann ist diese Funktion wirklich unstetig! (danke @Marcel!).
siehe:  stetig in unserer MatheBank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Lolle |
Verstehe ich trotzdem nicht wirklich. Zu deinem Beispiel: Welche Funktion nennst du jetzt explizit?
Wie würdest du denn Stetigkeit kurz und prägnant definieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Lolle,
in meiner Antwort hab' ich Dir doch eine Funktion genannt, die an einer Stelle nicht stetig ist, nämlich bei x=0. Aber die besitzt dort doch einen Funktionswert, nämlich: f(0) = 1.
Das heißt: Auch dem x-Wert 0 wird ein y-Wert zugeordnet, eben die 1.
Nach Deiner Ansicht würde das bedeuten: stetig.
Diese Funktion ist aber genau UNSTETIG bei x=0.
Und nun mach' ich's mathematisch genau:
Grenzwert von links gegen 0: [mm] \limes_{x\rightarrow -0} [/mm] x = 0
Grenzwert von rechts gegen 0: [mm] \limes_{x\rightarrow +0} [/mm] (x+1) = 1
f(0) = 1.
Für die Stetigkeit an der Stelle x=0 müssten diese 3 Zahlen übereinstimmen. Das tun sie aber nicht, also ist die Funktion bei x=0 unstetig.
Und nochmals: Merk' Dir die Faustregel mit dem Zeichenstift!
Was man nicht durchzeichnen kann, ist nicht stetig.
Und noch was zu Deinem Beispiel:
Die Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist tatsächlich für jedes x aus der zugehörigen Definitionsmenge stetig!
Bei x=0 nach der Stetigkeit zu fragen, wäre sinnlos, da Stetigkeit oder Unstetigkeit nur innerhalb der Definitionsmenge gilt!
Diese Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist an der Stelle x=0 weder stetig noch unstetig, da x=0 eben nicht IN der Definitionsmenge liegt!
Ich könnte sie aber zu einer bei x=0 unstetigen Funktion machen:
g(x) = [mm] \begin{cases} \bruch{1}{x} & \mbox{für } x \not=0 \\ 0 & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Die ist nun wirklich unstetig bei x=0.
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