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Hallo, wie ist die Definition einer Topologie zu verstehen:
So hatten wir es in der Vorlesung (war aber nicht da, schreibe gerade die Mitschrift ab) Wir nennen [mm] 2^{\Omega} [/mm] die Potenzmenge von [mm] \Omega [/mm] .
Ein Mengensystem [mm] \tau \subseteq 2^{\Omega} [/mm] heißt Topologie, falls
i) [mm] \emptyset, \Omega [/mm] in [mm] \tau
[/mm]
ii)A,B in [mm] \tau [/mm] => A [mm] \cup [/mm] B in [mm] \tau
[/mm]
iii) Ist I nichtleer eine beliebige Indexmenge und [mm] (A_i )_i\inI [/mm] in [mm] \tau, [/mm] so liegt auch [mm] \bigcap_{i \in I}A_i [/mm] in [mm] \tau
[/mm]
Man nennt die Elemente A in [mm] \tau [/mm] offene Mengen.
Meine Frage ist, ist jetzt bei ii) eine endliche Vereinigung und bei iii) der beliebige Durchschnitt gemeint? Weil es ist doch eigentlich umgekehrt (steht zumindest bei Wikipedia so)?
[mm] \bigcap_{i=1}^{\infty}( \frac{-1}{n} [/mm] , [mm] 1+\frac{1}{n})=[0,1] [/mm] ist doch ein bekanntes Gegenbeispiel. Oder lese ich zu unsorgfältig?
Wäre super, wenn mir jemand helfen kann. Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Mi 11.04.2012 | | Autor: | cycore |
Hallo Schachtel5,
da hast du völlig recht. An ein System offener Mengen fordert man, dass sie abgeschloßen unter endlichen Schnitten und beliebigen Vereinigungen ist. Dein Gegenbeispiel untermauert das ja mehr oder weniger zu genüge.
Was ich mir zur Rettung der Mitschrift vorstellen könnte: Man kann eine Topologie natürlich auch durch ein System abgeschloßener Mengen angeben und dann fordert man genau die Axiome, die du aufführst. Jedoch wäre das eher ungewöhnlich, denn mittlerweile wird (in der Definition) kaum noch zwischen der Topologie (als Prinzip, Konstruktion, ...) und der konkreten Angabe eines Systems offener Mengen unterschieden.
Grüße, cycore
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
Achso okay vielen Dank =D.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, wie ist die Definition einer Topologie zu
> verstehen:
> So hatten wir es in der Vorlesung (war aber nicht da,
> schreibe gerade die Mitschrift ab) Wir nennen [mm]2^{\Omega}[/mm]
> die Potenzmenge von [mm]\Omega[/mm] .
> Ein Mengensystem [mm]\tau \subseteq 2^{\Omega}[/mm] heißt
> Topologie, falls
> i) [mm]\emptyset, \Omega[/mm] in [mm]\tau[/mm]
> ii)A,B in [mm]\tau[/mm] => A [mm]\cup[/mm] B in [mm]\tau[/mm]
> iii) Ist I nichtleer eine beliebige Indexmenge und [mm](A_i )_i\inI[/mm]
> in [mm]\tau,[/mm] so liegt auch [mm]\bigcap_{i \in I}A_i[/mm] in [mm]\tau[/mm]
> Man nennt die Elemente A in [mm]\tau[/mm] offene Mengen.
>
> Meine Frage ist, ist jetzt bei ii) eine endliche
> Vereinigung und bei iii) der beliebige Durchschnitt
> gemeint? Weil es ist doch eigentlich umgekehrt (steht
> zumindest bei Wikipedia so)?
> [mm]\bigcap_{i=1}^{\infty}( \frac{-1}{n}[/mm] , [mm]1+\frac{1}{n})=[0,1][/mm]
> ist doch ein bekanntes Gegenbeispiel. Oder lese ich zu
> unsorgfältig?
> Wäre super, wenn mir jemand helfen kann. Lg
vermutlich hat ein verwirrter Mensch (der Prof., oder der Dozent oder derjenige, der Dir die Mitschrift gegeben hat) einfach [mm] $\cap$ [/mm] und [mm] $\cup$ [/mm] vertauscht.
Man kann eine Topologie auch nur, wie in der anderen Antwort, über abgeschlossene Mengen auf Umwegen definieren:
Eine Menge ist ja genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen, also ein Element in der Topologie, ist.
(Jedenfalls, wenn die Topologie die Menge der offenen Teilmengen sein soll. Auf Wikipedia gibt's halt den Hinweis (im Artikel "Topologie, Unterpunkt Topologischer Raum"), dass man manchmal auch die "Menge der abgeschlossenen Teilmengen" als Topologie definiert. Kurzgesagt: Das sind zwei verschiedene Mengen von Teilmengen: [mm] $\tau_{\text{abgeschl.}}=\{A^c: A \in \tau_{\text{offen}}\}$ [/mm] und [mm] $\tau_{\text{offen}}=\{A^c: A \in \tau_{\text{abgeschl.}}\}\,.$ [/mm] Und dabei ist [mm] $\tau_{\text{offen}}$ [/mm] halt die "übliche" Definition mit der Menge der "offenen Teilmengen", und [mm] $\tau_{\text{abgeschl.}}$ [/mm] halt "die andere". Wenn Euer Dozent/Prof. wirklich sowas wie [mm] $\tau_{\text{abgeschl.}}$ [/mm] definieren wollte, dann hat er sich einfach vertan - denn die obige Definition passt auch dazu nicht!)
Beachte, dass dies nicht besagt, dass, wenn eine Menge abgeschlossen ist, ihr Komplement nicht in der Topologie liegt: Es gibt nämlich Mengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind (trivialerweise erfüllt [mm] $\emptyset$ [/mm] das).
Und wenn man nun ii) durch die richtige Forderung
$$A,B [mm] \in \tau \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in \tau$$
[/mm]
ersetzt, so folgt direkt mit vollständiger Induktion, dass stets auch endliche Schnitte von Mengen der Topologie wieder in der Topologie liegen!
Und das richtige iii)
[mm] $$A_i \in \tau \text{ für alle }i \text{ aus einer Indexmenge }I \Rightarrow \bigcup_{i \in I}A_i \in \tau$$
[/mm]
besagt wirklich dann, dass beliebige Vereinigungen von Elementen der Topologie wieder ein Element der Topologie sein sollen: Schließlich fordert man ja nichts an [mm] $I\,$ [/mm] (weder Endlichkeit noch Abzählbarkeit noch ...).
P.S.
Für was man $I [mm] \not=\emptyset$ [/mm] bei iii) fordert, weiß ich nicht. Der Schnitt über die leere Menge wird meist jedenfalls als die "betrachtete Grundmenge" definiert - nach i) liegt die eh immer in der Topologie. Es scheint mir, dass man sich $I [mm] \not=\emptyset$ [/mm] sparen kann. Aber wirklich wichtig ist das nicht: Wer betrachtet schon leere Indexmengen bei topologischen Strukturen?
Achtung: Man ersetze in meiner Antwort, wenn ich von "der" Toplogie oder ähnliches rede, das Wort "der" durch "eine" etc.. Schließlich ist ja i.a. eine Topologie nicht eindeutig bestimmt - sondern solch ein Mengensystem wird entsprechend als Topologie bezeichnet, wenn es die geforderten Eigenschaften erfüllt.
Gruß,
Marcel
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Achso, ich habe beim googeln auch davon gelesen, dass man manchmal [mm] \tau_{\text{abgeschl.}} [/mm] definiert (weiss jetzt nicht was der Prof noch in der Vorlesung dazu gesagt hat, ist blöd dass sie sich mit ner anderen wichtigen VL überschneidet, muss noch abwägen), aber das klärt dann jetzt nochmal alles zur Def., danke euch beiden!! Jetzt hänge ich gerade an der Verbindung Metrik und Topologie, ich weiss nicht ob ich dass jetzt hier fragen darf oder dafür insg ein neue Frage stellen soll, obwohl sie damit zusammenhängt? Ich stelle sie mal hier: Was kann man sich denn jetzt drunter vorstellen oder was meint man damit, dass man jeder Metrik auf einer Menge eine Topologie zuordnen kann, bzw. von einer Metrik erzeugten Topologie? Mit einer Metrik kennt man ja offene epsilon-Umgebungen meint man diese damit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Do 12.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Achso, ich habe beim googeln auch davon gelesen, dass man
> manchmal [mm]\tau_{\text{abgeschl.}}[/mm] definiert (weiss jetzt
> nicht was der Prof noch in der Vorlesung dazu gesagt hat,
> ist blöd dass sie sich mit ner anderen wichtigen VL
> überschneidet, muss noch abwägen), aber das klärt dann
> jetzt nochmal alles zur Def., danke euch beiden!! Jetzt
> hänge ich gerade an der Verbindung Metrik und Topologie,
> ich weiss nicht ob ich dass jetzt hier fragen darf oder
> dafür insg ein neue Frage stellen soll, obwohl sie damit
> zusammenhängt? Ich stelle sie mal hier: Was kann man sich
> denn jetzt drunter vorstellen oder was meint man damit,
> dass man jeder Metrik auf einer Menge eine Topologie
> zuordnen kann, bzw. von einer Metrik erzeugten Topologie?
> Mit einer Metrik kennt man ja offene epsilon-Umgebungen
> meint man diese damit?
nein, die Menge der offenen [mm] $\epsilon$-Umgebungen [/mm] sind aber eine Basis der angesprochenen Topologie - aber das lernst Du erst später.
Du weißt doch, dass man in einem metrischen Raum $(X,d)$ sagt, dass $O [mm] \subseteq [/mm] X$ (genau dann) offen ist, wenn es zu jedem $o [mm] \in [/mm] O$ ein [mm] $\epsilon=\epsilon(o) [/mm] > 0$ so gibt, dass die (offene) [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] um [mm] $o\,,$ [/mm] also [mm] $U:=U_{\epsilon}(o):=\{r \in X: d(r,o) < \epsilon\}$ [/mm] erfüllt
$$U [mm] \subseteq O\,.$$
[/mm]
(Kurz: Um jeden Punkt aus [mm] $O\,$ [/mm] kann man einen offenen Ball angeben, der vollständig in [mm] $O\,$ [/mm] liegt.)
Man kann dann auch etwa sagen, dass man [mm] $O\,$ [/mm] dann [mm] $d\,$-offen [/mm] oder offen bzgl. [mm] $d\,$ [/mm] nennt.
Und nun ist [mm] $\tau_d:=\{O \subseteq X: O \text{ ist }d-\text{offen}\}$ [/mm] diese von Dir angesprochene Topologie auf [mm] $X\,.$
[/mm]
Und weil offene Bälle offen sind (was man ja auch in der Analysis beweist), sind die von Dir angesprochenen offenen Bälle natürlich auch in [mm] $\tau_d$ [/mm] enthalten - aber i.a. ist [mm] $\tau_d$ [/mm] größer. (Du kennst doch schon im [mm] $\IR^2$ [/mm] offene, krummlinig berandete Mengen, die "nicht wie offene Bälle (offene Kreisscheiben) aussehen").
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Do 12.04.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
Achsoo, vielen Dank das du es erklärt hast! Lg
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