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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Definition Totale Diff.barkeit
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Definition Totale Diff.barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Mi 29.11.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich habe die ein oder andere Verständnisfrage zur Definition der totalen Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen, die da lautet:

Sei U [mm] \in \IR^{n} [/mm] eine offene Menge und f: U [mm] \to \IR^{n} [/mm] eine Abbildung. f heißt im Punkt x [mm] \in [/mm] U total differenzierbar (oder differenzierbar schlechthin), falls es eine lineare Abbildung

A: [mm] \IR^{n} \to \IR^{m} [/mm]

gibt, so dass in einer Umgebung von x gilt

f(x + [mm] \xi) [/mm] = f(x) + A [mm] \xi [/mm] + [mm] \phi(\xi), [/mm]

wobei [mm] \phi [/mm] eine in einer Umgebung von 0 [mm] \in \IR^{n} [/mm] definierte Funktion mit Werten in [mm] \IR^{m} [/mm] ist mit

[mm] \lim_{\xi \to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||} [/mm] = 0.


Zum Vergleich, im eindimensionalen lautet die Definition:

Sei V [mm] \subset \IR [/mm] und a [mm] \in [/mm] V ein Häufungspunkt von V. Eine Funktion f : V [mm] \to \IR [/mm] ist genau dann im Punkt a differenzierbar, wenn es eine Konstante c [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass

f(x) = f(a) + c(x-a) + [mm] \phi(x), [/mm] (x [mm] \in [/mm] V),

wobei [mm] \phi [/mm] eine Funktion ist, für die gilt:

[mm] \lim_{x \to a, x \not= a} \frac{\phi(x)}{x-a} [/mm] = 0.


--------------

Um nun zu meiner Verständnisfrage zu kommen:

Die Definition der Differenzierbarkeit im Eindimensionalen ergibt sich aus der Definition der totalen Differenzierbarkeit im Falle n = m = 1.

Warum wird gefordert, dass [mm] \lim_{\xi \to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||} [/mm] = 0 ist und wieso genügt es nicht, dass [mm] \lim_{\xi \to 0} \phi(\xi) [/mm] = 0 ist?

Übertragen auf den eindimensionalen Fall würde dies ja bedeuten, dass die Funktion [mm] \phi(x) [/mm] schneller gegen 0 konvergieren muss als der Term (x-a), der ja - bei der Grenzwertbetrachtung - auch gegen 0 strebt.
Was wäre hier der Fall, wenn man nur [mm] \lim_{x \to a} \phi(x) [/mm] = 0 fordern würde?



Ich wäre euch wie immer für eure Antworten sehr dankbar! :-)

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Definition Totale Diff.barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 Mi 29.11.2017
Autor: donquijote

Hallo,
nimm eine beliebige stetige Funktion f und wähle c=0. Dann ist [mm]\phi(x)=f(x)-f(a)\Rightarrow\lim_{x\to a}\phi(x)=0[/mm].
Also wären alle stetigen Funktionen differenzierbar mit Ableitung 0.

Der entscheidende Punkt bei der richtigen Definition der Ableitung ist ja, dass die Funktion f und ihre Linearisierung an der Stelle a die gleiche Steigung haben. Dies ist nur der Fall, wenn die Abweichung zwischen beiden stärker als linear gegen 0 geht.

Bezug
                
Bezug
Definition Totale Diff.barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 Mi 29.11.2017
Autor: X3nion

Hi donquijote und vielen Dank für deine Erläuterung!

Der Punkt, dass [mm] \lim \phi(x) [/mm] = 0 nicht genügt, leuchtet mir nun ein.

Was wäre dagegen die Begründung dafür, dass die Abweichung zwischen Funktion f und Linearisierungsfunktion stärker als linear gegen 0 konvergieren muss?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Definition Totale Diff.barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:26 Mi 29.11.2017
Autor: donquijote


> Hi donquijote und vielen Dank für deine Erläuterung!
>  
> Der Punkt, dass [mm]\lim \phi(x)[/mm] = 0 nicht genügt, leuchtet
> mir nun ein.
>  
> Was wäre dagegen die Begründung dafür, dass die
> Abweichung zwischen Funktion f und Linearisierungsfunktion
> stärker als linear gegen 0 konvergieren muss?

Hallo nochmal,
für eine diffbare Funktion (egal ob mit einer oder mehreren Variablen) ist [mm]f(x)-f(a)=O(|x-a|)[/mm], d.h. eine lineare Konvergenz hat man in jedem Fall. Die lineare Abbildung A in der Definition wird erst dann eindeutig bestimmt, wenn sie das lineare Wachstum von f(x)-f(a) wiedergibt. Das tut sie aber nur, wenn "das was übrig bleibt", also [mm]\phi[/mm], in einer Umgebung von x schwächer als linear wächst.


>  
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                
Bezug
Definition Totale Diff.barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:54 Mi 29.11.2017
Autor: X3nion

Hallo donquijote und Danke, nun ist es mir klarer geworden!

Mal nochmal kurz zusammengefasst: Ist es so, dass - wenn [mm] \phi(x) [/mm] linear ist - der Term [mm] \frac{\phi(x)}{x-a} [/mm] für x [mm] \to [/mm] a gegen eine reelle Zahl c [mm] \in \IR [/mm] konvergiert, und - wenn [mm] \phi(x) [/mm] eine Funktion ist, die langsamer als x-a wächst zum Beispiel [mm] \sqrt{x} [/mm] - der Term [mm] \frac{\phi(x)}{x-a} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] divergiert?



Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                        
Bezug
Definition Totale Diff.barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:13 Do 30.11.2017
Autor: donquijote


> Hallo donquijote und Danke, nun ist es mir klarer
> geworden!
>  
> Mal nochmal kurz zusammengefasst: Ist es so, dass - wenn
> [mm]\phi(x)[/mm] linear ist - der Term [mm]\frac{\phi(x)}{x-a}[/mm] für x
> [mm]\to[/mm] a gegen eine reelle Zahl c [mm]\in \IR[/mm] konvergiert, und -

Guten Morgen,
grundsätzlich ja, wobei du bei der Definition von [mm]\phi(x)[/mm] etwas aufpassen musst. Bei einer differentierbaren Funktion ist [mm]f(x)=f(a)+c(x-a)+r(x)[/mm] mit einer eindeutig bestimmten Konstante c=f'(a), wobei
[mm]\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=c+\lim_{x\to a}\frac{r(x)}{x-a}=c\Leftrightarrow\lim_{x\to a}\frac{r(x)}{x-a}=0[/mm].

> wenn [mm]\phi(x)[/mm] eine Funktion ist, die langsamer als x-a
> wächst zum Beispiel [mm]\sqrt{x}[/mm] - der Term
> [mm]\frac{\phi(x)}{x-a}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] divergiert?
>  

Ist f an der Stelle x=a nicht diffbar, so ist dies eine von mehreren Möglichkeiten. In jedem Fall bedeutet dass, das kein endlicher Grenzwert existiert, es muss aber kein bestimmte Divergenz gegen [mm]\infty[/mm] vorliegen. Ist f beispielsweise eine Trajektorie eine Wiener-Prozesses (https://de.wikipedia.org/wiki/Wiener-Prozess, typisches Beispiel für eine stetige aber nirgends diffbare Funktion), so existiert [mm]\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}[/mm] (fast sicher) weder in [mm]\mathbb{R}[/mm] noch in [mm]\pm\infty[/mm].

>
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                                
Bezug
Definition Totale Diff.barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 Do 30.11.2017
Autor: X3nion

Hallo und vielen Dank für deine weitere Erläuterung!


> Guten Morgen,
>  grundsätzlich ja, wobei du bei der Definition von [mm]\phi(x)[/mm]
> etwas aufpassen musst. Bei einer differentierbaren Funktion
> ist [mm]f(x)=f(a)+c(x-a)+r(x)[/mm] mit einer eindeutig bestimmten
> Konstante c=f'(a), wobei
>  [mm]\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=c+\lim_{x\to a}\frac{r(x)}{x-a}=c\Leftrightarrow\lim_{x\to a}\frac{r(x)}{x-a}=0[/mm].
>  

Nun ist es ja so, dass [mm] \lim_{x \to a} \frac{\phi(x)}{x-a} [/mm] = 0 gelten muss, damit dieser Satz mit der Definition äquivalent ist. Insbesondere steht also im Nenner der Term (x-a), und dieser muss da stehen, damit schlussendlich aus f(x) = f(a) + c(x-a) + [mm] \phi(x) [/mm] durch Subtraktion von f(a) und Teilen durch (x-a) da steht:

[mm] \frac{f(x) - f(a)}{x - a} [/mm]  - c = [mm] \frac{\phi(x)}{x-a} [/mm]

Also im Endeffekt ergibt sich durch Teilen von (x-a) der Differentenquotient [mm] \frac{f(x) - f(a)}{x - a}. [/mm]

Worauf meine Frage nun hinauszielt: Es würde keinen Sinn ergeben, wenn die Darstellung zB so lauten würde: f(x) = f(a) + [mm] c(x-a)^{2} [/mm] + [mm] \phi(x), [/mm] denn dies würde zu [mm] \frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^{2}} [/mm]  - c = [mm] \frac{\phi(x)}{(x-a)^{2}} [/mm] und somit stünde im Term links vor dem (-c) nicht mehr der Differentenquotient.

Aber wie ist es nun im Mehrdimensionalen, wieso steht im Nenner von [mm] \lim_{\xi \to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||} [/mm] die Norm [mm] ||\xi||, [/mm] also woraus wird das ersichtlich?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                                        
Bezug
Definition Totale Diff.barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:43 Do 30.11.2017
Autor: donquijote


> Hallo und vielen Dank für deine weitere Erläuterung!
>  
>
> > Guten Morgen,
>  >  grundsätzlich ja, wobei du bei der Definition von
> [mm]\phi(x)[/mm]
> > etwas aufpassen musst. Bei einer differentierbaren Funktion
> > ist [mm]f(x)=f(a)+c(x-a)+r(x)[/mm] mit einer eindeutig bestimmten
> > Konstante c=f'(a), wobei
>  >  [mm]\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=c+\lim_{x\to a}\frac{r(x)}{x-a}=c\Leftrightarrow\lim_{x\to a}\frac{r(x)}{x-a}=0[/mm].
>  
> >  

>
> Nun ist es ja so, dass [mm]\lim_{x \to a} \frac{\phi(x)}{x-a}[/mm] =
> 0 gelten muss, damit dieser Satz mit der Definition
> äquivalent ist. Insbesondere steht also im Nenner der Term
> (x-a), und dieser muss da stehen, damit schlussendlich aus
> f(x) = f(a) + c(x-a) + [mm]\phi(x)[/mm] durch Subtraktion von f(a)
> und Teilen durch (x-a) da steht:
>  
> [mm]\frac{f(x) - f(a)}{x - a}[/mm]  - c = [mm]\frac{\phi(x)}{x-a}[/mm]
>  
> Also im Endeffekt ergibt sich durch Teilen von (x-a) der
> Differentenquotient [mm]\frac{f(x) - f(a)}{x - a}.[/mm]

Hallo nochmal,
um die Notation konsistent zu machen schhreiben wir im Fall einer differenzierbaren Funktion einer Variable
[mm]f(x+\xi)=f(x)+c\xi+\phi(\xi)[/mm] mit c=f'(x) und [mm]\lim_{\xi\to 0}\frac{\phi(\xi)}{\xi}=0[/mm] ([mm]\xi[/mm] entspricht x-a).
Das ist gleichbedeutend mit [mm]\lim_{\xi\to 0}\frac{\phi(\xi)}{|\xi|}=0[/mm], somit ist das exakt die gleiche Defintion wie im mehrdimensionalen Fall. Den Betrag von [mm]\xi[/mm] muss man hier nehmen, da das Teilen durch einen Vektor wenig Sinn ergibt.


>  
> Worauf meine Frage nun hinauszielt: Es würde keinen Sinn
> ergeben, wenn die Darstellung zB so lauten würde: f(x) =
> f(a) + [mm]c(x-a)^{2}[/mm] + [mm]\phi(x),[/mm] denn dies würde zu [mm]\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^{2}}[/mm]
>  - c = [mm]\frac{\phi(x)}{(x-a)^{2}}[/mm] und somit stünde im Term
> links vor dem (-c) nicht mehr der Differentenquotient.
>  
> Aber wie ist es nun im Mehrdimensionalen, wieso steht im
> Nenner von [mm]\lim_{\xi \to 0} \frac{\phi(\xi)}{||\xi||}[/mm] die
> Norm [mm]||\xi||,[/mm] also woraus wird das ersichtlich?
>  
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                                                
Bezug
Definition Totale Diff.barkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Fr 01.12.2017
Autor: X3nion

Hallo donquijote und vielen Dank für deine übertragende Erläuterung

Also kann man sagen, dass man versucht hat, die Definition vom Eindimensionalen in‘s Mehrdimensionale zu übertragen und man dann gemerkt hat, dass es sinnig ist durch [mm] ||\xi|| [/mm] zu teilen?
Und dass das c dann halt keine Konstante ist, sondern eine zu der linearen Abbildung kompatiblen Matrix?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                                                        
Bezug
Definition Totale Diff.barkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Sa 02.12.2017
Autor: fred97


> Hallo donquijote und vielen Dank für deine übertragende
> Erläuterung
>  
> Also kann man sagen, dass man versucht hat, die Definition
> vom Eindimensionalen in‘s Mehrdimensionale zu übertragen
> und man dann gemerkt hat, dass es sinnig ist durch [mm]||\xi||[/mm]
> zu teilen?
>  Und dass das c dann halt keine Konstante ist, sondern eine
> zu der linearen Abbildung kompatiblen Matrix?
>  

Ja,so kann man das sagen.

>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                                                                
Bezug
Definition Totale Diff.barkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:04 Mo 04.12.2017
Autor: X3nion

Alles klar, vielen Dank!

Gruß X3nion

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