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Forum "Algebra" - Definition Verständnis
Definition Verständnis < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Definition Verständnis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:34 Mi 02.05.2018
Autor: Mandy_90

Aufgabe
Definition (Gruppenwirkung):
Sei X [mm] \not= \emptyset [/mm] eine Menge. Eine Wirkung von G auf X ist eine Abbildung X x G [mm] \to [/mm] X, (x,g) [mm] \mapsto x^{g}, [/mm] die folgende Bedingungen erfüllt.
i. Für alle x [mm] \in [/mm] X gilt: [mm] x^{1}=x. [/mm]
ii. Für alle x [mm] \in [/mm] X, g,h [mm] \in [/mm] G gilt: [mm] (x^{g})^{h}=x^{gh}. [/mm]
Wir nennen X auch einen G-Raum.


Hallo Leute,

ich verstehe diese Definition nicht so ganz. Was ist das [mm] x^{1} [/mm] ? Und was ist [mm] (x^{g})^{h} [/mm] ? Ist [mm] (x^{g})^{h}=h(g(x)) [/mm] ? Aber g,h sind doch Elemente der Gruppe G und nicht Funktionen oder ? Ich komme grad durcheinander.

lg
Mandy_90

        
Bezug
Definition Verständnis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:43 Mi 02.05.2018
Autor: fred97


> Definition (Gruppenwirkung):
>  Sei X [mm]\not= \emptyset[/mm] eine Menge. Eine Wirkung von G auf X
> ist eine Abbildung X x G [mm]\to[/mm] X, (x,g) [mm]\mapsto x^{g},[/mm] die
> folgende Bedingungen erfüllt.
> i. Für alle x [mm]\in[/mm] X gilt: [mm]x^{1}=x.[/mm]
>  ii. Für alle x [mm]\in[/mm] X, g,h [mm]\in[/mm] G gilt:
> [mm](x^{g})^{h}=x^{gh}.[/mm]
>  Wir nennen X auch einen G-Raum.
>  Hallo Leute,
>  
> ich verstehe diese Definition nicht so ganz. Was ist das
> [mm]x^{1}[/mm] ? Und was ist [mm](x^{g})^{h}[/mm] ? Ist [mm](x^{g})^{h}=h(g(x))[/mm] ?
> Aber g,h sind doch Elemente der Gruppe G und nicht
> Funktionen oder ? Ich komme grad durcheinander.

Nennen wir die Abbildung, die Wirkung,  von X x G [mm] \to [/mm] X einfach mal f.

Für x [mm] \in [/mm] X und g [mm] \in [/mm] G ist [mm] x^g [/mm] einfach eine Abkürzung für f(x,g).

Mehr steckt nicht dahinter. Mit 1 ist das neutrale Element (Einselement) in G gemeint.

>  
> lg
>  Mandy_90


Bezug
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