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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mo 09.06.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | Sei X eine Menge [mm]\delta[/mm] die eine dirskrete Metrik auf X. Sei [mm](a_n)_{n\in \IN^{\*}}[/mm] eine Folge in X und (Y,d) ein belieber metrischer Raum. Geben Sie zu den folgenden Aussagen gleichbedeutende Aussagen an, die keine topologischen Begriffe verwenden:
a) A ist eine offene Teilmenge von X
b) A ist abgeschlossene Teilmenge von X
c) A ist beschränkte Teilmenge von X |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ich hab mit den topologischen Begriffen so meine Probleme, gemeint sind doch damit Begriffe wie Metrik, metrischer Raum, Abstand etc. oder?
Also könnte ich zum Beispiel schreiben für a). A ist genau dann offen, wenn das Komplement [mm] X\M [/mm] abgeschlossen ist.
Komplement gehört doch nicht zu den topologischen Begriffen?
Ich versteh den Sinn der Aufgabe irgendwie noch nicht ganz.
Grüße,
Marie
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> Sei X eine Menge [mm]\delta[/mm] die eine dirskrete Metrik auf X.
> Sei [mm](a_n)_{n\in \IN^{\*}}[/mm] eine Folge in X und (Y,d) ein
> belieber metrischer Raum. Geben Sie zu den folgenden
> Aussagen gleichbedeutende Aussagen an, die keine
> topologischen Begriffe verwenden:
> a) A ist eine offene Teilmenge von X
> b) A ist abgeschlossene Teilmenge von X
> c) A ist beschränkte Teilmenge von X
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite
> gestellt.
>
> Hi,
> ich hab mit den topologischen Begriffen so meine Probleme,
> gemeint sind doch damit Begriffe wie Metrik, metrischer
> Raum, Abstand etc. oder?
>
> Also könnte ich zum Beispiel schreiben für a). A ist genau
> dann offen, wenn das Komplement [mm]X\M[/mm] abgeschlossen ist.
> Komplement gehört doch nicht zu den topologischen
> Begriffen?
>
> Ich versteh den Sinn der Aufgabe irgendwie noch nicht
> ganz.
Hallo,
so, wie Du sie aufschreibst, verstehe ich sie auch nicht. Ich weiß nämlich nicht, was es mit der Folge [mm] (a_n) [/mm] auf sich hat, und was man mit der Menge Y und der zugehörigen Metrik tun soll.
Die Aufgabe ansonsten verstehe ich so:
Du sollst z.B. charakterisieren, wie eine Menge A [mm] \subseteq [/mm] X aussieht, die offen ist. "Offen" bezieht sich hier auf die diskrete Metrik, mit welcher X lt. Aufgabe versehen sein soll. Falls Du nicht weißt, was das ist, mußt Du das erstmal herausfinden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Mo 09.06.2008 | | Autor: | xMariex |
Hi,
die Aufgabe geht noch weiter mit
d) A ist kompakte Teilmenge von X
e) [mm](a_n)_{n\in\IN^{\*}}[/mm] ist konvergent
f) f:X->Y ist stetig
ich denke man brauch die Sachen erst hier. Ich hatte das nicht mit abgeschrieben, weil es ja eigentl. nur um das Verständnis der Aufgabe geht.
Ist die Metrik nicht aber ein Begriff aus der Topologie? Und den dürfte ich dann ja nicht verwenden.
Ansonsten wäre es ja der Fall wenn die Teilmenge nur "innere Punkte" enthält, also wenn jeder Punkt aus A auch eine epsilon-Umgebung hat. Und dieser Bereich in dem die innere Punkte enthalten sind, wird durch eine Metrik angegeben.
Grüße,
Marie
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> Ist die Metrik nicht aber ein Begriff aus der Topologie?
> Und den dürfte ich dann ja nicht verwenden.
> Ansonsten wäre es ja der Fall wenn die Teilmenge nur
> "innere Punkte" enthält, also wenn jeder Punkt aus A auch
> eine epsilon-Umgebung hat. Und dieser Bereich in dem die
> innere Punkte enthalten sind, wird durch eine Metrik
> angegeben.
Hallo,
ja. Und diese Metrik ist jetzt eben die diskrete Metrik, und Du sollst mal schauen, was sich ergibt, wenn Du die diskrete Metrik verwendest.
Welche Punkte liegen denn für ein [mm] x\in [/mm] X in irgendeiner [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] v. x ? In diese Richtung soll man hier denken.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:09 Di 10.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich denke die Aufgabe ist so gemeint, dass Begriffe wie "offen", "abgeschlossen", "stetig", "kompakt", etc.... vermieden werden sollen.
Da X die diskrete Metrik trägt ist das sehr einfach.
Z.B. ist eine Folge in X genau dann konvergent, wenn sie fast konstant ist (also konstant ab einem Index). Das wäre eine Char. der Folgenkonvergenz, die ohne topologische Begriffe auskommt ("fastkonstant" ist kein topologischer Begriff)
Wenn Du Dir nun überlegst, dass in metr. Räumen "kompakt" und "folgenkompakt" äquivalent sind, so dürfte eine Char. der Kompaktheit nicht schwerfallen
FRED
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