Definitions & Wertebereich < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Angenommen ich habe eine Funktion
f: x [mm] \mapsto k^{2}, [/mm] x [mm] \in \IR^{+}, [/mm] k [mm] \in \IR,
[/mm]
dann kann man das ja auch schreiben als:
f: [mm] \IR^{+} \to \IR^{+},
[/mm]
da [mm] k^{2} [/mm] ja nur positive Werte annehmen kann.
Folglich bezeichnet [mm] \IR^{+} [/mm] sowohl den Definitionsbereich, als auch den Wertebereich (=Bildmenge?) der Funktion f.
Wie aber nennt sich jetzt die Menge, auf der k definiert ist (in diesem Fall [mm] \IR)?
[/mm]
Ist das der "Definitionsbereich", bzw. die "Definitionsmenge" von k, oder gibt es da einen anderen Ausdruck?
Danke im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Mi 28.07.2010 | | Autor: | max3000 |
Die Definition deiner Funktion macht nur wenig Sinn.
In der Funktionsdefinition [mm] f(x)=k^2 [/mm] hast du ja dann nur einen konstanten Wert, also [mm] k^2, [/mm] was Gleichzeitig das einzige Element im Wertebereich wäre.
[mm] \IR_+ [/mm] ist Definitionsbereich, so wie es oben dasteht.
|
|
|
| |
|
Danke schonmal.
Ich bin allerdings ein wenig verwirrt.
Wenn ich jetzt ein Gleichungssystem aufstelle:
x= [mm] \bruch{k^{2}}{g}
[/mm]
y= [mm] \bruch{g^{2}}{k^{2}}
[/mm]
und ich will angeben, wann dieses System eine eindeutige Lösung für g und k hat, ist es dann nicht sinnvoll, das ganze als Funktion
h: (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (g,k)
darzustellen, um dann sagen zu können, dass diese Funktion h bijektiv sein muss?
Oder wie drücke ich das am besten aus?
|
|
|
| |
|
Huhu,
> ist es dann nicht sinnvoll, das ganze als Funktion
>
> h: (x,y) [mm]\mapsto[/mm] (g,k)
>
> darzustellen, um dann sagen zu können, dass diese Funktion
> h bijektiv sein muss?
> Oder wie drücke ich das am besten aus?
also das halte ich nur bedingt für sinnvoll.
So nebenbei: Eindeutig ist das Gleichungssystem ohne Einschränkungen an k nicht zu lösen.
Einfacher wäre es, das Gleichungssystem direkt zu lösen, schauen wir es uns dazu erstmal an:
$x= [mm] \bruch{k^{2}}{g} [/mm] $
$y= [mm] \bruch{g^{2}}{k^{2}} [/mm] $
Die erste Einschränkung erkennt man sofort (sofern man das Gleichungssystem in [mm] \IR [/mm] lösen möchte): $y > 0, [mm] x\not= [/mm] 0$ muss gelten, sonst gibt es keine Lösung.
Einfache Umformung bringt die erste Gleichung auf $gx = [mm] k^2$, [/mm] einsetzen in die zweite:
$y = [mm] \bruch{g^{2}}{k^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{g^{2}}{gx} [/mm] = [mm] \bruch{g}{x}$ [/mm]
[mm] $\gdw [/mm] g = x*y$
Wir erinnern uns an $gx = [mm] k^2$, [/mm] setzen ein und erhalten:
[mm] $k^2 [/mm] = gx = xy*x = x^2y$
und erhält 2 Lösungen für k:
$k = [mm] \pm\sqrt{x^2y} [/mm] = [mm] \pm|x|\sqrt{y}$
[/mm]
Ergo wird das Gleichungssystem zu gegebenem $y > 0, [mm] x\not=0$ [/mm] gelöst durch:
[mm] $\gdw [/mm] g = xy, k = [mm] \pm|x|\sqrt{y}$
[/mm]
Andernfalls ist es unlösbar.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Zunächst mal danke ich für die Lösung.
Was ich jedoch eigentlich möchte, ist eine allgemeine Bedingung zu formulieren, die besagt, dass ein solches Gleichungssystem (also mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen) eine eindeutige Lösung besitzt. Meinetwegen auch, indem die "Definitionsbereiche"(ist das Überhaupt der richtige Ausdruck für die Menge der Werte, auf denen k und g definiert sind?) von k und g entsprechend eingeschrängt werden.
Ich dachte da etwa an eine Notation für einen Satz wie:
"Seien die "Definitionsbereiche" von g, k, x, y entsprechend definiert, sodass für alle g,k und x,y eine eindeutige Zuordnung existiert."
oder
"Seien die "Definitionsbereiche" von g, k, x, y entsprechend definiert, sodass für alle g,k und x,y eine bijektive Abbildung h: [mm] \mathcal{D}_{g}\times \mathcal{D}_{k} \to \mathcal{D}_{x}\times \mathcal{D}_{y} [/mm] des (g,k)-Raumes auf den (x,y)-Raum existiert"
wobei [mm] \mathcal{D}_{g}, \mathcal{D}_{k}, \mathcal{D}_{x}, \mathcal{D}_{y} \subseteq \IR [/mm] die entsprechenden "Definitionsbereiche" bezeichnen.
Ich möchte also kein Gleichungssystem konkret lösen, sondern nur in "Mathenotation" sagen, dass ich für entsprechend definierte "Definitionsbereiche" die Existenz einer eindeutigen Lösung unterstelle.
Danke nochmals für Eure Hilfe.
|
|
|
| |
|
Huhu,
ich glaube du willst etwas komplizierter ausdrücken, als es eigentlich ist.
Am "mathematischsten" wäre die einfachste Lösung, nämlich der Satz:
"Gegeben sei ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen, welches eindeutig lösbar ist."
Fertig.
Alles andere wäre nur unnötig komplizierter und nicht notwendiger Mehraufwand.
MFG,
Gono.
|
|
|
|
