matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenDefinitionsbereich
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Definitionsbereich
Definitionsbereich < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Definitionsbereich: Def. in Polarkoordinaten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 So 13.12.2015
Autor: Mathemystic

Aufgabe
B sei eine Kreisfläche mit Radius R und Mittelpunkt an der Stelle (x,y) = (0,R).
Berechnen Sie das Integral
[mm] $\integral_{B}^{}\integral_{}^{}{x^{2}+y^{2} dxy}$ [/mm]
in kartesischen und Polarkoordinaten.

Hallo,

hat wer eine Idee wie ich den Integrationsbereich in Polarkoordinaten abstecken kann? Wie es kartesisch funktioniert ist mir klar.

Mein erster Ansatz war natürlich einfach x = [mm] r*cos(\varphi) [/mm] und [mm] y=r*sin(\varphi) [/mm] setzen. Die Grenzen sind dann für [mm] r_{oben} [/mm] =R und [mm] r_{unten}=0. [/mm]
die Grenzen für [mm] \varphi_{unten}=0 [/mm]  und [mm] \varphi_{oben}= 2\pi. [/mm]
Aber wie bekomme ich jetzt noch die Verschiebung auf der y-Achse in den Definitionsbereich?

        
Bezug
Definitionsbereich: andere Grenzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 So 13.12.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> B sei eine Kreisfläche mit Radius R und Mittelpunkt an der
> Stelle (x,y) = (0,R).
>  Berechnen Sie das Integral
>  [mm]\integral_{B}^{}\integral_{}^{}(\,x^{2}+y^{2}\,)\ d\,xy[/mm]
>  in
> kartesischen und Polarkoordinaten.
>  Hallo,
>  
> hat wer eine Idee wie ich den Integrationsbereich in
> Polarkoordinaten abstecken kann? Wie es kartesisch
> funktioniert ist mir klar.
>  
> Mein erster Ansatz war natürlich einfach x =
> [mm]r*cos(\varphi)[/mm] und [mm]y=r*sin(\varphi)[/mm] setzen. Die Grenzen
> sind dann für [mm]r_{oben}[/mm] =R und [mm]r_{unten}=0.[/mm]
>  die Grenzen für [mm]\varphi_{unten}=0[/mm]  und [mm]\varphi_{oben}= 2\pi.[/mm]
>  
> Aber wie bekomme ich jetzt noch die Verschiebung auf der
> y-Achse in den Definitionsbereich?


Wenn Polarkoordinaten mit dem Polarzentrum im
Punkt (x,y) = (0,0)  gemeint sein sollen, kannst du
zwar die Darstellung  $\ x\ =\ [mm] r*cos(\varphi)$ [/mm] und  $\ y\ =\ [mm] r*sin(\varphi)$ [/mm]
benützen, aber du hast andere Grenzen, nämlich:
[mm] \varphi [/mm]  muss nur von 0 bis [mm] \pi [/mm]  laufen, und für jedes
solche  [mm] \varphi [/mm]  läuft der Radius r von 0 bis zu einem
gewissen von  [mm] \varphi [/mm]  abhängigen maximalen Radius
$\ [mm] r_{max}(\varphi)$ [/mm] , dessen Größe du durch eine einfache
trigonometrische Überlegung aus einem rechtwinkligen
Dreieck ableiten kannst.

LG  ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Definitionsbereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:41 Mo 14.12.2015
Autor: Mathemystic


>  
>
> Wenn Polarkoordinaten mit dem Polarzentrum im
>  Punkt (x,y) = (0,0)  gemeint sein sollen, kannst du
>  zwar die Darstellung  [mm]\ x\ =\ r*cos(\varphi)[/mm] und  [mm]\ y\ =\ r*sin(\varphi)[/mm]
>  
> benützen, aber du hast andere Grenzen, nämlich:
>  [mm]\varphi[/mm]  muss nur von 0 bis [mm]\pi[/mm]  laufen, und für jedes
>  solche  [mm]\varphi[/mm]  läuft der Radius r von 0 bis zu einem
>  gewissen von  [mm]\varphi[/mm]  abhängigen maximalen Radius
>  [mm]\ r_{max}(\varphi)[/mm] , dessen Größe du durch eine
> einfache
>  trigonometrische Überlegung aus einem rechtwinkligen
>  Dreieck ableiten kannst.
>  
> LG  ,   Al-Chwarizmi

Hallo Al-Chwarizmi,

danke für die Antwort. Verstehe ich das richtig, Du meinst es gibt ähnlich der Grenzen von [mm] \varphi [/mm] Funktionen mit der ich die Grenzen für [mm] r_{unten} [/mm] und [mm] r_{oben} [/mm] bestimmen kann?

Bezug
                        
Bezug
Definitionsbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Mo 14.12.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al-Chwarizmi,
>  
> danke für die Antwort. Verstehe ich das richtig, Du meinst
> es gibt ähnlich der Grenzen von [mm]\varphi[/mm] Funktionen mit der
> ich die Grenzen für [mm]r_{unten}[/mm] und [mm]r_{oben}[/mm] bestimmen kann?


Ja, mach dir einfach eine Skizze mit dem Koordinaten-
system und dem Kreis mit Zentrum (0,R) und Radius r.
Um die gesamte Kreisfläche zu überstreichen, lässt du
vom Polarzentrom (das wir im Punkt O(0,0) belassen,
einen Strahl vom Winkel 0 (nach rechts zeigend) bis zum
Winkel [mm] \pi [/mm] (nach links) drehen. Für jeden einzelnen
derartigen Strahl muss dann der Punkt von r=0  (also
vom Punkt O weg)  bis zum Endpunkt P der Sehne laufen,
welche der Strahl mit dem Kreis bildet. Du kannst dir
leicht klar machen, dass diese Sehne [mm] \overline{OP} [/mm] die Länge
$\ s\ =\ [mm] 2\,R*sin(\varphi)$ [/mm]  haben muss (betrachte dazu das recht-
winklige Dreieck  OPQ , wobei Q der obere Schnittpunkt
des Kreises mit der y-Achse ist !).

Auf diese Weise kommt man, unter Berücksichtigung
der Funktionaldeterminante zu folgender Darstellung
des Integrals:


     [mm] $\integral_{\varphi=0}^{\pi}\left(\integral_{r=0}^{2\,R*sin(\varphi)} r^2\ \red{*\,r}\ \ dr\,\right)\ d\varphi$ [/mm]

Diese Art der Integration gefällt mir besser als
die andere, die man mit Polarkoordinaten vom Polar-
zentrum (0,R) aus bekommt. Wir haben hier vor
allem einfachere Integranden.

LG ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                                
Bezug
Definitionsbereich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:53 Mo 14.12.2015
Autor: Mathemystic

Hallo Al-Chwarizmi, Hallo Fred97,

danke für Ihre Hilfestellungen.

Ich glaube wenigstens mit der Aussage von Fred ziemlich viel anfangen zu können. Ich werde mir die Aufgabe am Samstag noch einmal zu Gemüte ziehen und eure Ratschläge beherzigen (unter der Woche bin ich zu viel Unterwegs).
Falls dann immer noch was hinkt melde ich mich wieder.

Gruß

Mathemystic

Bezug
                                        
Bezug
Definitionsbereich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:29 Di 15.12.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Al-Chwarizmi, Hallo Fred97,
>  
> danke für Ihre Hilfestellungen.

Hallo Mathemystic,

hier im Matheraum sind wir eigentlich alle per Du.

> Ich glaube wenigstens mit der Aussage von Fred ziemlich
> viel anfangen zu können. Ich werde mir die Aufgabe am
> Samstag noch einmal zu Gemüte ziehen und eure Ratschläge
> beherzigen (unter der Woche bin ich zu viel Unterwegs).
>  Falls dann immer noch was hinkt melde ich mich wieder.

Natürlich sind beide Wege möglich, und beide beruhen
auf Polarkoordinaten. Im Ganzen gesehen geben wohl
auch beide ungefähr gleichviel Aufwand.
Ich würde dir gerne empfehlen, beide Wege durchzu-
spielen. Das ist oft lehrreich.

LG und gute Woche !

Al-Chw.



Bezug
        
Bezug
Definitionsbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:27 Mo 14.12.2015
Autor: fred97


> B sei eine Kreisfläche mit Radius R und Mittelpunkt an der
> Stelle (x,y) = (0,R).
>  Berechnen Sie das Integral
>  [mm]\integral_{B}^{}\integral_{}^{}{x^{2}+y^{2} dxy}[/mm]
>  in
> kartesischen und Polarkoordinaten.
>  Hallo,
>  
> hat wer eine Idee wie ich den Integrationsbereich in
> Polarkoordinaten abstecken kann?


Es ist [mm] B=\{(x,y) \in \IR^2: x=rcos(\phi), y=R+rsin(\phi), 0 \le \phi \le 2 \pi, 0 \le r \le R\} [/mm]

FRED



> Wie es kartesisch
> funktioniert ist mir klar.
>  
> Mein erster Ansatz war natürlich einfach x =
> [mm]r*cos(\varphi)[/mm] und [mm]y=r*sin(\varphi)[/mm] setzen. Die Grenzen
> sind dann für [mm]r_{oben}[/mm] =R und [mm]r_{unten}=0.[/mm]
>  die Grenzen für [mm]\varphi_{unten}=0[/mm]  und [mm]\varphi_{oben}= 2\pi.[/mm]
>  
> Aber wie bekomme ich jetzt noch die Verschiebung auf der
> y-Achse in den Definitionsbereich?


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]