Definitionsbereich? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Lösen Sie [mm] y'=\frac{x}{y}\exp(x^2+y^2). [/mm] |
Hallo,
also mit Trennung der Variablen kommt man ganz leicht auf
[mm] -exp(-y^2)+C=exp(x^2) [/mm] und dann weiter auf
[mm] y=\pm \sqrt{-ln(C-exp(x^2)}.
[/mm]
Meine Frage ist, wie soll der Definitionsbereich aussehen? Im vorangegangenen Schritt kommt man auf [mm] C>exp(x^2), [/mm] also auf [mm] |x|<\sqrt{\ln C}. [/mm] Reicht es jetzt aus, wenn ich [mm] C\geq [/mm] 1 wähle und x in [mm] ]-\sqrt{ln(C)},\sqrt{ln(C}) [/mm] voraussetze.
Irgendwie sollte das unter der Wurzel am Ende ja schon nichtnegativ sein, damit es definiert ist. Ich bin mir nicht sicher, ob das für das oben angegebene Intervall immer der Fall ist. Löse ich ganz banal [mm] -\ln(C-exp(x^2))\geq [/mm] 0 auf, komme ich immer auf so Sachen wie [mm] x^2\geq \ln [/mm] C-1, aber was kann ich denn damit anfangen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mi 11.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Lösen Sie [mm]y'=\frac{x}{y}\exp(x^2+y^2).[/mm]
> Hallo,
> also mit Trennung der Variablen kommt man ganz leicht auf
> [mm]-exp(-y^2)+C=exp(x^2)[/mm] und dann weiter auf
> [mm]y=\pm \sqrt{-ln(C-exp(x^2)}.[/mm]
>
> Meine Frage ist, wie soll der Definitionsbereich aussehen?
> Im vorangegangenen Schritt kommt man auf [mm]C>exp(x^2),[/mm] also
> auf [mm]|x|<\sqrt{\ln C}.[/mm] Reicht es jetzt aus, wenn ich [mm]C\geq[/mm] 1
> wähle und x in [mm]]-\sqrt{ln(C)},\sqrt{ln(C})[/mm] voraussetze.
>
> Irgendwie sollte das unter der Wurzel am Ende ja schon
> nichtnegativ sein, damit es definiert ist. Ich bin mir
> nicht sicher, ob das für das oben angegebene Intervall
> immer der Fall ist. Löse ich ganz banal
> [mm]-\ln(C-exp(x^2))\geq[/mm] 0 auf, komme ich immer auf so Sachen
> wie [mm]x^2\geq \ln[/mm] C-1, aber was kann ich denn damit anfangen?
Hallo,
in deiner letzten Ungleichung fehlt um C-1 eine Klammer.
Wenn C größer als 1 ist, existiert die Funktion y überhaupt erst (mit einem nichtleeren Definitionsbereich, und ebenso existiert dann die Ableitung y'. Es ist zwar für jedes C der Definitionsbereicht eingeschränkt, aber trotzdem existiert dann eine Funktion y, die im Rahmen ihres Definitionsbereichs die DGL erfüllt.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
>
> > Lösen Sie [mm]y'=\frac{x}{y}\exp(x^2+y^2).[/mm]
> > Hallo,
> > also mit Trennung der Variablen kommt man ganz leicht auf
> > [mm]-exp(-y^2)+C=exp(x^2)[/mm] und dann weiter auf
> > [mm]y=\pm \sqrt{-ln(C-exp(x^2)}.[/mm]
> >
> > Meine Frage ist, wie soll der Definitionsbereich aussehen?
> > Im vorangegangenen Schritt kommt man auf [mm]C>exp(x^2),[/mm] also
> > auf [mm]|x|<\sqrt{\ln C}.[/mm] Reicht es jetzt aus, wenn ich [mm]C\geq[/mm] 1
> > wähle und x in [mm]]-\sqrt{ln(C)},\sqrt{ln(C})[/mm] voraussetze.
> >
> > Irgendwie sollte das unter der Wurzel am Ende ja schon
> > nichtnegativ sein, damit es definiert ist. Ich bin mir
> > nicht sicher, ob das für das oben angegebene Intervall
> > immer der Fall ist. Löse ich ganz banal
> > [mm]-\ln(C-exp(x^2))\geq[/mm] 0 auf, komme ich immer auf so Sachen
> > wie [mm]x^2\geq \ln[/mm] C-1, aber was kann ich denn damit
> anfangen?
> Hallo,
> in deiner letzten Ungleichung fehlt um C-1 eine Klammer.
Eigentlich kommt die Klammer nur um das C.
>
> Wenn C größer als 1 ist, existiert die Funktion y
> überhaupt erst (mit einem nichtleeren Definitionsbereich,
> und ebenso existiert dann die Ableitung y'. Es ist zwar
> für jedes C der Definitionsbereicht eingeschränkt, aber
> trotzdem existiert dann eine Funktion y, die im Rahmen
> ihres Definitionsbereichs die DGL erfüllt.
> Gruß Abakus
Ja, aber kann man denn diesen eingeschränkten Definitionsbereich angeben. Es ist doch nicht einfach C>1 und x [mm] \in ]-\sqrt{\ln(C)},\sqrt{\ln(C)}[ [/mm] oder doch?
Oder kann man die Bedingung an x nur implizit angeben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mi 11.04.2012 | | Autor: | abakus |
> >
> > > Lösen Sie [mm]y'=\frac{x}{y}\exp(x^2+y^2).[/mm]
> > > Hallo,
> > > also mit Trennung der Variablen kommt man ganz leicht auf
> > > [mm]-exp(-y^2)+C=exp(x^2)[/mm] und dann weiter auf
> > > [mm]y=\pm \sqrt{-ln(C-exp(x^2)}.[/mm]
> > >
> > > Meine Frage ist, wie soll der Definitionsbereich aussehen?
> > > Im vorangegangenen Schritt kommt man auf [mm]C>exp(x^2),[/mm] also
> > > auf [mm]|x|<\sqrt{\ln C}.[/mm] Reicht es jetzt aus, wenn ich [mm]C\geq[/mm] 1
> > > wähle und x in [mm]]-\sqrt{ln(C)},\sqrt{ln(C})[/mm] voraussetze.
> > >
> > > Irgendwie sollte das unter der Wurzel am Ende ja schon
> > > nichtnegativ sein, damit es definiert ist. Ich bin mir
> > > nicht sicher, ob das für das oben angegebene Intervall
> > > immer der Fall ist. Löse ich ganz banal
> > > [mm]-\ln(C-exp(x^2))\geq[/mm] 0 auf, komme ich immer auf so Sachen
> > > wie [mm]x^2\geq \ln[/mm] C-1, aber was kann ich denn damit
> > anfangen?
> > Hallo,
> > in deiner letzten Ungleichung fehlt um C-1 eine
> Klammer.
>
> Eigentlich kommt die Klammer nur um das C.
So?
Aus [mm]C-1\le e^{x^2}[/mm] folgt [mm]ln(C-1)\le x^2[/mm].
>
> >
> > Wenn C größer als 1 ist, existiert die Funktion y
> > überhaupt erst (mit einem nichtleeren Definitionsbereich,
> > und ebenso existiert dann die Ableitung y'. Es ist zwar
> > für jedes C der Definitionsbereicht eingeschränkt, aber
> > trotzdem existiert dann eine Funktion y, die im Rahmen
> > ihres Definitionsbereichs die DGL erfüllt.
> > Gruß Abakus
>
> Ja, aber kann man denn diesen eingeschränkten
> Definitionsbereich angeben. Es ist doch nicht einfach C>1
> und x [mm]\in ]-\sqrt{\ln(C)},\sqrt{\ln(C)}[[/mm] oder doch?
> Oder kann man die Bedingung an x nur implizit angeben?
>
|
|
|
| |
|
>
> > >
> > > > Lösen Sie [mm]y'=\frac{x}{y}\exp(x^2+y^2).[/mm]
> > > > Hallo,
> > > > also mit Trennung der Variablen kommt man ganz leicht auf
> > > > [mm]-exp(-y^2)+C=exp(x^2)[/mm] und dann weiter auf
> > > > [mm]y=\pm \sqrt{-ln(C-exp(x^2)}.[/mm]
> > > >
> > > > Meine Frage ist, wie soll der Definitionsbereich aussehen?
> > > > Im vorangegangenen Schritt kommt man auf [mm]C>exp(x^2),[/mm] also
> > > > auf [mm]|x|<\sqrt{\ln C}.[/mm] Reicht es jetzt aus, wenn ich [mm]C\geq[/mm] 1
> > > > wähle und x in [mm]]-\sqrt{ln(C)},\sqrt{ln(C})[/mm] voraussetze.
> > > >
> > > > Irgendwie sollte das unter der Wurzel am Ende ja schon
> > > > nichtnegativ sein, damit es definiert ist. Ich bin mir
> > > > nicht sicher, ob das für das oben angegebene Intervall
> > > > immer der Fall ist. Löse ich ganz banal
> > > > [mm]-\ln(C-exp(x^2))\geq[/mm] 0 auf, komme ich immer auf so Sachen
> > > > wie [mm]x^2\geq \ln[/mm] C-1, aber was kann ich denn damit
> > > anfangen?
> > > Hallo,
> > > in deiner letzten Ungleichung fehlt um C-1 eine
> > Klammer.
> >
> > Eigentlich kommt die Klammer nur um das C.
> So?
> Aus [mm]C-1\le e^{x^2}[/mm] folgt [mm]ln(C-1)\le x^2[/mm].
Ja richtig, sorry. Aber meine eigentliche Frage ist damit immer noch unbeantwortet, d.h. kann ich jetzt noch explizit Bedingungen an den Definitionsbereichs formulieren?
>
> >
> > >
> > > Wenn C größer als 1 ist, existiert die Funktion y
> > > überhaupt erst (mit einem nichtleeren Definitionsbereich,
> > > und ebenso existiert dann die Ableitung y'. Es ist zwar
> > > für jedes C der Definitionsbereicht eingeschränkt, aber
> > > trotzdem existiert dann eine Funktion y, die im Rahmen
> > > ihres Definitionsbereichs die DGL erfüllt.
> > > Gruß Abakus
> >
> > Ja, aber kann man denn diesen eingeschränkten
> > Definitionsbereich angeben. Es ist doch nicht einfach C>1
> > und x [mm]\in ]-\sqrt{\ln(C)},\sqrt{\ln(C)}[[/mm] oder doch?
> > Oder kann man die Bedingung an x nur implizit angeben?
> >
>
|
|
|
| |
|
Hallo T_sleeper,
> >
> > > >
> > > > > Lösen Sie [mm]y'=\frac{x}{y}\exp(x^2+y^2).[/mm]
> > > > > Hallo,
> > > > > also mit Trennung der Variablen kommt man ganz leicht auf
> > > > > [mm]-exp(-y^2)+C=exp(x^2)[/mm] und dann weiter auf
> > > > > [mm]y=\pm \sqrt{-ln(C-exp(x^2)}.[/mm]
> > > > >
> > > > > Meine Frage ist, wie soll der Definitionsbereich aussehen?
> > > > > Im vorangegangenen Schritt kommt man auf [mm]C>exp(x^2),[/mm] also
> > > > > auf [mm]|x|<\sqrt{\ln C}.[/mm] Reicht es jetzt aus, wenn ich [mm]C\geq[/mm] 1
> > > > > wähle und x in [mm]]-\sqrt{ln(C)},\sqrt{ln(C})[/mm] voraussetze.
> > > > >
> > > > > Irgendwie sollte das unter der Wurzel am Ende ja schon
> > > > > nichtnegativ sein, damit es definiert ist. Ich bin mir
> > > > > nicht sicher, ob das für das oben angegebene Intervall
> > > > > immer der Fall ist. Löse ich ganz banal
> > > > > [mm]-\ln(C-exp(x^2))\geq[/mm] 0 auf, komme ich immer auf so Sachen
> > > > > wie [mm]x^2\geq \ln[/mm] C-1, aber was kann ich denn damit
> > > > anfangen?
> > > > Hallo,
> > > > in deiner letzten Ungleichung fehlt um C-1 eine
> > > Klammer.
> > >
> > > Eigentlich kommt die Klammer nur um das C.
> > So?
> > Aus [mm]C-1\le e^{x^2}[/mm] folgt [mm]ln(C-1)\le x^2[/mm].
>
> Ja richtig, sorry. Aber meine eigentliche Frage ist damit
> immer noch unbeantwortet, d.h. kann ich jetzt noch explizit
> Bedingungen an den Definitionsbereichs formulieren?
>
Durch [mm]x^2\ge \ln\left(C-1\right)[/mm] schränkst Du doch den
Definitionsbereich der Lösung weiter ein.
Demnach existiert die angegebene Lösung nur falls
[mm]x \in \left]-\ln\left(\wurzel{C}\right),-\ln\left(\wurzel{C-1}\right)\right[ \cup\left]\ln\left(\wurzel{C-1}\right),\ln\left(\wurzel{C}\right)\right[[/mm] ist,
wobei C > 1.
> >
> > >
> > > >
> > > > Wenn C größer als 1 ist, existiert die Funktion y
> > > > überhaupt erst (mit einem nichtleeren Definitionsbereich,
> > > > und ebenso existiert dann die Ableitung y'. Es ist zwar
> > > > für jedes C der Definitionsbereicht eingeschränkt, aber
> > > > trotzdem existiert dann eine Funktion y, die im Rahmen
> > > > ihres Definitionsbereichs die DGL erfüllt.
> > > > Gruß Abakus
> > >
> > > Ja, aber kann man denn diesen eingeschränkten
> > > Definitionsbereich angeben. Es ist doch nicht einfach C>1
> > > und x [mm]\in ]-\sqrt{\ln(C)},\sqrt{\ln(C)}[[/mm] oder doch?
> > > Oder kann man die Bedingung an x nur implizit
> angeben?
> > >
> >
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
> Hallo T_sleeper,
>
>
> > >
> > > > >
> > > > > > Lösen Sie [mm]y'=\frac{x}{y}\exp(x^2+y^2).[/mm]
> > > > > > Hallo,
> > > > > > also mit Trennung der Variablen kommt man ganz leicht auf
> > > > > > [mm]-exp(-y^2)+C=exp(x^2)[/mm] und dann weiter auf
> > > > > > [mm]y=\pm \sqrt{-ln(C-exp(x^2)}.[/mm]
> > > > > >
>
> > > > > > Meine Frage ist, wie soll der Definitionsbereich aussehen?
> > > > > > Im vorangegangenen Schritt kommt man auf [mm]C>exp(x^2),[/mm] also
> > > > > > auf [mm]|x|<\sqrt{\ln C}.[/mm] Reicht es jetzt aus, wenn ich [mm]C\geq[/mm] 1
> > > > > > wähle und x in [mm]]-\sqrt{ln(C)},\sqrt{ln(C})[/mm] voraussetze.
> > > > > >
> > > > > > Irgendwie sollte das unter der Wurzel am Ende ja schon
> > > > > > nichtnegativ sein, damit es definiert ist. Ich bin mir
> > > > > > nicht sicher, ob das für das oben angegebene Intervall
> > > > > > immer der Fall ist. Löse ich ganz banal
> > > > > > [mm]-\ln(C-exp(x^2))\geq[/mm] 0 auf, komme ich immer auf so Sachen
> > > > > > wie [mm]x^2\geq \ln[/mm] C-1, aber was kann ich denn damit
> > > > > anfangen?
> > > > > Hallo,
> > > > > in deiner letzten Ungleichung fehlt um C-1
> eine
> > > > Klammer.
> > > >
> > > > Eigentlich kommt die Klammer nur um das C.
> > > So?
> > > Aus [mm]C-1\le e^{x^2}[/mm] folgt [mm]ln(C-1)\le x^2[/mm].
> >
> > Ja richtig, sorry. Aber meine eigentliche Frage ist damit
> > immer noch unbeantwortet, d.h. kann ich jetzt noch explizit
> > Bedingungen an den Definitionsbereichs formulieren?
> >
>
>
> Durch [mm]x^2\ge \ln\left(C-1\right)[/mm] schränkst Du doch den
> Definitionsbereich der Lösung weiter ein.
>
> Demnach existiert die angegebene Lösung nur falls
> [mm]x \in \left]-\ln\left(\wurzel{C}\right),-\ln\left(\wurzel{C-1}\right)\right[ \cup\left]\ln\left(\wurzel{C-1}\right),\ln\left(\wurzel{C}\right)\right[[/mm]
> ist,
> wobei C > 1.
>
Nein, die Wurzel muss schon über den Logarithmus, also [mm] \sqrt{\ln(C)} [/mm] etc.
Muss man dann am Ende nicht auch noch [mm] C\geq [/mm] 2 voraussetzen, wegen
[mm] \sqrt{\ln(C-1)}?
[/mm]
>
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Wenn C größer als 1 ist, existiert die Funktion y
> > > > > überhaupt erst (mit einem nichtleeren Definitionsbereich,
> > > > > und ebenso existiert dann die Ableitung y'. Es ist zwar
> > > > > für jedes C der Definitionsbereicht eingeschränkt, aber
> > > > > trotzdem existiert dann eine Funktion y, die im Rahmen
> > > > > ihres Definitionsbereichs die DGL erfüllt.
> > > > > Gruß Abakus
> > > >
> > > > Ja, aber kann man denn diesen eingeschränkten
> > > > Definitionsbereich angeben. Es ist doch nicht einfach C>1
> > > > und x [mm]\in ]-\sqrt{\ln(C)},\sqrt{\ln(C)}[[/mm] oder doch?
> > > > Oder kann man die Bedingung an x nur implizit
> > angeben?
> > > >
> > >
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo T_sleeper,
> > Hallo T_sleeper,
> >
> >
> > > >
> > > > > >
> > > > > > > Lösen Sie [mm]y'=\frac{x}{y}\exp(x^2+y^2).[/mm]
> > > > > > > Hallo,
> > > > > > > also mit Trennung der Variablen kommt man ganz leicht auf
> > > > > > > [mm]-exp(-y^2)+C=exp(x^2)[/mm] und dann weiter
> auf
> > > > > > > [mm]y=\pm \sqrt{-ln(C-exp(x^2)}.[/mm]
> > > > >
> > >
> >
> > > > > > > Meine Frage ist, wie soll der Definitionsbereich aussehen?
> > > > > > > Im vorangegangenen Schritt kommt man auf [mm]C>exp(x^2),[/mm] also
> > > > > > > auf [mm]|x|<\sqrt{\ln C}.[/mm] Reicht es jetzt aus, wenn ich [mm]C\geq[/mm] 1
> > > > > > > wähle und x in [mm]]-\sqrt{ln(C)},\sqrt{ln(C})[/mm] voraussetze.
> > > > > > >
> > > > > > > Irgendwie sollte das unter der Wurzel am Ende ja schon
> > > > > > > nichtnegativ sein, damit es definiert ist. Ich bin mir
> > > > > > > nicht sicher, ob das für das oben angegebene Intervall
> > > > > > > immer der Fall ist. Löse ich ganz banal
> > > > > > > [mm]-\ln(C-exp(x^2))\geq[/mm] 0 auf, komme ich immer auf so Sachen
> > > > > > > wie [mm]x^2\geq \ln[/mm] C-1, aber was kann ich denn damit
> > > > > > anfangen?
> > > > > > Hallo,
> > > > > > in deiner letzten Ungleichung fehlt um C-1
> > eine
> > > > > Klammer.
> > > > >
> > > > > Eigentlich kommt die Klammer nur um das C.
> > > > So?
> > > > Aus [mm]C-1\le e^{x^2}[/mm] folgt [mm]ln(C-1)\le x^2[/mm].
> > >
> > > Ja richtig, sorry. Aber meine eigentliche Frage ist damit
> > > immer noch unbeantwortet, d.h. kann ich jetzt noch explizit
> > > Bedingungen an den Definitionsbereichs formulieren?
> > >
> >
> >
> > Durch [mm]x^2\ge \ln\left(C-1\right)[/mm] schränkst Du doch den
> > Definitionsbereich der Lösung weiter ein.
> >
> > Demnach existiert die angegebene Lösung nur falls
> > [mm]x \in \left]-\ln\left(\wurzel{C}\right),-\ln\left(\wurzel{C-1}\right)\right[ \cup\left]\ln\left(\wurzel{C-1}\right),\ln\left(\wurzel{C}\right)\right[[/mm]
> > ist,
> > wobei C > 1.
> >
> Nein, die Wurzel muss schon über den Logarithmus, also
> [mm]\sqrt{\ln(C)}[/mm] etc.
Wo Du recht hast, hast Du recht:
[mm]x \in \left]-\wurzel{\ln\left(C\right)},-\wurzel{\ln\left(C-1\right)}\right[ \cup\left]\wurzel{\ln\left(C-1\right)},\wurzel{\ln\left(C\right)\right}[[/mm]
> Muss man dann am Ende nicht auch noch [mm]C\geq[/mm] 2
> voraussetzen, wegen
> [mm]\sqrt{\ln(C-1)}?[/mm]
Bei obiger Intervallangabe muß C > 2 sein.
Eine genauere Untersuchung liefert als Voraussetzung C > 1,
dann ist das Intervall aber zusammenhängend.
> >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Wenn C größer als 1 ist, existiert die Funktion y
> > > > > > überhaupt erst (mit einem nichtleeren Definitionsbereich,
> > > > > > und ebenso existiert dann die Ableitung y'. Es ist zwar
> > > > > > für jedes C der Definitionsbereicht eingeschränkt, aber
> > > > > > trotzdem existiert dann eine Funktion y, die im Rahmen
> > > > > > ihres Definitionsbereichs die DGL erfüllt.
> > > > > > Gruß Abakus
> > > > >
> > > > > Ja, aber kann man denn diesen eingeschränkten
> > > > > Definitionsbereich angeben. Es ist doch nicht einfach C>1
> > > > > und x [mm]\in ]-\sqrt{\ln(C)},\sqrt{\ln(C)}[[/mm] oder doch?
> > > > > Oder kann man die Bedingung an x nur implizit
> > > angeben?
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
> Hallo T_sleeper,
>
> > > Hallo T_sleeper,
> > >
> > >
> > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > > Lösen Sie [mm]y'=\frac{x}{y}\exp(x^2+y^2).[/mm]
> > > > > > > > Hallo,
> > > > > > > > also mit Trennung der Variablen kommt man ganz leicht auf
> > > > > > > > [mm]-exp(-y^2)+C=exp(x^2)[/mm] und dann weiter
> > auf
> > > > > > > > [mm]y=\pm \sqrt{-ln(C-exp(x^2)}.[/mm]
> > > >
> > >
> > > >
> > >
> > > > > > > > Meine Frage ist, wie soll der Definitionsbereich aussehen?
> > > > > > > > Im vorangegangenen Schritt kommt man auf [mm]C>exp(x^2),[/mm] also
> > > > > > > > auf [mm]|x|<\sqrt{\ln C}.[/mm] Reicht es jetzt aus, wenn ich [mm]C\geq[/mm] 1
> > > > > > > > wähle und x in [mm]]-\sqrt{ln(C)},\sqrt{ln(C})[/mm] voraussetze.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Irgendwie sollte das unter der Wurzel am Ende ja schon
> > > > > > > > nichtnegativ sein, damit es definiert ist. Ich bin mir
> > > > > > > > nicht sicher, ob das für das oben angegebene Intervall
> > > > > > > > immer der Fall ist. Löse ich ganz banal
> > > > > > > > [mm]-\ln(C-exp(x^2))\geq[/mm] 0 auf, komme ich immer auf so Sachen
> > > > > > > > wie [mm]x^2\geq \ln[/mm] C-1, aber was kann ich denn damit
> > > > > > > anfangen?
> > > > > > > Hallo,
> > > > > > > in deiner letzten Ungleichung fehlt um
> C-1
> > > eine
> > > > > > Klammer.
> > > > > >
> > > > > > Eigentlich kommt die Klammer nur um das C.
> > > > > So?
> > > > > Aus [mm]C-1\le e^{x^2}[/mm] folgt [mm]ln(C-1)\le x^2[/mm].
> >
> > >
> > > > Ja richtig, sorry. Aber meine eigentliche Frage ist damit
> > > > immer noch unbeantwortet, d.h. kann ich jetzt noch explizit
> > > > Bedingungen an den Definitionsbereichs formulieren?
> > > >
> > >
> > >
> > > Durch [mm]x^2\ge \ln\left(C-1\right)[/mm] schränkst Du doch den
> > > Definitionsbereich der Lösung weiter ein.
> > >
> > > Demnach existiert die angegebene Lösung nur falls
> > > [mm]x \in \left]-\ln\left(\wurzel{C}\right),-\ln\left(\wurzel{C-1}\right)\right[ \cup\left]\ln\left(\wurzel{C-1}\right),\ln\left(\wurzel{C}\right)\right[[/mm]
> > > ist,
> > > wobei C > 1.
> > >
> > Nein, die Wurzel muss schon über den Logarithmus, also
> > [mm]\sqrt{\ln(C)}[/mm] etc.
>
>
> Wo Du recht hast, hast Du recht:
>
> [mm]x \in \left]-\wurzel{\ln\left(C\right)},-\wurzel{\ln\left(C-1\right)}\right[ \cup\left]\wurzel{\ln\left(C-1\right)},\wurzel{\ln\left(C\right)\right}[[/mm]
>
>
> > Muss man dann am Ende nicht auch noch [mm]C\geq[/mm] 2
> > voraussetzen, wegen
> > [mm]\sqrt{\ln(C-1)}?[/mm]
>
>
> Bei obiger Intervallangabe muß C > 2 sein.
>
> Eine genauere Untersuchung liefert als Voraussetzung C >
> 1,
> dann ist das Intervall aber zusammenhängend.
>
Woraus genau folgt das denn?
>
> > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Wenn C größer als 1 ist, existiert die Funktion y
> > > > > > > überhaupt erst (mit einem nichtleeren Definitionsbereich,
> > > > > > > und ebenso existiert dann die Ableitung y'. Es ist zwar
> > > > > > > für jedes C der Definitionsbereicht eingeschränkt, aber
> > > > > > > trotzdem existiert dann eine Funktion y, die im Rahmen
> > > > > > > ihres Definitionsbereichs die DGL erfüllt.
> > > > > > > Gruß Abakus
> > > > > >
> > > > > > Ja, aber kann man denn diesen eingeschränkten
> > > > > > Definitionsbereich angeben. Es ist doch nicht einfach C>1
> > > > > > und x [mm]\in ]-\sqrt{\ln(C)},\sqrt{\ln(C)}[[/mm] oder doch?
> > > > > > Oder kann man die Bedingung an x nur
> implizit
> > > > angeben?
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo T_sleeper,
> > > > > Ja richtig, sorry. Aber meine eigentliche Frage ist damit
> > > > > immer noch unbeantwortet, d.h. kann ich jetzt noch explizit
> > > > > Bedingungen an den Definitionsbereichs formulieren?
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Durch [mm]x^2\ge \ln\left(C-1\right)[/mm] schränkst Du doch den
> > > > Definitionsbereich der Lösung weiter ein.
> > > >
> > > > Demnach existiert die angegebene Lösung nur falls
> > > > [mm]x \in \left]-\ln\left(\wurzel{C}\right),-\ln\left(\wurzel{C-1}\right)\right[ \cup\left]\ln\left(\wurzel{C-1}\right),\ln\left(\wurzel{C}\right)\right[[/mm]
> > > > ist,
> > > > wobei C > 1.
> > > >
> > > Nein, die Wurzel muss schon über den Logarithmus, also
> > > [mm]\sqrt{\ln(C)}[/mm] etc.
> >
> >
> > Wo Du recht hast, hast Du recht:
> >
> > [mm]x \in \left]-\wurzel{\ln\left(C\right)},-\wurzel{\ln\left(C-1\right)}\right[ \cup\left]\wurzel{\ln\left(C-1\right)},\wurzel{\ln\left(C\right)\right}[[/mm]
> >
> >
> > > Muss man dann am Ende nicht auch noch [mm]C\geq[/mm] 2
> > > voraussetzen, wegen
> > > [mm]\sqrt{\ln(C-1)}?[/mm]
> >
> >
> > Bei obiger Intervallangabe muß C > 2 sein.
> >
> > Eine genauere Untersuchung liefert als Voraussetzung C >
> > 1,
> > dann ist das Intervall aber zusammenhängend.
> >
> Woraus genau folgt das denn?
Das folgt aus der Bedingung [mm]C-e^{x^{2}}<1[/mm]
und der entsprechenden Gleichung
[mm]x^{2} > \ln\left(C-1\right)[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
> Hallo T_sleeper,
>
> > > > > > Ja richtig, sorry. Aber meine eigentliche Frage ist damit
> > > > > > immer noch unbeantwortet, d.h. kann ich jetzt noch explizit
> > > > > > Bedingungen an den Definitionsbereichs formulieren?
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Durch [mm]x^2\ge \ln\left(C-1\right)[/mm] schränkst Du doch den
> > > > > Definitionsbereich der Lösung weiter ein.
> > > > >
> > > > > Demnach existiert die angegebene Lösung nur falls
> > > > > [mm]x \in \left]-\ln\left(\wurzel{C}\right),-\ln\left(\wurzel{C-1}\right)\right[ \cup\left]\ln\left(\wurzel{C-1}\right),\ln\left(\wurzel{C}\right)\right[[/mm]
> > > > > ist,
> > > > > wobei C > 1.
> > > > >
> > > > Nein, die Wurzel muss schon über den Logarithmus, also
> > > > [mm]\sqrt{\ln(C)}[/mm] etc.
> > >
> > >
> > > Wo Du recht hast, hast Du recht:
> > >
> > > [mm]x \in \left]-\wurzel{\ln\left(C\right)},-\wurzel{\ln\left(C-1\right)}\right[ \cup\left]\wurzel{\ln\left(C-1\right)},\wurzel{\ln\left(C\right)\right}[[/mm]
> > >
> > >
> > > > Muss man dann am Ende nicht auch noch [mm]C\geq[/mm] 2
> > > > voraussetzen, wegen
> > > > [mm]\sqrt{\ln(C-1)}?[/mm]
> > >
> > >
> > > Bei obiger Intervallangabe muß C > 2 sein.
> > >
> > > Eine genauere Untersuchung liefert als Voraussetzung C >
> > > 1,
> > > dann ist das Intervall aber zusammenhängend.
> > >
> > Woraus genau folgt das denn?
>
>
>
> Das folgt aus der Bedingung [mm]C-e^{x^{2}}<1[/mm]
> und der entsprechenden Gleichung
>
> [mm]x^{2} > \ln\left(C-1\right)[/mm]
>
Was genau meintst du denn damit, dass die Intervalle zusammenhängen sein sollen? Das sind Intervalle ja immer. Meinst du, dass, falls C>1, gilt:
[mm] ]-\sqrt{\ln(C)},-\sqrt{\ln(C-1)}[\cup ]\sqrt{\ln(C-1)},\sqrt{\ln(C)}[=]-\sqrt{\ln(C)},\sqrt{\ln(C)}[ [/mm] ?
Wenn C>1, aber C<2, dann kann ich [mm] \sqrt{\ln(C-1)} [/mm] doch eigentlich garnicht hinschreiben, weil der Logarithmus negativ ist, die Wurzel damit nicht definiert.
Deshalb verwirrt mich deine Aussage, oder meintest du etwas ganz anderes?
Ich habs jetzt mal so formuliert: Für 1<C<2 sind Lösungen definiert auf [mm] ]-\sqrt{\ln(C)},\sqrt{\ln(C)}[, [/mm] denn dann gilt offensichtlich immer [mm] x^2\geq 0>\ln(C-1), [/mm] und für [mm] C\geq [/mm] 2 ist es dann eben die Vereinigung.
Ist das so richtig oder ist es zu viel des Guten, also gehts einfacher?
|
|
|
| |
|
Hallo T_sleeper,
> > Hallo T_sleeper,
> >
> > > > > > > Ja richtig, sorry. Aber meine eigentliche Frage ist damit
> > > > > > > immer noch unbeantwortet, d.h. kann ich jetzt noch explizit
> > > > > > > Bedingungen an den Definitionsbereichs formulieren?
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > Durch [mm]x^2\ge \ln\left(C-1\right)[/mm] schränkst Du doch den
> > > > > > Definitionsbereich der Lösung weiter ein.
> > > > > >
> > > > > > Demnach existiert die angegebene Lösung nur falls
> > > > > > [mm]x \in \left]-\ln\left(\wurzel{C}\right),-\ln\left(\wurzel{C-1}\right)\right[ \cup\left]\ln\left(\wurzel{C-1}\right),\ln\left(\wurzel{C}\right)\right[[/mm]
> > > > > > ist,
> > > > > > wobei C > 1.
> > > > > >
> > > > > Nein, die Wurzel muss schon über den Logarithmus, also
> > > > > [mm]\sqrt{\ln(C)}[/mm] etc.
> > > >
> > > >
> > > > Wo Du recht hast, hast Du recht:
> > > >
> > > > [mm]x \in \left]-\wurzel{\ln\left(C\right)},-\wurzel{\ln\left(C-1\right)}\right[ \cup\left]\wurzel{\ln\left(C-1\right)},\wurzel{\ln\left(C\right)\right}[[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > > Muss man dann am Ende nicht auch noch [mm]C\geq[/mm] 2
> > > > > voraussetzen, wegen
> > > > > [mm]\sqrt{\ln(C-1)}?[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > Bei obiger Intervallangabe muß C > 2 sein.
> > > >
> > > > Eine genauere Untersuchung liefert als Voraussetzung C >
> > > > 1,
> > > > dann ist das Intervall aber zusammenhängend.
> > > >
> > > Woraus genau folgt das denn?
> >
> >
> >
> > Das folgt aus der Bedingung [mm]C-e^{x^{2}}<1[/mm]
> > und der entsprechenden Gleichung
> >
> > [mm]x^{2} > \ln\left(C-1\right)[/mm]
> >
> Was genau meintst du denn damit, dass die Intervalle
> zusammenhängen sein sollen? Das sind Intervalle ja immer.
> Meinst du, dass, falls C>1, gilt:
Hier ist doch wohl gemeint: 1<C<2
> [mm]]-\sqrt{\ln(C)},-\sqrt{\ln(C-1)}[\cup ]\sqrt{\ln(C-1)},\sqrt{\ln(C)}[=]-\sqrt{\ln(C)},\sqrt{\ln(C)}[[/mm]
> ?
Ja.
> Wenn C>1, aber C<2, dann kann ich [mm]\sqrt{\ln(C-1)}[/mm] doch
> eigentlich garnicht hinschreiben, weil der Logarithmus
> negativ ist, die Wurzel damit nicht definiert.
> Deshalb verwirrt mich deine Aussage, oder meintest du etwas
> ganz anderes?
>
Nein.
> Ich habs jetzt mal so formuliert: Für 1<C<2 sind Lösungen
> definiert auf [mm]]-\sqrt{\ln(C)},\sqrt{\ln(C)}[,[/mm] denn dann
> gilt offensichtlich immer [mm]x^2\geq 0>\ln(C-1),[/mm] und für
> [mm]C\geq[/mm] 2 ist es dann eben die Vereinigung.
>
> Ist das so richtig oder ist es zu viel des Guten, also
> gehts einfacher?
Das ist so richtig.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
> Lösen Sie [mm]y'=\frac{x}{y}\exp(x^2+y^2).[/mm]
> Hallo,
> also mit Trennung der Variablen kommt man ganz leicht auf
> [mm]-exp(-y^2)+C=exp(x^2)[/mm] und dann weiter auf
> [mm]y=\pm \sqrt{-ln(C-exp(x^2)}.[/mm]
>
> Meine Frage ist, wie soll der Definitionsbereich aussehen?
> Im vorangegangenen Schritt kommt man auf [mm]C>exp(x^2),[/mm] also
> auf [mm]|x|<\sqrt{\ln C}.[/mm] Reicht es jetzt aus, wenn ich [mm]C\geq[/mm] 1
> wähle und x in [mm]]-\sqrt{ln(C)},\sqrt{ln(C})[/mm] voraussetze.
>
> Irgendwie sollte das unter der Wurzel am Ende ja schon
> nichtnegativ sein, damit es definiert ist. Ich bin mir
> nicht sicher, ob das für das oben angegebene Intervall
> immer der Fall ist. Löse ich ganz banal
> [mm]-\ln(C-exp(x^2))\geq[/mm] 0 auf, komme ich immer auf so Sachen
> wie [mm]x^2\geq \ln[/mm] C-1, aber was kann ich denn damit anfangen?
Hallo T_sleeper,
ich verstehe nicht recht, was du hier mit dem "Definitionsbereich"
meinst.
Die Ableitung y'(x,y) ist in jedem Punkt P(x,y) der x-y-Ebene
außer in den Punkten auf der x-Achse jeweils ein eindeutig
bestimmter reeller Wert.
Man kann zeigen, dass durch jeden Punkt P(x,y) mit [mm] y\not=0 [/mm] eine
eindeutige Lösungskurve verläuft. Anschaulich kann man
dies etwa mit einem Programm sehen, das ein ![[]](/images/popup.gif) Richtungsfeld
und Lösungskurven zeichnet.
Zu beachten ist, dass keine Lösungskurve die x-Achse über-
queren kann, da in deren Punkten ja die Ableitung y' nicht
definiert ist - außer man definiert zusätzlich noch etwa
[mm] y'=\infty [/mm] (falls y=0 und x≠0) .
Der konkrete Wert der Konstanten C, die man jeweils nehmen
muss (für eine bestimmte Lösungskurve), ergibt sich aus den
Koordinaten des Startpunktes.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Sa 14.04.2012 | | Autor: | T_sleeper |
> > Lösen Sie [mm]y'=\frac{x}{y}\exp(x^2+y^2).[/mm]
> > Hallo,
> > also mit Trennung der Variablen kommt man ganz leicht auf
> > [mm]-exp(-y^2)+C=exp(x^2)[/mm] und dann weiter auf
> > [mm]y=\pm \sqrt{-ln(C-exp(x^2)}.[/mm]
> >
> > Meine Frage ist, wie soll der Definitionsbereich aussehen?
> > Im vorangegangenen Schritt kommt man auf [mm]C>exp(x^2),[/mm] also
> > auf [mm]|x|<\sqrt{\ln C}.[/mm] Reicht es jetzt aus, wenn ich [mm]C\geq[/mm] 1
> > wähle und x in [mm]]-\sqrt{ln(C)},\sqrt{ln(C})[/mm] voraussetze.
> >
> > Irgendwie sollte das unter der Wurzel am Ende ja schon
> > nichtnegativ sein, damit es definiert ist. Ich bin mir
> > nicht sicher, ob das für das oben angegebene Intervall
> > immer der Fall ist. Löse ich ganz banal
> > [mm]-\ln(C-exp(x^2))\geq[/mm] 0 auf, komme ich immer auf so Sachen
> > wie [mm]x^2\geq \ln[/mm] C-1, aber was kann ich denn damit anfangen?
>
>
> Hallo T_sleeper,
>
> ich verstehe nicht recht, was du hier mit dem
> "Definitionsbereich"
> meinst.
> Die Ableitung y'(x,y) ist in jedem Punkt P(x,y) der
> x-y-Ebene
> außer in den Punkten auf der x-Achse jeweils ein
> eindeutig
> bestimmter reeller Wert.
> Man kann zeigen, dass durch jeden Punkt P(x,y) mit [mm]y\not=0[/mm]
> eine
> eindeutige Lösungskurve verläuft. Anschaulich kann man
> dies etwa mit einem Programm sehen, das ein
> Richtungsfeld
> und Lösungskurven zeichnet.
> Zu beachten ist, dass keine Lösungskurve die x-Achse
> über-
> queren kann, da in deren Punkten ja die Ableitung y'
> nicht
> definiert ist - außer man definiert zusätzlich noch etwa
> [mm]y'=\infty[/mm] (falls y=0 und x≠0) .
>
> Der konkrete Wert der Konstanten C, die man jeweils nehmen
> muss (für eine bestimmte Lösungskurve), ergibt sich aus
> den
> Koordinaten des Startpunktes.
>
> LG Al-Chwarizmi
>
Das mit den Lösungskurven bei gegebenem Anfangswert ist natürlich richtig, aber diese Kurven sind entsprechend dann nicht notwendigerweise für alle reellen x definiert. Sucht man sich z.B. den Punkt (0,1), so findet man am Ende durch Einsetzen in die allgemeine Lösung [mm] C=e^{-1}+1. [/mm] Die entsprechende Kurve (x,y(x)) mit [mm] y(x)=\sqrt{-\ln(C-e^{x^2})} [/mm] ist jetzt nur für [mm] x\in ]-\sqrt{\ln(C)},\sqrt{\ln(C)}[ [/mm] definiert.
Das kann man jetzt noch für beliebige (außer y=0) Anfangswerte verallgemeinern und den Definitionsbereich der jeweiligen Kurve in Abhängigkeit von [mm] C=C(x_0,y_0) [/mm] ausdrücken.
Die Begrifflichkeit "Definitionsbereich" ist doch aber insofern dann richtig?
|
|
|
|
