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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | f(x) [mm] =\wurzel{2x-3}
[/mm]
g(x) = [mm] \frac{1}{1+x}
[/mm]
Bestimme den Definitionsbereich von f [mm] \circ\ [/mm] g |
f [mm] \circ\ [/mm] g (x) = f(g(x)) = [mm] f(\frac{1}{1+x}) [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{2}{1+x} -3}
[/mm]
Wegen dem Bruch [mm] x\not=-1
[/mm]
Fall x > -1
2/(1+x) - 3 >= 0
2-3-3x >= 0
-1-3x >= 0
-3x >= 1
x <= -1/3
Fall x< -1
x >= -1/3
Nun verstehe ich nicht, wie ich den Definitionsbereich durch die Fallunterscheidung bestimmen kann.
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Hallo,
> f(x) [mm]=\wurzel{2x-3}[/mm]
> g(x) = [mm]\frac{1}{1+x}[/mm]
> Bestimme den Definitionsbereich von f [mm]\circ\[/mm] g
> f [mm]\circ\[/mm] g (x) = f(g(x)) = [mm]f(\frac{1}{1+x})[/mm] =
> [mm]\sqrt{\frac{2}{1+x} -3}[/mm]
>
> Wegen dem Bruch [mm]x\not=-1[/mm]
>
Soweit gut.
Du weißt, dass du Wurzeln nur aus Zahlen [mm] \ge [/mm] 0 sind ziehen kannst. Somit muss bei [mm] \sqrt{\frac{2}{1+x} -3} [/mm] offensichtlich [mm] \frac{2}{1+x} \ge [/mm] 3 sein. Damit muss aber schon x > -1 sein, ansonsten wird der Bruch negativ und kann unmöglich größer gleich 3 sein... Somit ist die Definitionsmenge [mm] D=\{ x \in \IR | -1 < x \le -\bruch{1}{3} \}.
[/mm]
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
danke ;)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
Dann ist noch die Frage nach dem Definitionsbereich D(g [mm] \circ\ [/mm] f)
g [mm] \circ\ [/mm] f (x) = g(f(x)) = g [mm] (\wurzel{2x-3})=\frac{1}{1+\sqrt{2x-3}}
[/mm]
Wegen den Bruch: [mm] \sqrt{2x-3} \not= [/mm] -1
-> immer gegeben.
Wegen der Wurzel : 2x-3 >= 0
2x >= 3
x >= 3/2
$ [mm] D=\{ x \in \IR | x >= 3/2 \}. [/mm] $
Passt es so?
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Hallo,
> Dann ist noch die Frage nach dem Definitionsbereich D(g
> [mm]\circ\[/mm] f)
>
> g [mm]\circ\[/mm] f (x) = g(f(x)) = g
> [mm](\wurzel{2x-3})=\frac{1}{1+\sqrt{2x-3}}[/mm]
> Wegen den Bruch: [mm]\sqrt{2x-3} \not=[/mm] -1
> -> immer gegeben.
>
> Wegen der Wurzel : 2x-3 >= 0
> 2x >= 3
> x >= 3/2
>
> [mm]D=\{ x \in \IR | x >= 3/2 \}.[/mm]
> Passt es so?
Ja, das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
Danke, dazu noch eine Frage:
Bestimmen sie ebenfalls den Definitionsbereich von (f [mm] \circ\ g)^{-1} [/mm]
f [mm] \circ\ [/mm] g (x) = $ [mm] \sqrt{\frac{2}{1+x} -3} [/mm] $ , $ D(f [mm] \circ\ g)=\{ x \in \IR | -1 < x \le -\bruch{1}{3} \}. [/mm] $
y= [mm] \sqrt{\frac{2}{1+x} -3}
[/mm]
[mm] y^2 [/mm] = [mm] \frac{2}{1+x} [/mm] -3
[mm] \frac{2} {y^2 + 3} [/mm] -1 = x
(f [mm] \circ\ g)^{-1} [/mm] (y) = [mm] \frac{2}{y^2 + 3} [/mm] -1
Wegen Bruch [mm] y^2 [/mm] + 3 >0 immer gegeben
Definitionsbereich ist ganz [mm] \IR
[/mm]
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Hallo,
> Danke, dazu noch eine Frage:
>
> Bestimmen sie ebenfalls den Definitionsbereich von (f
> [mm]\circ\ g)^{-1}[/mm]
>
> f [mm]\circ\[/mm] g (x) = [mm]\sqrt{\frac{2}{1+x} -3}[/mm] , [mm]D(f \circ\ g)=\{ x \in \IR | -1 < x \le -\bruch{1}{3} \}.[/mm]
>
> y= [mm]\sqrt{\frac{2}{1+x} -3}[/mm]
> [mm]y^2[/mm] = [mm]\frac{2}{1+x}[/mm] -3
> [mm]\frac{2} {y^2 + 3}[/mm] -1 = x
>
> (f [mm]\circ\ g)^{-1}[/mm] (y) = [mm]\frac{2}{y^2 + 3}[/mm] -1
Das ist alles gut&schön&richtig; hilft dir aber nicht weiter. Da man die Umstellung nach x nur unter Zuhilfenahme nicht äquivalenter Umformungen hinbekommt, ist das, was dabei herauskommt, nur noch die Zuordnungsvorschrift der Umkehrfunktion, nicht aber die Umkehrfunktion selbst (-> Eine Funktion besteht aus Definitions- und Zielmenge sowie aus einer Zuordnungsvorschrift).
Die gute Nachricht ist aber: du benötigst die Gleichung der Umkehrfunktion hier nicht. Ich weiß jetzt natürlich nicht genau, wie der Originaltext der Aufgabe lautet, aber so wie du das aufgeschrieben hast, darf man die Umkehrbarkeit von [mm] f\circ{g} [/mm] als gegeben annehmen (wenn ich mich da irre: dann musst du die Umkehrbarkeit zeigen, dass macht man aber bei stetigen Funktionen auch nicht mittels Funktionsgleichung sondern via Monotonie!).
> Wegen Bruch [mm]y^2[/mm] + 3 >0 immer gegeben
> Definitionsbereich ist ganz [mm]\IR[/mm]
Nein, das ist leider falsch. Was weißt du über den Zusammenhang zwischen Definitions- und Wertemenge einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion? Wie kann man damit die Definitionsmenge einer Umkehrfunktion bestimmen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
Also eine Umkehrfunktion ist eine Funktion die jedem Element der Wertemenge(=Zielmenge) sein eindeutig bestimmtes Urbild aus dem Definitionsbereich der "normalen Funktion" zuweist.
wenn f: A->B ist [mm] f^{-1} [/mm] : B-> A
Der Defintionsbereich der Funktion f ist die Zielmenge der Umkehrfunktion
Aber wie weiß ich im Bsp. von f $ [mm] \circ\ [/mm] $ g (x) die Zielmenge?
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Hallo,
> Also eine Umkehrfunktion ist eine Funktion die jedem
> Element der Wertemenge(=Zielmenge) sein eindeutig
> bestimmtes Urbild aus dem Definitionsbereich der "normalen
> Funktion" zuweist.
> wenn f: A->B ist [mm]f^{-1}[/mm] : B-> A
> Der Defintionsbereich der Funktion f ist die Zielmenge der
> Umkehrfunktion
>
> Aber wie weiß ich im Bsp. von f [mm]\circ\[/mm] g (x) die
> Zielmenge?
du hast die maximale Definitionsmenge ermittelt. Überlege dir zunächst, welche Wertemenge der Wurzelinhalt hat. Eine untere Schranke ist sicherlich 0. Ist aber die Wertemenge des Wurzelinhalts auch nach oben beschränkt?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
f $ [mm] \circ\ [/mm] $ g (x) = $ [mm] \sqrt{\frac{2}{1+x} -3} [/mm] $ , $ D(f [mm] \circ\ g)=\{ x \in \IR | -1 < x \le -\bruch{1}{3} \}. [/mm] $
Ich hab schon verstanden: Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist die Wertemenge der eigentlichen Funktion
> Überlege dir zunächst, welche Wertemenge der Wurzelinhalt hat.
> Eine untere Schranke ist sicherlich 0.
Ja.
Ich verstehe nicht wie ich da eine obere schranke rausfinde..soll ich die x werte im Definitionsbereich einsetzten?
f $ [mm] \circ\ [/mm] $ g (-1/3) = $ [mm] \sqrt{\frac{2}{1-\frac{1}{3}} -3} [/mm] $ =0
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Halllo sissile,
kein Mensch hat gesagt, du sollest eine ober Schranke finden. Betrachte mal das Verhalten des Wurzelinhalts für -> -1.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Sa 02.06.2012 | | Autor: | sissile |
für -1 ist der Wurzelinhalt nicht defeniert, da der nenner 0 ist.
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Hallo,
wieder hast du den Hinweis völlig missverstanden. Ein wenig mehr Gründlchkeit möchte man dir schon wünschen! 
Also nochal ein Versuch: wenn x (von rechts) gegen -1 strebt, gegen was strebt dann der Wurzelinhalt und damit auch die Wurzel?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:11 So 03.06.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,
der Wurzelinhalt wird gegen unendlich streben.
Da der Nenner gegen 0 strebt.
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Hallo,
> Hallo,
> der Wurzelinhalt wird gegen unendlich streben.
> Da der Nenner gegen 0 strebt.
Ja das stimmt. Aber weshalb so minimalistisch? Was sagt dir das jetzt bezüglich deiner Frage? Noch einen Schritt weiterdenken, und du hast die Antwort.
Gruß, Diophant
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