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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mo 12.04.2010 | | Autor: | Bishop |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{2x-2}{1-x^2} &\mbox{für } 0 \le x < 1 \\ 1 &\mbox{für } x = 1\\ \bruch{2x^5-3}{\wurzel{2-x}} &\mbox{für } x > 1 \end{cases}
[/mm]
Überprüfen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit (Angabe des maximalen Definiti-onsbereiches sowie von Stellen und Typ evtl. vorhandener Unstetigkeiten oder Definitionslücken) und untersuche Sie deren Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches bzw. für x [mm] \to \pm\infty
[/mm]
Ändern Sie im Fall hebbarer (Definitions-) Lücken den Definitionsbereich bzw. Funktions-werte derart, dass die Funktion an der betreffenden Stelle stetig wird.
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Hallo zusammen,
ich soll die o.g. Aufgabe lösen. Die Angabe des max. Definitionsbereichs usw. ist nicht das Problem das krieg ich hin. Mein Problem ist der folgende Satz.
"Ändern Sie im Fall hebbarer (Definitions-) Lücken den Definitionsbereich bzw. Funktionswerte derart, dass die Funktion an der betreffenden Stelle stetig wird."
Im Moment steh ich hier völlig auf dem Schlauch :-(
Kann mir hier einer einen Schubs in die richtige Richtung geben?
Gruß
Bishop
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Mo 12.04.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Untersuche die Funktion doch erstmal auf Def-Lücken.
Dazu betrachte mal die beiden Teilfunktionen, die einen Bruch enthalten, da dessen Nenner ja nicht Null werden darf.
Also:
[mm] \bruch{2x-2}{1-x^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{2(x-1)}{(1-x)(1+x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{2(x-1)}{(-x+1)(1+x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{2(x-1)}{(-(x-1))(1+x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{2(x-1)}{-(x-1)(1+x)}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{-(1+x)}
[/mm]
[mm] =-\bruch{2}{1+x}
[/mm]
Also wäre x=1 eine hebbare Def-Lücke, die aber nicht mehr in dem zu [mm] \bruch{2x-2}{1-x^{2}} [/mm] gehörigen Teilintervall liegt.
Bleibt der zweiter Teil zu untersuchen, also:
[mm] \bruch{2x^{5}-3}{\wurzel{2-x}}
[/mm]
Hier hast du eine Wurzel im Nenner, und musst zwei Fälle getrennt voneinander untersuchen.
1. [mm] \wurzel{x-2}=0\Rightarrow2=x
[/mm]
und
2. [mm] x-2<0\Rightarrow2>x, [/mm] denn dafür ist die Wurzel nicht definiert.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:46 Di 13.04.2010 | | Autor: | Bishop |
| Aufgabe | | "Ändern Sie im Fall hebbarer (Definitions-) Lücken den Definitionsbereich bzw. Funktionswerte derart, dass die Funktion an der betreffenden Stelle stetig wird." |
Hallo Marius,
danke für deine Antwort. Wie man den Definitionsbereich bestimmt war mir klar. Trotzdem danke.
Mein Problem war die obige Frage.
Wie ändere ich den im Fall einer hebbaren Lücke den Definitionsbereich bzw. die Funktionswerte derart, dass die Funktion stetig wird?
Gruß
Bishop
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> "Ändern Sie im Fall hebbarer (Definitions-) Lücken den
> Definitionsbereich bzw. Funktionswerte derart, dass die
> Funktion an der betreffenden Stelle stetig wird."
Hallo
Definitionslücken hat Deine Funktion f nicht, man sieht ja bereits an der Funktionsvorschrift für f, daß diese Funktion über dem Intervall [mm] [0,\infty[ [/mm] definiert ist...
Da Vorsicht die Mutter der Porzellankiste ist, sollte man sich natürlich sicherheitshalber davon überzeugen, daß die Chefs die Funktion ordnungsgemäß definiert haben.
Und wenn man das wirklich tut, entdeckt man sofort eine Panne: man darf überhaupt nicht alle x>1 einsetzen, sondern nur die x mit 1<x<2.
Die von Deinen Chefs gelieferte Funktion ist also so, wie sie dasteht, nicht wohldefiniert, aber wir frisieren sie und betrachten nun
$ [mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{2x-2}{1-x^2} &\mbox{für } 0 \le x < 1 \\ 1 &\mbox{für } x = 1\\ \bruch{2x^5-3}{\wurzel{2-x}} &\mbox{für } 1
Diese Funktion hat den Definitionsbereich [0,2[,
es gibt keine Definitionslücken, und wir untersuchen nun die Stetigkeit der Funktion.
Du kannst Dir ohne zu rechnen überlegen, daß die Funktion über den Intervallen [0,1[ und ]1,2[ stetig ist. (warum?)
Problembehaftet sind bei stückweise zusammengesetzten Funktionen immer die "Nahtstellen", hier also die Stelle x=1.
Die Stetigkeit an dieser Stelle ist von Dir zu untersuchen - ich überlasse das zunächst Dir.
Marius hat in seinem Post eine nützliche Vorarbeit dafür geleistet.
Du wirst herausfinden, daß die Funktion f an der Stelle x=1 nicht stetig ist.
Die Frage ist nun die, ob man diesen "Makel" beheben kann, ob es sich um eine behebbare Unstetigkeitsstelle (oder wie auch immer Ihr sowas nennt) handelt.
Die Frage ist: kannst Du den Funktionswert an der Stelle x=1 durch einen anderen Funktionswert ersetzen, so daß die neu entstehende Funktion [mm] \overline{f} [/mm] stetig ist. Anschaulich: kann man den Graphen von f an der Stelle x=1 flicken?
Mach Dir unbedingt eine Skizze der Funktion, damit das Tun auch anschaulich klar wird.
Man könnte sich auch noch überlegen, ob es eine Möglichkeit gibt, die Funktion an der Stelle x=2 zu einer dort stetigen Funktion zu erweitern - ob dies Bestandteil der Dir gestellten Aufgabe ist, vermag ich aber nicht zu sagen.
Hierfür müßtest Du den Grenzwert von f(x) für [mm] x\to [/mm] 2 anschauen.
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Nun noch, mehr oder weniger unabhängig von der von Dir geposteten Aufgabe, zu den hebbaren Definitionslücken:
Schauen wir die Funktion g(x)=$ [mm] \bruch{2x-2}{1-x^{2}} [/mm] $ an.
Sie ist offensichtlich lediglich für [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{1,-1\} [/mm] definiert, hat also zwei Definitionslücken.
Zeichne Dir den Graphen der Funktion nun mal auf.
Du wirst feststellen, daß die beiden Definitionslücken von völlig verschiedener Machart sind.
Bei x=-1 hast Du eine Polstelle,
bei x=1 hingegen ist nur ein winzigkleines Löchlein im Graphen.
Die Frage ist nun: kannst Du den Definitionslücken Funktionswerte zuteilen in der Art, daß die neu entstehende Funktion an der Stelle der Definitionslücken nicht nur definiert, sondern auch stetig ist?
Ergebnis:
an der Polstelle gelingt das nicht, die Definitionslücke ist nicht stetig behebbar (oder wie auch immer es bei Euch heißt),
an der Stelle, an der lediglich ein Löchlein ist, gelingt dies sehr wohl. Die Kunst ist nun, hier einen passenden Funktionswert zu finden, wie es geht, hat Marius vorgemacht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Di 13.04.2010 | | Autor: | Bishop |
Hallo Angela,
danke für deine ausführliche Antwort.
Um ehrlich zu sein sehe ich den Wald gerade vor lauter Bäumen nicht :-(
Hier mal das was ich soweit verstanden hab.
- Der Definitionsbereich der Funktion wurde angepaßt (1 < x < 2 statt x > 1)
- x = 1 ist die Nathstelle und muss nun auf die Stetigkeit hin untersucht werden d.h. ich untersuche den Grenzwert für x [mm] \to [/mm] 1 von [mm] \bruch{2x-2}{1-x^2} [/mm] und [mm] \bruch{2x^5-3}{\wurzel{2-x}}
[/mm]
Sind diese unterschiedlich liegt eine Unstetigkeit vor. Richtig soweit?
Gruß
Bishop
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> Hallo Angela,
>
> danke für deine ausführliche Antwort.
> Um ehrlich zu sein sehe ich den Wald gerade vor lauter
> Bäumen nicht :-(
>
> Hier mal das was ich soweit verstanden hab.
> - Der Definitionsbereich der Funktion wurde angepaßt (1 <
> x < 2 statt x > 1)
Hallo,
ja, genau.
> - x = 1 ist die Nathstelle und muss nun auf die Stetigkeit
> hin untersucht werden
Ja.
> d.h. ich untersuche den Grenzwert
> für x [mm]\to[/mm] 1 von [mm]\bruch{2x-2}{1-x^2}[/mm] und
> [mm]\bruch{2x^5-3}{\wurzel{2-x}}[/mm]
Ja.
> Sind diese unterschiedlich liegt eine Unstetigkeit vor.
> Richtig soweit?
Ja.
Und diese Unstetigkeit wirst Du nicht beheben können.
Aber auch wenn die beiden Grenzwerte gleich sind, kann die Funktion f an dieser Stelle unstetig sein, wenn nämlich f(1) aus dem Rahmen tanzt...
Aber: wenn die beiden Grenzwerte gleich sind und f(1) aus dem Rahmen tanzt, kannst Du diese Unstetigkeit beheben, indem Du der Stelle 1 einen "guten" Funktionswert zuweist.
Gruß v. Angela
>
> Gruß
> Bishop
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Di 13.04.2010 | | Autor: | Bishop |
Hallo Angela,
dann hab ich das ja soweit verstanden 
Also ich werde die Aufgabe heute noch ausrechnen und hier mal posten. Mal sehen ob ich zum richtigen Ergebnis komme.
Danke für die Hilfe!
Gruß
Bishop
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