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Hi,
ich mach grad die Kurvenschar :
[mm] f(x)=(a*e^x)/(a+e^x)
[/mm]
dann [mm] 0=a+e^x
[/mm]
[mm] -e^x=a
[/mm]
und dann will ich logiritmieren , aber mann darf den logiritmus aus einer negativen Zahl doch nciht ziehen.
Da [mm] -e^x [/mm] immer negativ ist und ich a noch als Zahl die nicht negativ und 0 werden kann definieren kann.
dann sagt man doch einfach
a= ungleich 0 und allen positiven Zahlen .
multipliziert alles mit -1
und dann darf man den Logaritmus aus -a nehmen ??
Ist das so richtig ?
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und muss ich in der Definitionsmenge auch noch angeben das a nicht [mm] -e^x [/mm] werden darf ?
Meine Bisherigen Ergebnisse für Definitionsmenge
x=ln(-a) für a =alle negativen Zahlen
[mm] a=-e^x
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 So 30.10.2005 | | Autor: | Disap |
> Hi,
Hallo Phillip.
> ich mach grad die Kurvenschar :
>
> [mm]f(x)=(a*e^x)/(a+e^x)[/mm]
>
> dann [mm]0=a+e^x[/mm]
>
> [mm]-e^x=a[/mm]
>
> und dann will ich logiritmieren , aber mann darf den
> logiritmus aus einer negativen Zahl doch nciht ziehen.
> Da [mm]-e^x[/mm] immer negativ ist und ich a noch als Zahl die
> nicht negativ und 0 werden kann definieren kann.
> dann sagt man doch einfach
> a= ungleich 0 und allen positiven Zahlen .
> multipliziert alles mit -1
> und dann darf man den Logaritmus aus -a nehmen ??
> Ist das so richtig ?
Über das musste ich erst einmal nachdenken, was damit gemeint ist, aber ich denke, du meinst das richtige.
Wie du (natürlich) schon wusstest, untersucht man die Funktion auf Nennernullstellen.
[mm] $0=a+e^x$
[/mm]
Um hier nun die Nullstellen zu ermitteln, kann man das über den ln herausfinden.
Betrachten wir erst einmal folgendes - ganz allgemein:
$0 = [mm] a+e^x [/mm] | -a$
$-a = [mm] e^x [/mm] |ln $
$ ln(-a) = ln(e)*x $
Und an dieser Stelle ist eine Fall unterscheidung von nöten.
Da im Reelen Bereich der LN nur auf positive Zahlen übertragbar ist, gibt es keine Nullstellen für a > 0.
Ebenfalls gibt es keine Nullstellen für a = 0, da man aus 0 nicht den LN ziehen kann (wie es da genau im komplexen Bereich ist, weiss ich nicht)
Ist a aber negativ, so gibt es Nullstellen (mit ln(e) = 1 folgt: )
ln(- (-a) = x
x = ln(a)
Wie das auch schon richtig in deiner Mitteilung erwähnt hast (hätte ich die mal vorher gelesen - du hast im MR auch die Fähigkeit, Fragen editieren zu können).
> und muss ich in der Definitionsmenge auch noch angeben das a nicht $
> [mm] -e^x [/mm] $ werden darf ?
Das müsste eigentlich schon in der Aufgabenstellung stehen, dass a für [mm] -e^x [/mm] eben nicht definiert ist, weil sonst hätte man
f(x) = [mm] \bruch{(-e^x*e^x)}{0} [/mm]
Das geht nicht. Somit musst du also dein a noch dementsprechend definieren. Mit Polstellen oder hebbaren Definitionslücken hätte das absolut nichts zu tun.
mfG!
Disap
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Hallo und danke Disap,
ist es auch möglich difinitionslücken zu bestimmen ?
Kann man denn den lim auf ln(-a) laufen lassen ?
Oder macht man hier keine Definitionslücken ?
Danke
Philipp
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 So 30.10.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo und danke Disap,
Servus.
> ist es auch möglich difinitionslücken zu bestimmen ?
> Kann man denn den lim auf ln(-a) laufen lassen ?
Ich wüsste nicht, was dir das in diesem Falle bringen sollte. Was willst du damit denn bezwecken?
> Oder macht man hier keine Definitionslücken ?
Natürlich ist das möglich. Das ist ja auch genau das Ergebnis, was du hattest.
ln(-a) = ln(e)*x (sagte ich)
$x=ln(-a) $für a =alle negativen Zahlen (steht in deiner Mitteilung)
Und das ist nun das Ergebnis für den Definitionsbereich. (Mit den Nullstellen der Funktion bzw. des Zählers überprüfst du dann, ob es sich hierbei um die Polstellen oder hebbare Definitionslücken handelt)
Zurück zu dem Ergebnis:
$ln(-a) = x$
Sagen wir mal, a ist = [mm] \blue{-1}.
[/mm]
Dann folgt daraus:
ln(- [mm] \blue{a}) [/mm] = x
[mm] ln(-(\blue{-1}) [/mm] = x
ln(1) = x
0 = x
Die Funktion wäre also für x=0 nicht definiert.
Für den Definitionsbereich bedeutet das:
ID = [mm] \IR [/mm] \ {0}
oder allgemein ausgedrückt
ID = [mm] \IR [/mm] \ {ln(-a)} für alle a < 0
> Danke
>
> Philipp
Viele schöne Grüße Disap
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Hallo informix,
das heisst ja ich nehme den limes der von links kommt und den der von rechts kommt.
aber ln(-a) geht doch ins unendliche .
Ich habe noch nie einen LImes nach x oder a laufen lassen.
Wie geht das ?
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Hallo Philipp,
> das heisst ja ich nehme den limes der von links kommt und
> den der von rechts kommt.
Du willst also prüfen, von welcher Art die Lücke ist?
> aber ln(-a) geht doch ins unendliche .
wieso? a ist doch ein fester Wert?
> Ich habe noch nie einen LImes nach x oder a laufen
> lassen.
> Wie geht das ?
Du schriebst am Anfang:
$ [mm] f(x)=\bruch{a\cdot{}e^x}{a+e^x}$
[/mm]
Meine bisherigen Ergebnisse für Definitionsmenge
x=ln(-a) für a =alle negativen Zahlen
soll heißen: wenn a < 0, dann hat die Funktion Definitionslücken, sonst nicht.
Was passiert denn nun, wenn x [mm] \rightarrow \ln(-a) [/mm] von links bzw. von rechts geht?
Setze mal h>0 ein: Annäherung von links:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a\cdot{}e^{\ln(-a)-h}}{a+e^{\ln(-a)-h}}$
[/mm]
Annäherung von rechts:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a\cdot{}e^{\ln(-a)+h}}{a+e^{\ln(-a)+h}}$
[/mm]
Rechnest du mal weiter?
Gruß informix
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Hallo,
ich behandle grade die Schar [mm] f(x)=(a*e^x)/(a+e^x)
[/mm]
wäre nett wenn jemand mal drüber gucken könnte
Definitionsmenge
x darf nicht ln(-a) werden
a darf nicht 0 oder positiv sein
Leider habe ich keine Ahnung wie ich das richtig hinschreiben soll.
Hat jemand eine korrekte Schreibweise?
2)Keine Symetrie
3)Schnittpunkte mit den Achsen
mit x achse = wenn a=0
4)Extrema
[mm] f'(x)=(a^2*e^x)/(a+e^x)2
[/mm]
dann nur extremstellen wenn a =0
[mm] f''(x)=(a^2*e^x(a-e^x))/(a+e^x)^3
[/mm]
wie bestimm ich jetzt wann hoch oder tiefpunkt
weil es ja keinen Wert für x gibt sondern nur für a
muss ich dann mein a in die 2 einsetzen ?
5Wendestellen
für [mm] a=e^x
[/mm]
a=0
und x=lna
wenn euch aufgefallen ist wo ich mich nicht korrekt ausgedrückt habe bitte korrigieren.
Danke
Philipp
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Hallo Philipp,
zum Definitionsbereich: Warum sollte a nicht 0 oder positiv sein dürfen? a darf nur nie so groß sein, wie [mm] -e^{x}, [/mm] aber das muss man bei Angabe des Definitionsbereiches eigentllich nicht fordern.
Die Sache mit dem ln(-a) ist auch merkwürdig, da ln(x) nur für positive x definiert ist. Dein Def.bereich ist also ganz [mm] \IR.
[/mm]
Deine Ableitungen stimmen.
Die Extrema müssen in Abhängigkeit von a angegeben werden, allerdings gibt es keine. Beim Umformen der Gleichung musst du an einer Stelle ln(0) ausrechnen und den gibt es nicht.
Nullstellen gibt es aus dem gleichen Grund auch nciht. Lass' dir die Funktion mal plotten, dann siehst du das auch.
Als WP bekomme ich nach folg. Rechnung:
[mm] a^{2}e^{x}(a-e^{x})=0
[/mm]
[mm] a^{3}e^{x}=a^{2}e^{2x}
[/mm]
[mm] a=e^{x}
[/mm]
x=ln(a)
In die 3. Ableitung einsetzen und überprüfen.
VG mathmetzsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 So 30.10.2005 | | Autor: | Disap |
Hi mathematsch.
> zum Definitionsbereich: Warum sollte a nicht 0 oder positiv
> sein dürfen? a darf nur nie so groß sein, wie [mm]-e^{x},[/mm] aber
> das muss man bei Angabe des Definitionsbereiches
> eigentllich nicht fordern.
Das ist wahrscheinlich so zu erklären, eine Kurvendiskussion die Funktion f(x) = 0 durchzuführen ist eher schwachsinnig. (bei a=0 kommt man auf diese 'Funktion')
> Die Sache mit dem ln(-a) ist auch merkwürdig, da ln(x) nur
> für positive x definiert ist. Dein Def.bereich ist also
> ganz [mm]\IR.[/mm]
Hier hast du die Fallunterscheidung vergessen. Für alle $a<0$ gibt es sehr wohl Polstellen. Und da würde der Def.bereich also ganz [mm]\IR.[/mm] eben nicht zutreffen.
> Deine Ableitungen stimmen.
> Die Extrema müssen in Abhängigkeit von a angegeben werden,
> allerdings gibt es keine. Beim Umformen der Gleichung musst
> du an einer Stelle ln(0) ausrechnen und den gibt es nicht.
> Nullstellen gibt es aus dem gleichen Grund auch nciht.
> Lass' dir die Funktion mal plotten, dann siehst du das
> auch.
>
> Als WP bekomme ich nach folg. Rechnung:
> [mm]a^{2}e^{x}(a-e^{x})=0[/mm]
> [mm]a^{3}e^{x}=a^{2}e^{2x}[/mm]
> [mm]a=e^{x}[/mm]
> x=ln(a)
>
> In die 3. Ableitung einsetzen und überprüfen.
>
> VG mathmetzsch
Gruesse von Disap.
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